人教版九年级下册数学《用函数观点看一元二次方程》教案及同步例习题(含答案)

1、26.2 用函数观点看一元二次方程(1)第1课时教学目标1、 知识与技能理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x 轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。2、 过程与方法逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x 轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。3、 情感、态度与价值观培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。教学重点难点1、 重点探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x 轴交点情况。2、 难点函数方程x 轴交点，三者之间的关系的理解与运用。教与学互动设计（一）创设情境，导入新课导语一：出示二次函数的

2、图象，如图26-2-1所示，根据图象回答： 1、 x 为何值时， y=0？ 答案 x=-1 或 x=32、你能根据图象，求方程x2-2x-3=0的根吗？3、函数 y=x2-2x-3与方程 x2-2x-3=0之间有何关系呢？导语二： 1、回忆：一次函数y=kx+b 与一次方程kx+b=0 有何关系？2、联想：二次函数y=ax 2+b+c 与二次方程ax2+b+c=0 结构上有哪些相同呢？它们之间有哪些关系？导语三：选教材P20 提出的问题，直接引入新课。（二）合作交流，解读探究1、 二次函数与一元二次方程之间的关系 探究 （ 1）教材 P20 问题：如图26-2-2 ，以 40m/s 的速度将小

3、球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位： s）之间具有关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：（ 1） 球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（ 2） 球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（ 3） 球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？（ 4） 球从飞出到落地需要多少时间？学生交流各自愿求解方法与结论。 归纳 二次函数与一元二次方程有如下关系；1、函数y=ax2+bx+c ，当函数值y 为某一确定值 m时，对应自变量x 的值就是方程ax2+bx+c=m的根。2、 特别是

4、 y=0 时，对应的自变量x 的值就是方程ax2+bx+c=0 的根。以上关系，反过来也成立。 议一议 利用以上关系，可以解决什么问题？解：利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当y 为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x 值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。2、二次函数的图象与x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 议一议 观察图 26-2-3中的抛物线与x 轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？（ 1）方程 x2+x-2=0 的根是 x1=-2 ， x2 =1.（ 2） 方程 x2-6x+9=0 的根是 x1= x 2=3。（ 3） 方程 x2-x+1=

5、0 无实数根。 归纳 一般地，从二次函数y=ax+bx+c 的图象可知：（ 1）如果抛物线y=与 x 轴有公共点（x0，0），那么 x0 就是方程ax+bx+c=0 的一个根。（ 2） 抛物线与 x 轴的三种位置关系： 没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。（三）应用迁移，巩固提高（见全品新学案P12“整合拓展创新”）类型之一：根据二次函数图象看一元二次方程的根例 4：（原创题）如图 26-2-4 所示，你能直观看出哪些方程的根？解：根据图 26-2-4 所示的图象知：方程 -x 2+2x+3=4 的根为

6、x1= x 2=1。方程 -x 2+2x+3=3 的两根为 x1=0，x2 =2 。方程 -x 2+2x+3=0 的两根为x1=-1 ， x2 =3 。 点评 此题充分展示了二次函数与一元二次方程的关系，2即函数 y=-x +2x+3 中， y 为某一确定值m（如 4， 3， 0）2时，相应x 值是方程 -x +2x+3=m(m=4， 3， 0) 的根。变式题：已知：抛物线y=ax+bx+c 如图 26-2-5所示，则关于 x 的方程 ax+bx+3=0 的根的情况是（）A、有两个不相等的正实根B、有两个异号实根C、有两个相等的实根D、没有实数根 解析 利用二次函数与二次方程之间的关系来判断。

7、解法一：根据图象知：方程ax+bx+c=3 的根是 x1= x 2 =1 。方程 ax+bx+c-3=0 的 x1= x 2=1。 点评 此题的解法较多，但以上解法最简单。解法二：根据图象知4acb23 =0，4a22又方程 ax+bx+c-3=0 中， =b -4a(c-3)=b -4ac+12a ， =0，方程有两个相等的实数根。答案C类型之二：根据抛物线与x 轴的交点情况求特定系数的范围。例 2：已知二次函数 y=2x2-4(4k+1)x+2k 2-1的图象与 x 轴交于两点，求k 的取值范围。 解析 此函数的图象与x 轴交于两点。 方程 2x 2-4(4k+1)x+2k 2-1=0有两

8、个不同的根。一定大于 0，故可求 k 的取值范围。解：根据题意知0，即 - （ 4k+1） 2-4 2（ 2k2- 1）0，解得 k9.8 点评 根据交点的个数来确定的正、负是解题关键，故要熟悉它们之间的对应关系。类型之三：根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x 轴的交点情况例 3：已知抛物线 y=x2+(2k+1)x-k 2+k。（ 1） 求证：此抛物线与 x 轴有两个不同的交点。（ 2） 当 k=0，求此抛物线与坐标轴的交点坐标。 解析 （ 1）证明方程x2+(2k+1)x-k2+k=0 有两个不相等的实数根即可。（ 2）通过解方程，求值即可。解：（ 1） =（ 2k+1） 2-4(-k

9、 2+k)=8k 2+10，方程 x2+(2k+1)x-k2+k=0 有两个不相等的实数根抛物线与x 轴总有两个不同的交点。（ 2）当 k=0 时，原抛物线 y=x 2+x.由 x=0，得 y=02+0.由 x2+x=0，得 x1= 0 ，x2 =-1 。此抛物线与y 轴的交点坐标为（0， 0），与x 轴的交点坐标为（0， 0），（-1 ，0）。 点评 （ 1）注意利用值判断二次方程ax2+bx+c=0的根的情况判断y=ax 2+bx+c与 x 轴交点的个数。（ 2）了解抛物线与坐标轴交点的求法。（四）总结反思，拓展升华 总结 本节课所学知识：（ 1）二次函数y=ax 2+bx+c（ a 0）

10、与二次方程之间的关系。当y2为某一确定值m时，相应的自变量x 的值就是方程ax +bx+c=m的根。（ 2）若抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的交点为（ x0， 0），则 x0 是方程 ax 2+bx+c=0 的根。（ 3）有下列对应关系：二次函数 y=ax 2+bx+c（ a0）的图象与一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a 0）根值x 轴的位置关系的情况有两个公共点有两个不相等的实数根 0只有一个公共点有两个相等的实数根 =0无公共点无实数根 0？（2） x 取什么值时，解：根据图象知：（ 1） 方程 x2+3x-4=0 的解为 x1=-4 ， x2=1.（ 2） x1 时， y0.（ 3） -4x1 时， y0抛物线与 x 轴有两个不同的交点。3、 原创题：图 26-2-7是二次函数 y= ax2+bx+c 的图象，根据图象知： 方程 ax2+bx+c+1=0 根的情况是有两个相等的实数根。 解析 方程 ax2+bx+c=-1 的两实根相等。5、抛物线 y= ax2+2ax+a2+2 的一部分图象如图26-2-8 所示。那么，该抛物线在y 轴右侧与 x 轴交点的坐标为（ B）A、（ 1 ，0） B 、（ 1，0） C、（ 2，0） D、（ 3，0）22a1，此抛物线的对称轴为 x=-1.解析 2a又两交点关于对称轴x=-1 对称。另一交点坐