二次函数练习题B答案

1、二次函数练习题 B参考答案与试题解析一、解答题（共12 小题，满分0 分）1已知二次函数与 x 轴交于 A 、B 两点， A 在 B 点的左边，与y 轴交于 C点，点 P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边S PAC=4，求 P 点坐标考点 ：抛物线与 x 轴的交点；二次函数的性质分析：如图，过点 P 作 PE x 轴于点 E将 PAC 的面积转化为 S=S 梯形 OCPE PACSOAC SPAE解答：解：二次函数的解析式为，且该函数图象与x 轴交于 A 、B两点， A 在 B 点的左边，与y 轴交于 C 点，当 y=0 时，=0，解得 x1=1 ， x2=3，即 A（ 1， 0），B（

2、3，0）当 x=0 时， y=2 ，即 C（0， 2） OC=2 ，OA=1 ， OB=3 ， AB=2 如图过点P 作 PE x 轴于点 E设 P 点的坐标（ x，）（ x 0）则 SPAC=S 梯形 OCPE SOAC SPAE= （+2）x12（ x 1）（） =4即 x2 x 12=0 ，解得 x= 3（舍去），或 x=4当 x=4 时， y=2 P 点坐标是（ 4， 2）答： P 点坐标是（ 4， 2）点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质解答该题时，注意转化思想的应用2已知抛物线 y=x24x+3 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，连 AC ，将

3、直线 AC向右平移交抛物线于点P，交 x 轴于 Q 点，且 CPQ=135 ，求直线 PQ 的解析式考点 ：抛物线与 x 轴的交点；一次函数图象与几何变换分析：首先由抛物线解析式求得点A、C 的坐标，从未求得OC=3，OA=1 然后如图，作 CA AE交直线 PC 于 E，EH x 轴于 H，构建全等三角形：AOC EHA（ AAS ），所以由全等三角形的性质可以求得点 E 的坐标，从而易求直线CE 与抛物线的交点 P的坐标然后根据平行线的斜率相等来求直线 PQ的解析式解答：解：抛物线y=x2 4x+3 与 x轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，易求 A（ 1，1），C（0，3），直线

4、AC 的解析式为y= 3x+3 OC=3 ，OA=1 CPQ=135 ， EPQ=45 ，AC PD， ACP=45 ，作 CAAE 交直线 PC于 E，EH x 轴于 H，则ACO= EAH，AC=AE ，AOC= EHA=90，在AOC 与EHA 中， AOC EHA （ AAS ） CO=HA=3 ，AO=HE=1 ，点 E 的坐标为（ 4， 1），直线 CE 的解析式为 y=x+3 ，有，解得点 P 坐标为（，）AC PQ，直线 PQ 的解析式为： y=3x+点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，一次函数图象与几何变换注意此题的辅助线的作法是解题的难点3如图，抛物线2y= x +4

5、与x 轴于A、B 两点，点Q 为抛物线在第二象限上的一点，且AQB=90 ，求 Q 点的坐标考点 ：抛物线与 x 轴的交点分析：根据题意知点 Q在以 AB 为直径的圆上设 Q（m、 n），则22m +n =4 ，所以由二次函数图象上点的坐标特征知 n=2 由m +4 联立方程组即可求得点 Q的坐标解答：解：如图，令y=0，则2x +4=0 ，解得， x1=2，x2=2，A （ 2， 0），B（ 2， 0）， AB=4 又 AQB=90 ，点 Q在以 AB为直径的圆上设 Q（ m、n）（ m 0， n 0）则，解得，点 Q 的坐标为（，1）点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点解题时，引入了圆的

6、知识：直径所对的圆周角是直角2与 x 轴交于 A 、B ，点 C（ 2， m）在抛物线上，点 P4如图，将抛物线 y= （ x1） +在 y 轴的正半轴上，且 BCP 为等腰三角形，求点P 的坐标考点 ：分析：抛物线与 x 轴的交点；等腰三角形的性质将 C 坐标代入抛物线解析式求出 m 的值，确定出点 C 坐标；然后分类讨论：BC为底和BC解答：为腰两种情况下的点 P 的坐标解：令 y=0，则（ x 1）2+=0，解得，x=4 或 x=2如图所示， A（2，0），B（ 4，0）把 C（ 2，m）代入抛物线解析式，得到： m=（21）2+=4，则C（ 2，4）BC=2P 在 y 轴的正半轴上，设

7、P（0，y）（ y 0） 当 BC=PC时，=2，解得， y=8 或y=0（都不合题意，舍去）， 当 BC=PB时，=2，解得，y=2 或 y=2（不合题意，舍去）则 P（ 0， 2）； 当 PC=PB时，=，解得，y=则P（ 0，）综上所述， 符合题意的点 P 的坐标是：（ 0，2），（0，）点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点解题时，要根据等腰三角形的性质， 进行分类讨论， 以防漏解5如图，抛物线y=x2 x与 x 轴交于 A 、B 两点， D 为 y 轴上一点， E 为抛物线上一点，是否存在这样的点 D 和 E，使以 A 、D、B 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 D 、

8、E 的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：分析：二次函数综合题先由抛物线的解析式，求出 A 、B 两点的坐标，假设存在这样的点 D和E，能够使以 A、D、B、 E 为顶点的四边形为平行四边形， 再分两种情况进行讨论：当AB为平行四边形的边时，由DE=AB=4 ，可求得点 E 的横坐标，代入 y=x2x，进而求得点 D、E 的坐标；当AB为平行四边形的对角线时， 先由中点坐标公式求出 AB 的中点坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分，求出点 E 的横坐标，代入y= x2x ，进而求得点 D 、E 的坐标解答：解： y= x2 x ，当 y=0 时，x2 x=0，解得 x= 1 或3，A 点的坐标

9、为（ 1， 0）， B点的坐标为 （ 3，0），AB=3 （ 1）=4假设存在这样的点 D和E，能够使以 A、D、B、 E 为顶点的四边形为平行四边形 分两种情况： 当AB 为平行四边形的边时，则DE=AB=4 D 为 y 轴上一点，D 点横坐标为 0，E 点横坐标为： 0+4=4 或 04= 4，E1（ 4，），E2（ 4，），D 1（ 0，），D2（ 0，）； 当AB 为平行四边形的对角线时，A （ 1， 0），B（ 3， 0），AB 的中点坐标为（ 1， 0），D 为 y 轴上一点，D 点横坐标为 0，E 点横坐标为： 2，E3（ 2，），平行四边形的对角线互相平分，点 D3 的坐标为（

10、 0，），综上可知， 存在这样的点D 和E，能够使以A 、D、B、E 为顶点的四边形为平行四边形， 此时D1（ 0，），D 2（0，）， D3（0， ），E （ 4，1）， E2（ 4，），E3（ 2，）点评：本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质， 难度适中， 运用分类讨论与数形结合思想是解题的关键6如图，抛物线y= 2与 y 轴交于点 A ，对称轴交 x 轴于点 B ，连 AB ，点 P 在 yx + x+1轴上，点 Q 在抛物线上，是否存在点P 和 Q，使四边形 ABPQ 为矩形？若存在，求点 Q 的坐标考点 ：专题 ：分析：二次函数综合题压轴题先令 x=0 ，求出y 的值得到

11、AO的长度， 根据对称轴解析式求出 OB 的长度，根据矩形的四个角都是直角可得ABP=90 ，然后求出BAO= PBO，从而得到AOB 和BOP 相似，利用相似三角形对应边成比例求出 OP 的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标， 然后求出点 Q 的坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点Q的坐标代入抛物线解析式进行验证即可解答：解：存在点 P（ 0，4）， Q（ 2，3），使四边形ABPQ 为矩形理由如下：令x=0，则 y=1，AO=1 ，抛物线对称轴为直线x=2，OB=2 ，四边形 ABPQ为矩形， ABO+ PBO= ABP=90 ， BAO+ ABO=90 ， BAO= P

12、BO，又 AOB= BOP=90， AOB BOP， = ，即 = ，解得 OP=4，点 P 的坐标为（ 0， 4）， AP 的中点，即矩形的中心 C的坐标是（ 0， 1.5），设点 Q（x，y），则=0，= 1.5，解得 x= 2，y= 3，点 Q 的坐标为（ 2， 3），当 x= 2 时，y=（ 2）2+ （ 2）+1= +1=4+1= 3，点 Q 在抛物线 y= 2x +x+1 上，故存在点P（ 0， 4）， Q（ 2， 3），使四边形ABPQ 为矩形点评：本题是二次函数综合题型， 主要利用了矩形的性质， 相似三角形的判定与性质，中心对称的点的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征， 利

13、用中心对称求出点 Q 的坐标是解题的关键27如图，抛物线y=x +x2，经过点C（ 3， h），CD x 轴，垂足为D 点，Rt AOB Rt CDA ， A 、 B 分别在 x 轴， y 轴上，在对称轴右侧的抛物线上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形？若存在，求出点P、Q 的坐标；若不存在，说请明理由考点 ：分析：二次函数综合题将点 C（ 3，h）代入抛物线y=2x +x 2，可求点 C 的坐标，根据全等三角形的性质可得 OA=CD=1 ，OB=AD=3 1=2，以 AB 为边在抛物线的右侧作正方形AQPB ，过 P 作PE y 轴，过 Q作 QG 垂直 x 轴于 G，不难得出三

14、角形 ABO 和三角形 BPE 和三角形 QAG 都全等，据此可求出 P，Q 的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、 Q是否在抛物线上解答：解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ 是正方形把点 C（ 3，h）代入抛物线2y=x +x2，则 h=（ 3）2+（ 3）2=1，则 C 点坐标为（ 3， 1），Rt AOB Rt CDA ，OA=CD=1 ，OB=AD=3 1=2，以 AB 为边在AB 的右侧作正方形 ABPQ ，过P 作 PEOB 于E， QG x 轴于G，可证PBE AQG BAO ，PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，P 点坐标为（

15、2， 1），Q 点坐标为（ 1，1）2y=x +x 2，当 x=2 时，y=1；当 x=1 时，y= 1P、 Q 在抛物线上故在抛物线 （对称轴的右侧） 上存在点 P（ 2，1）、Q（ 1，1），使四边形 ABPQ是正方形点评：本题主要考查了二次函数解析式的应用、 正方形的判定、 全等三角形的判定和性质等知识点综合性强，涉及的知识点多，难度较大28如图，抛物线y= x +x+1 与x 轴交于A 、B，与y 轴交于点C，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A 、C、B 、P 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出在，请说明理由P 点的坐标；若不存考点 ：分析：二次函数综合题先利用勾股定理的逆定理证

16、得 ACB=90 ，那么以 A 、C、B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形时， 分两种情况进行讨论： 以 BC、AP为底， AC 为高时，先求出直线BC的解析式，进而确定直线AP的解析式，解答：联立抛物线的解析式即可求出点 P 的坐标； 以 AC、BP为底， BC 为高时，同 ，先求出直线 AC 的解析式，进而确定直线 BP 的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点 P 的坐标解：在抛物线上存在点 P（，）或（， 9），理由如下：y= 2x +x+1，当 y=0 时，2x +x+1=0 ，解得 x1=，x2=2，A （，0），B（ 2， 0）；当 x=0 时，y=1，C（ 0，1）2AC =+1

17、=2，BC =1+4=5 ，2AB =（2+）2= ；22AC +BC =AB 2， ABC 是直角三角形，且 ACB=90 以 A、C、 B、P四点为顶点的四边形是直角梯形时， 分两种情况： 如果 BC 、AP为底，AC 为高，如图 1；B （ 2，0）， C（ 0， 1），直线 BC 的解析式为： y=x+1 ；设过点 A 且平行于 BC 的直线AP 的解析式为y=x+m ，则有：（） （） +m=0 ，m= ； y= x 由，解得，点 P（，）； 如果 AC 、BP为底，BC 为高，如图 2；A （，0），C（ 0， 1），直线 AC 的解析式为：y=2x+1 ；设过点 B 且平行于 A

18、C 的直线BP 的解析式为y=2x+n ，则有：22+n=0 ，n= 4； y=2x 4由，解得，点 P（， 9）；综上可知， 当点P的坐标为（，）或（，9）时，以 A 、C、B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求一次函数的解析式、 勾股定理的逆定理、 直角梯形的判定，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中利用数形结合、分类讨论是解题的关键9如图，抛物线y=x2 4x+3 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，过点 B 的直线与抛物线交于另一点 E，若经过A 、 B、 E 三点的 M 满足 EAM=45 ，求直线 BE 的解析式考点

19、 ：专题 ：分析：二次函数综合题压轴题利用抛物线解析式求出点A 、B、 C 的坐标，再根据垂径定理求出点M 的横坐标为2，然后设 M（ 2，a），再根据圆的半径 MB=MC ，利用勾股定理列式求解即可得到点 M 的坐标，连接 ME ，过点M 作 MP x 轴，再过点 E作EP MP 于 P，过点A作AQMP 于 Q，利用 “角角边 ”证明 EMP 和MAQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 EP=MQ ，MP=AQ ，然后求出点 E 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答解答：解：令 y=0，则2x 4x+3=0 ，解得 x1=1，x2=3，点 A （3，0），B（ 1， 0），令 x

20、=0，则 y=3，点 C（ 0，3），由垂径定理， 点M在AB的垂直平分线上，点 M 的横坐标为 2，设 M （ 2， a），MB=MC ，（ 2 1）222+a =2 +（ 3 a）2，解得 a=2，点 M（ 2，2），如图，连接 ME ，过点M作MP x 轴，过点E 作 EPMP 于P，过点 A 作AQMP 于 Q， EAM=45 ， AME=180 452=90 ， EMP+ AMQ=90 ， AMQ+ MAQ=180 90=90， EMP= MAQ ，在 EMP 和MAQ 中， EMP MAQ （ AAS ），EP=MQ=3 2=1，MP=AQ=2 ，点 E 的横坐标为 2+2=4 ，

21、纵坐标为 2+1=3，点 E 的坐标为（ 4， 3），设直线 BE 的解析式为 y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线BE的解析式为y=x 1点评：本题是二次函数综合题型， 主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求法， 垂径定理， 勾股定理的应用， 全等三角形的判定与性质， 待定系数法求一次函数解析式， 难点在于作辅助线构造出全等三角形并求出点 E的坐标2A 、 B、 C 三点，将 OAC 沿 AC 翻折得到10如图，抛物线 y= x +4x 3 与坐标轴交于ACE ，直线 AE 交抛物线于P 点，求直线AP 的解析式和P 点坐标考点 ：分析：二次函数综合题点 P为直线 AE和抛物线的交点，欲求

22、点P，必须先求出直线 AE 的解析式；设直线AE与 y 轴的交点为F，易得FOA FEC，由于 OA=1 ，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到 FE=3OF ，设 OF=x ，则EF=3x ，AF=3x1，进而可在Rt FOA 中求出 x 的值， 也就能求出 F 点的坐标，然后利用待定系数法求出直线 AE 的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点 P 的坐标解答：解： y= 2x +4x 3=（ x1）（ x 3），A （1， 0），B（3， 0）令 x=0，则 y= 3，则 C（ 0，3）如图，设 AE 交y 轴于点 F；易证得FOA FEC，有= = ，设 OF=x ，则EF=3

23、x ，所以 FA=3x 1；在 RtFOA 中，由勾股定理得：（3x 1）22，=x +1解得 x=；即 OF= ，F（ 0，）；求得直线AE 为y=x+，联立抛物线的解析式得：，解得或（不合题意，舍去）故点 P（，）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、 函数图象交点坐标的求法、图形的旋转变化、 全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的坐标意义等知识2与坐标轴交与A 、 B 、C 三点，点 M 在线段 BC 上，将线11如图，抛物线 y= x +4x 3段 OM 绕 O 点逆时针旋转 90，点 M 的对应点 N 恰好落在第一象限的抛物线上，求N 点的坐标考点 ：二次函数综合题分析：2由 y=

24、 x +4x3=（ x 3）（ x1），可得抛物线和 x 轴交于 A（1，0），B（ 3，0）两点， C（ 0，3），从而得到OBC 是等腰直角三角形， 连结 MN ，BN 根据 SAS 证明OCM OBN，可得OCB= OBN=45，NBC=90 ，根据待定系数法可得直线BC 解析式为： y=x 3，直线 BN 的解析式为y=x+3，联立抛物线和直线 BN 解析式可得，解方程组即可得到 N 坐标解答：解： y= 2 3=（ xx +4x3）（ x 1），抛物线和 x 轴交于 A （1，0），B（3，0）两点，当 x=0 时，y= 3，抛物线与 y 轴交于 C（ 0， 3），对称轴为x=2，顶点纵坐标y=4+4 2 3=1，顶点坐标D（ 2，1），OC=OB ， OBC 是等腰直角三角形， OCB= OBC=45 ，连结 MN ，BN则 OM=ON ， COB= MOA=90 ， COB MOB= MON MOB ， COM= BON，在 OCM 与OBN 中， OCM OBN （ SAS）， OCB= OBN=45 ， NBC=90 ，由 B（3，0），C（ 0， 3）可得直线 BC 解析式为： y=x 3，设直线 BN 的解析式为 y=x+m ，由 B（ 3，0），可得 3+m=0 ，解得 m=3，则直线 BN 的解析式为 y=x+