人教版九年级上册数学《垂直于弦的直径》教学设计及基础检测(含答案)

1、24 1.2垂直于弦的直径1进一步认识圆是轴对称图形2能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题3认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”， 位于河北省赵县， 是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有 1400 多年了，是隋代开皇大业年间 (605 618) 由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，全长 50.82 米，桥宽约 10 米，跨度 37.4 米，拱高 7.2 米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥你知道

2、主桥拱的圆弧所在圆的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】垂径定理的理解如图所示，O的直径垂直弦于点，且P是半径的中点，6cm，则ABCDPOBCD直径的长是()ABA 2 3cmB 32cmC 4 2cmD 4 3cm解析： 直径 ， 6，3. 连接，是的中点，设为x，则ODAB DC CDDPOD POBOP为 2x，在 Rt DOP中，根据勾股定理列方程32 x2 (2 x) 2，解得 x3. OD23， AB 43. 故选 D.方法总结： 我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是

3、一段圆弧( 图中的 AB) ，点 O是这段弧的圆心， C是AB上一点， ，垂足为， 300m， 50m，则这段弯路的半径是 _m.OC ABDABCD解析： 本题考查垂径定理，OC AB，AB 300m， AD 150m.设半径为 R，根据勾股定理可列方程 R2 ( R 50) 2 1502，解得 R 250. 故答案为 250.方法总结： 将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角如图所示， O的弦 AB、AC的夹角为 50， M、N分别是 AB、AC的中点，则 MON的度数是 ()A 100 B 110

4、C 120 D 130解析： 已知M、 N 分别是 AB、 AC的中点，由 “ 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦” 得OM AB、ONAC，所以 AEO AFO 90，而 BAC50，由四边形内角和定理得MON 360 AEO AFO BAC 360 90 90 50 130.故选 D.【类型二】利用垂径定理的推论求边如图，点 A、 B 是 O上两点， AB 10cm，点 P是 O上的动点 ( 与 A、 B 不重合 ) ，连接 AP、BP，过点 O分别作 OE AP于 E， OF PB于 F，求 EF的长解析： 运用垂径定理先证出EF是 ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的 EF与

5、AB建立关系，从而解决问题解：在 O中， OE AP，OF PB， AE PE，BF PF， EF是 ABP的中位线， EF11 2AB 210 5cm.方法总结： 垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手【类型三】动点问题如图， O的直径为 10cm，弦 AB 8cm，P 是弦 AB上的一个动点，求OP的长度范围解析： 当点P处于弦AB的端点时，最长，此时为半径的长；当时，OPOPOPOP AB最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长解： 作直径 MN弦 AB，交 AB 于点 D，由垂径定理，得AD DB

6、21AB 4cm.又 O的直径为 10cm，连接 OA， OA5cm.在 Rt AOD中，由勾股定理，得OD22OA AD3cm.垂线段最短，半径最长，OP的长度范围是3 OP5( 单位： cm)方法总结： 解题的关键是明确 OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易出错的地方是不能确定最值时的情况三、板书设计教学过程中， 强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关垂径定理的应用.在圆中求有关线段长时，可考虑基础导练1.半径为3 的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A 3B4C5D72.如图，AB为圆 O的弦，圆 O的半径为 5，OCAB于点 D，交圆 O于点 C，且 CD=2，则 AB的长是.能力提升3.绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为 8m，桥拱半径OC 为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m