二项式定理 习题精选

1、1)2)3)丁“卅，二项式系数为/20；由1）知项的系数为6 ；令 6-3r=0, r=2, 常数项为 G 2= 240 .2.若（施+刃f的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有分析:通项为11 E 3CM严空)y涉刁二项式定理习题精选-、与通项有关的一些问题（2兀 + -例1.在 x的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数, 2）第4项的系数，3）求常数项为展开式中的第叶1项.解:展开式的通项盼）吗）7212r=S6七J九*256:前三项的系数为毎吋且成等差,“+c；（y冷即七5 +刊解得:n=8.从而5心$八（IS&T,要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.r=0(hr-2)2

2、5例3. 1 )求I畫丨 的常数项；2)求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.(1乳丨+二V =(倆-亠屮解: 1)11T閑=C；(肋严(r=臥-1)(肋严 通项，令 6-2r=0,r=3,常数项为 EF(T)-20.25552) (x +3x+2) =(x+1) (x+2)展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为+= 240x，因而其系数为240.例4. (a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为.分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a, 三个因式中的b，两个因式

3、中的c得到，从而a5b3c2的系数为。泊 = 2520 .小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法 去解决.例 5. (1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)100 的展开式中 X3 的系数为.分析：(法一)展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数 为=C：十雋)十需十“十 2；十g =臨)=(C：十4)十雳十十%= CioCioo = 2 解得：33， r=7,且此时上式两个等号都不能取得， 因而第8项系数最大.三、赋值法：例8.已知(i2xy=州+时+卯2+色1) 求 3d,2) 求 31+32 +33+34+353) 求(30

4、+32+3)-(31+33+35)4)求 31+33+355) |3d|+|3i|+|3|分析:1）可以把（1-2X）5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，比为x=0时右式的结果，因而令x=0, 二（1-O）5=ao, ao=1.2) 令 x=1,贝y (1-2)5=ao+ai +32+33+34+35 又 ao=1, ai+a2+a3+a4+a5=-2.3) 令 X=1，得 30+31+32+35=-1 (*)令 X=-1,得 35=30-3什32-33+34-35因而，(0)+32+34)-(31+33+35)=(毛 + % + % + 已5)(卯-为 + 比-百+ 打-aJ = Tx3

5、5 = -243.4) 联立(*),(*)两方程，解得 31+33+35=-122.5) |讣|頃2)牛蹲2用(0K5)因而|0| + |3|+ +|3|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， |0|+|1|+ +|3|=(1+2)5=35=243.小结:求展开式的系数和只需令x=1可解； 赋值法也需合情合理的转化. 例 9.已知(1+藍)+(1+x)2 + Q +幻+ Q+x)JS+b谈 + *其中 bo+b1+b2+bn=62,贝U n=.分析:令 x=1,则 2+22+2? +2”弋+bi+l)2 +虬，由已知，2n+1-2=62, 2n+1=64, n=5.例10.求(2+7r的展开

6、式中有理项系数的和.分析:研究其通项Tt+1 =严(丘y = C：严X.显然当r=2k(k Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系 数和.设(2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn ,令 t=1，即 3n=a0+a1+a2+环令 t=-1，即 1=a0-a1 +a2-+(-1)nan37上两式相加，解得奇数项系数和二.四、逆用公式例 11.求值 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1解小 q(xF+c：Aiy+c：(x-iy+c：(x-i)+c：“(iM)+i4d例12.求值：Cl + 2Cf + 4C?+2叫;分析:注意将此式还原成

7、二项展开式的结构r-1= ；2+C；2】+C防+ 0；2屯）-1二（1 + 2-1=2 2原式=F（3P + W + c討+C；严）2 - -五、应用问题例13.求证:32n+2-8n-9能被64整除.证明：3孙2 -渤-9 =严-8月- 9 = 31严-丽- 9=C：苗】+48 +略旷I + 冷 +僵8+邨-劭- 9=匕；10+1 + C；+8” + + 83 +1) +1 -刨一9=(誥&7+磊汐+ *)3能被64整除.例14. 9192除以100的余数为.分析:9192=(90+1)92二9092 + CL 9少+霭9* + C；抄0十C路=2 9严+4 9屮+ C律卅)+ 92冥90

8、+1=(咯90力+C打9即+C器92) +8281被9192100除的余数为81.小结:若将9192整理成(100-9)92= 102+c：10(9)1+隽 1O0?(-9)加 +耸100(-9尸+耸(-9严 二略10炉+僚10出(-9)1十+需；100(-9)鋼十姿=10汝十92 随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.例15.求0.9983的近似值(精确到0.001)解 0998 = (1 - 0,002) = l-3x 0.002 + 3x0.002-l- 3x 0 002 = 0.994典型例题例1、已知二项式（金+却气展开式中，末三项的系数依次成等差数

9、 列，求此展开式中所有的有理项。解：二项展开式的通项公式为sq弓厂劎吨）f *（71,2,屈由此得二项展开式中末三项的系数分别为扌卽，挥,C：依题意得叫尸=中。冲4如如）=如）注意到这里，故得n=8_ 8 + r设第r+1项为有理项，则有x的幂指数 4为整数,- r=0, 4, 8,二这里Ti, T5, T9为有理项,又由通项公式得：所求二项展开式中的有理项分别为广莎7点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若T他打r血）T1 XX（入为相对常数，x为变量），则当g（n,r）为自然数时収为整式项;当g（n,r）为整数时:口为有理项。-寻)七eM)例2、已知朋的展开

10、式中奇数项的二项式系数之和等于512,试求：(1)二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项;系数最大的项。解：由题意得30-5r二项展开式的通项公式为%=Go (Ty L厂厂(2 (UDO).(1)n=10,二项展开式共11项二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大又%曲所求二项式系数最大的项为严?(2)设第r+1项系数的绝对值八 最大,(r 110-厂 2lki2r-r0, b0, 2m+n=O,刚 0，且在尸的展开式中系数最大a的项是常数项，求 Z的取值范围。T干 _ Z J2-r 17為-4贰虫）解：设二项展开式中 0+1为常数项，占+1 =皿皿 弋X依题意令12用-r血-用）=0则

11、将已知式n=-2川 代入得1加=3浙注意到这里惘H Q，由得r=4展开式中系数最大的项是几于是有a因此可知，所求i的取值范围为94_例4、 求证：（1）旷】-1能被（旷整除（恥侃沦3）；C! + 2q +瑁+七+1朋=触2).2证明:（1）为利用二项式定理，对中的底数n变形为两数之和（或差）。V n3,且肛N，二旷5 + （丹-1）严于是有於+仇-沪-1胡+知炉1） + 01（用 +十瑁（旷1严卜1=仗-1）1 +空-1）+空（旷严卞）注意到川口，且肛N，故1治略（2） + 7粥（旷1）叫旷,因此由（探）式知严-1能被仪T），整除；（2）证法一（倒序相加法）：设SP； + 2加逬+（讪）邙/f

12、O 户M /71 fK-l注意到二项式系数的性质：5 九?1人厂5，将式右边各项倒序排列：5=3+1底+ + （旷曲+久 +得 2S=（”+2），（U：+q+C； + +C；） =（m+2）卩 S+2） 严即 C；+2C；+3C；+（丹+陀= 0 + 2）严证法二（分项求和法）：注意到左边各项的相同结构，且各项的通项:（壯叮2X）据此变形左边各项得右边（邙+ （?冷0 +U；） + + +遞+鬥即 =2” + 01 + 吧-+ .*粥)= 2”+j +尙 + C；：) =25沪 = 5+2W右边二原等式成立点评：证明组合恒等式，除去利用二项公式这一组合的母函数外，上述两种方法（特 别是证法二）

13、是基本证明方法。例5、设（4工-1严叫+如2 + -+砒沪加，求 展开式中各二项式系数的和； 展开式中各项系数的和； 如+仓+如的值2+坷+- +如的值” |+拥+*如的值解：令仮=（4 1严叫+时+ ” +如评注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和% + 芻）+ % + 珊 =2 2叩 展开式中各项系数的和0 + Q1 +如+ +如如=/（!）=字 注意到八卜如+勺+金2 +务+细+如D /（J）=州-尙+阳-础+-如+ m狈二 2(+兔+如)0 + 啊 + 阳+ 初=-/(I) - /(-!)=亍妙-5，) 仿得州+宀+4獅尹+严）又叶.f严+处尹。+ 5沔-1解法一(直面原式)

14、：/(-1)皿0 -餌+ -勺+-勿g + %) Q-如 + 码-4 + a刚-珈0 二妒 /(!).- + 阳-B + 口4伽9*02呱=()1再由二项式的展开式知，術卫A卫观E斤卫1忌芒igg 歆=&1) + 如 + 卜坷)+ q + + 卜如)+ 如0 = /(-I) -1 = 5加 -1点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和例6、式的值。化简下列各式?! + 3讶 + 9(?； + -+旷呛；注意到二项展开式中各项的特征：C；q呻E，其中b的方幂与组合数上标相同。?2 +

15、9煤+9您 + 少4 + 9.分析：为利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂等于 组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。解:(1)令x=4+逬+ 9牛+乎弋:则3“ 3+3它+3它+3它3x + CAC + 3(?： + 3+yG + -+C；, + 3)7 ,即 3 1=4故得g逬+ 9牛+于弋厂尹7)（2）令 x=C；+9C；+9叱;+9 +9乜，则9*二死;+9您+ 9乜+此：+9遽由 +详9 +密+巒+硏9JQ +卯 811 = 10-55即C；+9C；+9乜+吃+9塩冷（叽功.点评：对于组合数系数成等比数列的组合式求和，一般是在

16、适当作以凑因子或凑项的 构造之后，运用二项式公式本身化简或求值。例7、试求下列二项展开式中指定项的系数:（迅卞的展开式中d项的系数;d述-2x）0的展开式中H项的系数;(1 + *+(1 +力2 + 0 + +Q + X严的展开式中J项的系数;（F +矢+的展开式中x项的系数;（5）解:（1+2X-3F）的展开式中X5项的系数;借助配方转化”原式原展开式中 J项的系数，即（F-2）展开式中项的系数又（宀2）展开式的通项公式为丁闹赵（沪呵（-纠令2OO-r) = 14 得 r=3（宀2尸展开式中EYZ八-曲所求原展开式中H项的系数为-960;（2）注意到r的幂指数3较小，借助 局部展开”:原式=

17、佬-说x +-C訂+) - 2qq+ 4蹲* -邮+)展开式中d的系数为 熔（-瞬）+ （） .4邙 + 蹲.卜 2% + （-CJ） - 4= -2(年-12谒-空=-590（3）解法一（求和转化）：_ （1+X）21-（1+畫）原式X所求原展开式中项的系数即为（1 +炉展开式中d 项的系数,所求展开式中r 项的系数为解法二（集零为整）：考察左式各部，展开式中 r 项的系数为=峨 + +00= + 0；)+碍+瞄=% + 耸=C*21（4）解法一（两次利用二项式定理）：（H+3x+2）5=（F + 2） + 3xF设展开式中第叶1项为含有X的项，又7；广G（H + 2胃Q矿（03Q要使X的幂指数为1,必须且只需r=1即 f = qX + 2）饰） = 15叔+ 2）4而（F + 2）*展开式中的常数项为卩，故得原展开式中X的系数为15x3 = 340.解法二（利用求解组合应用题的思路）：(H + 3x+ 2)5 M + 37 + 2) (F + 37+ 2) 注意到欲求(F +矢+ 2尸 展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x,其余四个因式都取常数 2即可。原展开式中x的一次项为 -1： 2* = 240 X所求原展开式中x的系数为240;(5)解法一(两次利用二项展开式的通项公式)：注意到