（推荐）超静定结构-力法基本原理

1、1,第五章 超静定结构的解法,Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures,5-1 求解超静定问题的一般方法 5-2 力法 5-3 力法计算的简化,2,遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：,以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（force method）。,以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法（displacement method）。,

2、如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。,在本章中将主要介绍力法和位移法(含弯矩分配法)。,3,1. 力法的基本原理,(Fundamentals of the Force Method),有一个多于约束的超静定结构，有四个反力，只有三个方程。,只要满足,为任意值，均平衡。,因此必须设法补充方程,4,力法的基本思路,超静定计算简图,解除约束转化成静定的,基本结构承受荷载和多余未知力,基本体系受力、变形解法已知,5,力法的基本思路,用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形,

3、同样方法分析“荷载”下的受力、变形,位移包含基本未知力Xi,为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件,由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题,6,基本原理举例,待解的未知问题,转化,7,未知力的位移,“荷载”的位移,总位移等于已知位移,以掌握的问题,消除两者差别,8,叠加作弯矩图,或,系数求法,单位弯矩图,荷载弯矩图,系数和未知力等于多少？,9,例 2. 求解图示结构,解法1:,有两个多于约束,解除约束代以未知力,10,或,基本未知力引起的位移,荷载引起的位移,11,作单位和荷载弯矩图,求系数、建立力法方程并求解,仅与刚度相对值有关,12,由叠加原理求得,13,力法基本思路小结,根

4、据结构组成分析，正确判断多于约束个数超静定次数。,解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力基本未知力。,分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件力法典型方程。,从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。,14,将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。,15,由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。,解法 2：,解法3：,16,单位和荷载弯矩图,17,由单位和荷载弯矩图可

5、勾画出基本体系变形图,FP,由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程,18,图,图,单位和荷载弯矩图,19,小结：力法的解题步骤,问题：,超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数,(),(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系),20,（3 次）,或,21,（14 次）,或,22,(1 次）,23,(6 次),24,(4 次),25,(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。因此，要选取工作量较少的基本结构。,确定超静定次数时应注意：,(c) 可变体系不能作为基本结构,(a) 切断弯曲杆次数3、链杆1，刚

6、结变单铰1，拆开单铰2。总次数也可由计算自由度得到。,(2) 建立力法典型方程,或写作矩阵方程,26,(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图,(4) 求基本结构的位移系数,(5) 求基本结构的广义荷载位移,(6) 解方程求未知力,27,(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图,(8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移,28,29,（9）对计算结果进行校核,对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。,如：,问题：使结构上的任一部分都处于平 衡 的解答是否就是问题的正确解？,30,假如：,由,可证：平衡条件均能满足。,但：,31,结论：对计算结果除需进行力的校核外

7、， 还必需进行位移的校核。,链 举 例,32,2. 力法解超静定结构举例,例 1. 求解图示两端固支梁。,解：取简支梁为基本体系,力法典型方程为：,FP,单位和荷载弯矩图 为：,EI,33,由于,所以,又由于,于是有,34,两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力,典型方程改写为,图乘求得位移系数为,代入并求解可得,35,其中：,力法典型方程为：,EA为常数,36,各杆最后内力由 叠加法得到：,由计算知，在荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度EA无关，只与各杆刚度比值有关。,问题：若用拆除上弦杆的静定结构作为基本结构，本题应如何考虑？,37,解：,力法方程的实质为：“ 3、4两结点的相对

8、位移 等于所拆除杆的拉（压）变形 ”,自乘求11,38,令：,39,基本体系,解：,典型方程：,最终解得：,例 3. 求作图示连续梁的弯矩图。,M图由 作出：,(c),当,当,取基本体系，,？,EI,40,解：取基本体系如图(b),典型方程：,如图示：,例 4. 求解图示加劲梁。横梁,55,41,当,内力,有无下部链杆时梁内最大弯矩之比：,42,梁的受力与两跨 连续梁相同。 （同例3中 ）,当,梁受力有利,令梁内正、负弯矩值相等可得：,如何求 A ？,43,方程的物理意义是否明确？,例 5. 求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。,解：取图示基本结构,力法典型方程为：,其中 为由于支座移动所产

9、生的位移,即,EI常数,44,最后内力（M图）：,这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？,支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？,单位基本未知力引起的弯矩图和反力,1、2、3等于多少？,45,46,问题：如何建立如下基本结构的典型方程？,47,48,用几 何法 与公 式法 相对 比。,49,试求图示两端固定单跨梁在下属情况下的M图。(a) A端逆时针转动单位转角。(b) A端竖向向上移动了单位位移。(c) A、B两端均逆时针转动单位转角。(d) A、B两端相对转动单位转角。(e) A端竖向向上、B端竖向向下移动了单位位移。,50,解：选取基本体系,建立典型方程,基本体系二,

10、例 6. 求作弯矩图(同例3)。,EI常数,51,(c),(下侧 受拉),弯矩图为：,进一步求D点竖向位移,52,解：取基本体系如图,(b),典型方程为：,例 7. 求图示刚架由于温度变化引起的内力与K点的 。,温度变化引起的结构位移与内力的计算公式为：,EI常数,t1=250C t2=350C,53,设刚架杆件截面对称于形心轴，其高,温度改变引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关。,则,54,M 图,温度低的一侧受拉，此结论同样适用于温度引起的超静定单跨梁。,简 化,55,下侧正弯矩为,设基本未知力为 X，则,跨中支座负弯矩为,根据题意正弯矩等于负弯矩，可得,有了基本未知力，由典型方程可得,

11、返回,56,3. 力法计算的简化,无弯矩状态的判别,刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况,前提条件：结点荷载； 不计轴向变形。,57,刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况,58,利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使手算分析得到简化。,59,一、 对称性 (Symmetry) 的利用,对称结构,非对称结构,注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不能称超静定结构是对称结构。,支承不对称,刚度不对称,几何对称 支承对称 刚度对称,60,对称结构的求解：,力法典型方程为：,（1）选取对称的基本结构,61,

12、典型方程简化为：,正对称与反对称荷载：,62,如果作用于结构的荷载是对称的，如:,如果作用于结构的荷载是反对称的，如:,63,结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。,例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。,64,解：根据以上分析，力法方程为：,65,例：,66,（2）未知力分组和荷载分组,力法典型方程成为：,67,对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：,（3）取半结构计算：,68,问题：偶数跨对称刚架如何处理？,（d）,（c）,69,进 一 步 说 明,70,例1：求作图示圆环的弯矩图。 EI=常数。,解：,取结构的1/4分析,单位弯矩（图）和荷载弯矩（