第11周相似三角形知识点及典型例题

1、相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1) 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。(2) 平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。(3) 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。(4) 判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。(5) 判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个

2、三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。(6) 判定直角三角形相似的方法： 以上各种判定均适用。 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，Rt ABC 中，/ BAC=90 ,AD是斜边 BC上的高，则有射影定理如下：(1) ( AD) 2=BD- DC( 2)( AB) 2=BD BC ,22 2(AB) + ( AC) = ( B

3、C)(3)( AC) =CD BC。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即11典型例题：例1 如图，已知等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D, CG II AB , BG分别交AD , AC于E、 F,求证：BE2 =EF EG【解题技巧点拨】FB FD例2 已知：如图，AD是Rt ABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于 F，求证：BA = AC【解题技巧点拨】一、如何证明三角形相似例1、如图：点G在平行四边形 ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F,则厶AGD s s 例2、已知 ABC中，AB=AC，/ A=36 , BD是角平分线, 求

4、证： ABC BCD例3 :已知，如图，D ABC内一点连结 ED、AD，以BC为边在 ABC外作/ CBE= / ABD，/ BCE= / BAD求证： DBE ABC二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、 ABC中，在 AC上截取 AD，在CB延长线上截取 BE，使AD=BE，求证：DF AC=BCFEDM丄BC于点E,交BA的延长线于点 D。例6:已知：如图，在 ABC中，/ BAC=90 , M是BC的中点,求证:2(1) MA =MD *ME;AE2 MEAD2 MD例7 :如图 ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,求证：AE: ED=2AF :

5、 FB。D、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例8 :已知：如图E、F分别是正方形 ABCD的边AB和AD上的点，且EBABAFAD1。求证：/ AEF= / FBD39、在平行四边形 ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线,求证:SQ / AB , RP / BC例10、已知A、C、E和B、F、D分别是/ O的两边上的点，且AB / ED, BC / FE,例11、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG / AC交AB于G,求证：FC=FGE例12、Rt ABC锐角C的平分线交 AB于E,交斜边上的高 AD于O,过O引

6、BC的平行线交 AB于F,求证：AE=BFD课后作业一、填空题21已知：在 ABC中，P是AB上一点，连结 CP,当满足条件/ ACP=或/ APC= 或 AC2=时, ACPABC .2两个相似三角形周长之比为4 : 9,面积之和为291，则面积分别是 。3如图，DEFG是Rt ABC的内接正方形，若 CF= 8, DG = 4 2，贝V BE =4.如图，直角梯形ABCD 中，AD | BC , AD 丄 CD , AC 丄 AB，已知 AD = 4, BC = 9，贝U AC =5.A ABC中，AB = 15, AC = 9，点D是AC上的点，且 AD=3 , E在AB 上, ADE与

7、厶ABC相似，则 AE的长等 于。6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则/ BDC的度数为第3）题图第M）题图A DB第（6）题图14 ABC 中，AB = AC，/ A = 36 BC = 1, BD 平分/ ABC 交于 D，贝U BD =, AD =，设 AB = x,则关于x的方程是.&如图，已知D是等边 ABC的BC边上一点，把 ABC向下折叠，折痕为 MN，使点A落在点D处，若BD : DC=2 : 3AM : MN=。、选择题9如图，在正 ABC中，D、E分别在 AC、AB上，且1,AE=BE，则有（）3A . AED BEDB . AEDCBDADAC AED ABDD

8、. BAD BCDA.111.如图,A . 3对10 .如图,在厶誓.4.对C .C延长线C . 5对山越烈AC 3,则CD的长为（）5D.2交于点E,与DC交于点F,则图中相似三角形共有（）D . 6对12. P是Rt ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点这样条件的直线共有()B.2条C. 3条D . 4条P作直线截厶ABC ,13. 如图，在直角梯形 ABCD中，AB = 7, AD = 2, BC=3，若在 AB上取一点 P,使以点占QB点出发，经过多少时间，P、A、D为顶点的三角形和以 P、B、C为顶点的三角形相似，这样的A . 1个B. 2个C. 3个D . 4个三、解答下列各题

9、14. 如图，长方形 ABCD中，AB=5 , BC = 10 ,点P从A点出发，沿AB作匀速运动， 从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、DEFG内接于Rt AABC , EF在斜边线段PQ恰与线段BD垂直?15 .已知：如图，正方形(2) EF2= BE-FC(答案)例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角/ G外，由BC / AD可得/仁/ 2,所以 AGD EGC。再/仁/ 2 (对顶角)，由 AB / DG 可得/ 4= / G,所以 EGCs

10、 EAB。例2分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然/C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：/ A=36 , ABC 是等腰三角形，/ ABC= / C=72。又 BD 平分/ ABC，则/ DBC=36 在厶 ABC 和厶 BCD 中，/ C 为公共角，/ A= / DBC=36 ABC BCD例3分析： 由已知条件/ ABD= / CBE，/ DBC公用。所以/ DBE= / ABC，要证的厶DBE和厶ABC，有一对角相 等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到厶 CBE ABD，这样既

11、有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在厶CBE和厶ABD中，/ CBE= / ABD,/ BCE= / BAD CBEABD BCABBE即：竺=竺BD BE BD DBE 和厶 ABC 中，/ CBE= / ABD, / DBC 公用CBE+ / DBC= / ABD+ / DBC DBE= / ABC 且 匹=JABDBE ABCBE BD例4分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形: (1)如图：称为“平行线型”的相似三角形E如图：其中/ 1 = / 2，则 ADE ABC称为“相交线型”的相似三角形。EC(3)

12、如图：/ 仁/2,/ B= / D，则 ADE ABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与厶ECA解：设 AB=a，贝U BE=EF=FC=3a ,由勾股定理可求得 AE= . 2a ,在厶EAF与厶ECA中，/ AEF为公共角，且二竺 =_ 2所以 EAF ECA EF AE例5分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF : FE=BC : AC,再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过D点作DK / AB，交BC于K ,/ DK / AB , DF : FE=BK : BE又 AD=BE , DF: FE=

13、BK : AD , 而 BK : AD=BC : AC即 DF: FE= BC : AC , DF AC=BC *FE例 6 证明：（1 ）/ BAC=90 0, M 是 BC 的中点， MA=MC , / 1= / C, / DM 丄 BC , / C= / D=90 0- / B， / 1= / D ,/ 2=/ 2 , MAEMDA , MAMEa MA2=MD ME ,MDMA(2 ) MAEMDA , .AEMAAEME aAE2MAMEAD_ MD，AD 一MAAD2_ MD MA评注：命题1 如图，如果/ 1= / 2，那么 ABD s ACB , AB2=AD AC。 命题 2

14、 如图，如果 AB2=AD *AC，那么 ABD ACB，/ 1= / 2。MEMD例7 分析：图中没有现成的相似形,察要证明的结论，紧紧扣住结论中“也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观AEAE : ED ” 的特征，作 DG / BA 交 CF 于 G，得 AEF DEG ,DEAFODGAE 2 AFAF1与结论相比较，显然问题转化为证 DG FB。EDFB1 ”2BF2证明：过D点作DG / AB交FC于G则厶AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）竺=竺 （1 ）DE 一DG/ D为BC的中点，且 DG /

15、 BF /. G为FC的中点则DG CBF的中位线，DG J BF （ 2 ）将（2 ）代入（1 ）得:_2AE _ AF 2AF2例8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角 分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角 三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作 FG 丄BD，垂足为 G。设 AB=AD=3k 则 BE=AF=k , AE=DF=2k , BD= 3 -2k/ADB=45 0，/ FGD=90 0 a / DFG=45 0 a DG

16、=FG= DF_ 去 /. BG= 3 2k - 2k = 2.2k /.2AFFG1AE BG 2 又/ A= / FGB=90 0 AEF GBF a/ AEF= / FBD例9分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。 利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。 要证明SQ/ AB ,只需证明AR: AS=BR :DS。ARASBRDS证明：在厶ADS和厶ARB中。/ DAR= / RAB= - / DAB，/ DCP=/ PCB= - / ABC / ADSABR2 2Ar br但厶 ADS 也厶 CBQ

17、 , a DS=BQ，贝U, a SQ/ AB，同理可证，RP / BCAS BQ例10分析：要证明AF / CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明af CD，只要证明ocpo!即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明： AB / ED, BC / FE aOAOEOB OEOD，OCOFOBa两式相乘可得:OAOFOC OD例11分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用 比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与 FC、FG相关的比例线段，图中与 F

18、C、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到FCFG? ”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。证明： FG / AC / BE , ABE AGF 则有=-AL 而 FC/ DE/. AEDAFCBE AECF AF GF CF AF、计曲竹DF GF 刚则有又 BE=DE (正万形的边长相等)，即GF=CF。DE AE BE DE AEBE BE例12证明:CO 平分/ C ,Z 2=Z 3,故 Rt CAEs Rt CDO ,AEODACCD又 OF / BC ,BFOD俎 又 Rt ABD s Rt CAD , 吃ADCDABAD，AEODBF AE=BF。OD97.1,1,x 2-x-1=08.7 : 8、/ B、/ ACB、AP AB 2.48,2433.44.65.5 或 56.135二、9.B10.C11.D12.C13.C三、14. 5 分钟 15.(1)(略)(2)证厶 GFCBE