2020年高考数学模拟试题：等差、等比数列

1、2020 年高考数学模拟试题：等差、等比数列2020 高考数学同步训练：等差、等比数列一、选择题1.( 文)(2020 东北三省三校联考 ) 等差数列an 的前 n 项和为 S n，若 a2+a4+a6 =12，则 S7的值是( )A.21 B.24 C.28 D.7 答案 C 解析 a2+a4+a6=3a4=12，a4=4，2a4=a1+a7=8，S7=28.( 理)(2020 新课标理， 7) 设等差数列 an 的前 n 项和为 S n，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=，3 则 m=( )A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 Sm-Sm-1=am=，2 Sm+1-Sm=am+

2、1，=3d=am+1-am=3-2=1，Sm=a1m+ 1=0，am=a1+(m1- ) 1=2，a1=3-m.代入得 3m-m2+-=0，m=0(舍去)或 m=5，故选 C.2.( 文) 已知 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，若 S1=1，=4，则的值为( )A. B. C. D.4 答案 A 解析 由等差数列的性质可知 S 2，S4-S2，S6-S4 成等差数列，由=4 得=3，则 S6-S4=5S2，所以 S4=4S2，S6=9S2，=.( 理)(2020 全国大纲文， 8)设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.若S2=3，S4=15，则 S6=( )A.31 B.32C.63

3、 D.64 答案 C 解析 解法 1：由条件知： an0，且q=2.a1=1，S6=63.解法 2：由题意知， S2，S4-S2，S6-S4 成等比数列，即 (S4-S2)2=S2(S6-S4)，即 122=3(S6-15) ，S6=63.3.( 文) 设 Sn为等比数列 an 的前 n 项和，且 4a3-a6=0，则=( )A.-5 B.-3C.3 D.5 答案 D 解析 4a3-a6=0，4a1q2=a1q5，a10，q0，q3=4，=1+q3=5.( 理)(2020 新课标理， 3) 等比数列an 的前 n 项和为 S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则 a1=( )A. B.-

4、C. D.- 答案 C 解析 S3=a2+10a1，a1+a2+a3=a2+10a1，a3=9a1=a1q2，q2=9，又 a5=9，9=a3 q2=9a3，a3=1，又 a3=9a1，故 a1=.4.(2020 新乡、许昌、平顶山调研 ) 设an 是等比数列， Sn 是an的前 n 项和，对任意正整数 n，有 an+2an+1+an+2=0，又 a1=2，则S101的值为( )A.2 B.200C.-2 D.0 答案 A 解析 设公比为 q，an+2an+1+an+2=0，a1+2a2+a3=0，a1+2a1q+a1q2=0，q2+2q+1=0，q=-1，又 a1=2，S101=2.5.(2

5、020 哈三中二模 ) 等比数列an ，满足 a1+a2+a3+a4+a5=3，a+a+a+a+a=15，则 a1-a2+a3-a4+a5 的值是( )A.3 B.C.- D.5 答案 D 解析 由条件知， =5，a1-a2+a3-a4+a5=5.6.(2020 镇江模拟) 已知公差不等于 0 的等差数列 an 的前 n 项和为S n，如果 S3=-21，a7 是 a1 与 a5 的等比中项，那么在数列 nan中，数值最小的项是 ( )A.第 4项B. 第 3 项C.第 2项D. 第 1 项 答案 B 解析设等差数列 an 的公差为d，则由 S3=a1+a2+a3=3a2=-21，得 a2=-

6、7，又由 a7 是 a1 与 a5 的等比中项，得 a=a1 a5，即(a2+5d)2=(a2-d)(a2+3d) ，将 a2=-7 代入，结合 d0，解得 d=2，则nan=na2+(n-2)d=2n2-11n ，对称轴方程 n=2，又 nN*，结合二次函数的图象知，当 n=3时，nan取最小值，即在数列 nan 中数值最小的项是第 3项.二、填空题7.(2020 广东六校联考 )设曲线y=xn+1(nN*) 在点(1,1)处的切线与 x轴的交点的横坐标为xn，则log2020x1+log2020x2+ +log2020x2020 的值为_. 答案 -1 解析 因为y=(n+1)xn ，所以

7、在点 (1,1)处的切线的斜率k=n+1，所以=n+1，所以 xn=，所以 log2020x1+log2020x2+ +log2020x2020=log2020(x1 x2 x2020)=log2020( )=log2020=-1.8.(2020 中原名校二次联考 ) 若bn为等差数列， b2=4，b4=8.数列an满足 a1=1，bn=an+1-an(nN*) ，则a8=_. 答案 57 解析 bn=an+1-an，a8=(a8-a7)+(a7- a6)+ +(a2 -a1)+a1=b7+b6+ +b1+a1.由bn为等差数列， b2=4，b4=8知 bn=2n数列bn 的前 n项和为Sn=

8、n(n+1).a8=S7+a1=7(7+1)+1=57.9.(2020 辽宁省协作校联考 ) 若数列 an 与bn满足bn+1an+bnan+1=(-1)n+1，bn=，nN+，且 a1=2，设数列 an 的前 n项和为S n，则S63=_. 答案 560 解析 bn=，又 a1=2，a2=-1，a3=4，a4=-2，a5=6，a6=-3， ，S63=a1+a2+a3+ a63=(a1+a3+a5+ +a63)+(a2+a4+a6+ +a62)=(2+4+6+ +64) - (1+2+3+ +31)=1056-496=560.三、解答题10.(2020 豫东、豫北十所名校联考 ) 已知 Sn为

9、数列an 的前 n项和，且 a2+S2=31，an+1=3an-2n(nN*)(1) 求证： an-2n为等比数列 ;(2) 求数列 an 的前 n项和 Sn. 解析 (1) 由 an+1=3an-2n 可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an- 3 2n=3(an -2n) ，又 a2=3a1-2，则 S2=a1+a2=4a1-2，得 a2+S2=7a1-4=31，得 a1=5，a1- 21=30，=3，故an-2n 为等比数列 .(2) 由(1) 可知 an-2n=3n-1(a1-2)=3n ，故 an=2n+3n，Sn=+=2n+1+-.一、选择题11.( 文)(2020

10、山西四校联考 ) 已知等比数列 an 中，各项都是正数，且 a1，a3,2a2 成等差数列，则 =( )A.1+ B.1-C.3+2 D.3-2 答案 C 解析 由条件知 a3=a1+2a2，a1q2=a1+2a1q，a 10，q2-2q-1=0 ，q0，q=1+，=q2=3+2.( 理) 在等差数列 an 中，a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，则此数列前 20 项的和等于 ( )A.290 B.300C.580 D.600 答案 B 解析 由 a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87得，a1+a20=30，S20=300.12.( 文) 已知数列 an ，bn满足

11、 a1=b1=1，an+1-an=2，nN+，则数列ban 的前 10项的和为( )A.(49-1) B.(410-1)C.(49-1) D.(410-1) 答案 D 解析 由 a1=1，an+1-an=2 得，an=2n-1，由=2，b1=1得 bn=2n-1，ban=2an-1=22(n-1)=4n-1 ，数列ban 前 10项和为=(410-1).( 理) 若数列 an为等比数列，且 a1=1，q=2，则Tn=+ +等于( )A.1- B.(1-)C.1- D.(1-) 答案 B 解析 因为an=12n-1=2n-1 ，所以 an an+1=2n-1 2n=24n-1，所以=()n -1

12、 ，所以 也是等比数列，所以 Tn=+ + =(1 -) ，故选B.13.给出数列， ， ， ，在这个数列中，第50 个值等于 1 的项的序号是 ( )A.4900 B.4901C.5000 D.5001 答案 B 解析 根据条件找规律，第 1 个 1 是分子、分母的和为2，第 2个 1 是分子、分母的和为4，第 3 个 1 是分子、分母的和为6， ，第50 个 1 是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2 的有 1项，分子、分母的和为3 的有 2项，分子、分母的和为4 的有 3项， ，分子、分母的和为99 的有 98项，分子、分母的和为100 的项依次是：， ， ，第 50 个 1 是

13、其中第 50项，在数列中的序号为1+2+3+ +98+50=+50=4901. 点评 本题考查归纳水平，由已知项找到规律，“ 1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可 .14.(2020 唐山市一模 )已知等比数列 an 的前 n项和为S n，且a1+a3=，a2+a4=，则( )A.4n-1 B.4n-1C.2n-1 D.2n-1 答案 C 解析设公比为q，则a1(1+q2)= ，a2(1+q2)= ，q=，a1+a1=，a1=2.an=a1qn- 1=2()n -1，Sn=41-()n ，=2(2n-1-)=2n-1. 点评 用一般解法解出 a 1、q

14、，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下：a2+a4=q(a1+a3)，q =，=2n-1.二、填空题15.(2020 新乡、许昌、平顶山调研 ) 如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群， ，第 n 群， ，第 n 群恰好 n 个数，则第 n 群中 n 个数的和是_. 答案 3 2n-2n-3 解析 由图规律知，第 n 行第 1 个数为2n-1，第 2 个数为3 2n-2 ，第 3 个数为5 2n- 3 设这n 个数的和为S则S=2n-1+3 2n- 2+52n- 3+ +(2n - 3) 2+(2n - 1) 202Sn=2n+3 2

15、n- 1+5 2n- 2+ +(2n - 3) 22+(2n - 1) 21- 得 Sn=2n+2 2n- 1+2 2n- 2 + +2 22+2 2 -(2n-1)=2n+2n+2n-1+ +23+22-(2n-1)=2n+-(2n-1)=2n+2n+1-4-2n+1=3 2n-2n-3.16. 在数列 an 中，若 a- a=p(n 2，nN*)(p为常数 ) ，则称 an 为“等方差数列” . 下列是对“等方差数列”的判断：若数列 an 是等方差数列，则数列 a 是等差数列 ;数列(-1)n 是等方差数列 ;若数列an 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列;若数列an 是等方

16、差数列，则数列 akn(k 为常数，kN*) 也是等方差数列.其中准确命题的序号为 _. 答案 解析 由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知均准确.三、解答题17.( 文)(2020 浙江理， 18)在公差为 d 的等差数列 an 中，已知a1=10，且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列 .(1) 求 d，an;(2) 若 d 成立的最小正整数 n 的值. 解析 本题主要考查等差数列的概念及相关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归转化思想及运算求解水平等 .(1) 解法 1：an 是等差数列，Sn=na1+d=na1+ 2=n2+(a1-1)n.又由已知 Sn=pn2+2n，p=1，a1-1=2，a1=3，an=a1+(n-1)d=2n+1 ，p=1，an=2n+1.解法 2：由已知 a1=S1=p+2，S2=4p+4，即 a1+a2=4p+4，a2=3p+2.又等差数列的公差为2，a2-a1=2，2p=2，p=1，a1=p+2