5955009691自动控制原理胡寿松第5版课后习题及答案完整

1、21设水位自动控制系统的原理方案如图 118 所示，其中 q1 为水箱的进水流量，q2 为水箱的用水流量，h 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 f，希望水面高度为 h 0 ，与 h 0 对应的水流量为 q0 ，试列出水箱的微分方程。解当 q1 = q2 = q0 时，h = h 0 ；当 q1 q2 时，水面高度 h 将发生变化，其变化率与流量差 q1 q2 成正比，此时有f d (h h 0 ) = (q q ) (q q )dt1020于是得水箱的微分方程为f dh = q qdt1222设机械系统如图 257 所示，其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微

2、分方程式及传递函数。图 257机械系统解图 257(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得f1 ( x&i x&0 ) f 2 x&0 = m&x&0整理得2m d x0 + ( f+ f ) dx0 = fdxidt 212dt1 dt将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得1ms 2 + ( f+ f 2)sx0 (s) =f1 sx i(s)于是传递函数为x 0 (s) =x i (s)f1ms + f1 + f 2图 257(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 a，并设 a 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。 引出点处取为辅助点 b。则由

3、弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 a 和 b 两点可以分别列出如下原始方程：k1 ( xi x) =f ( x& x&0 )k 2 x0 =f ( x& x&0 )消去中间变量 x，可得系统微分方程f (k+ k ) dx0 + k k x= k fdxi12dt12 01dt对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为x 0 (s) =x i (s)fk1 sf (k1 + k 2 )s + k1 k 2图 257(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：k1 ( xi x) + f ( x&i x&0 ) = k 2 x0移项整理得系统微分方程f d

4、x0 + (kdt1+ k 2) x0 =f dxidt+ k1 xi对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即xi (0) = x0 (0) = 0则系统传递函数为x 0 (s) =x i (s)fs + k1fs + (k1 + k 2 )2-3 试证明图2-58()的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。图 2-58电网络与机械系统1r11 c srr解：（a）：利用运算阻抗法得： z= r /= 1 = 1 = 1 11c sr c s +t s +1r1+ 1c1 s1 1111z 2 = r2+ 1c2 s= 1c2 s(r2 c2s + 1) =1c2 s(t2 s +

5、1)u (s)z1(t2 s + 1)c s(t s + 1)(t s + 1)所以： 0 = 2 = 2 = 1 2 u i (s)z1 + z 2r1+t1 s + 11c2 s(t2 s + 1)r1c2 s + (t1 s + 1)(t2 s + 1)(b)以 k1 和 f1 之间取辅助点 a，并设 a 点位移为 x ，方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：k 2 ( xi x0 ) + f 2 ( x&i x&0 ) =f1 ( x&0 x&)（1）k1 x =f1 ( x&0 x&)（2）所以 k 2 ( xi x0 ) + f 2 ( x&i x&0 ) = k1 x对

6、（3）式两边取微分得k 2 ( x&i x&0 ) + f 2 (&x&i &x&0 ) = k1 x&将（4）式代入（1）式中得（3）（4）k1 k 2 ( xi x0 ) + k1 f 2 ( x&i x&0 ) = k1 f1 x&0 f1 k 2 ( x&i x&0 ) f1 f 2 (&x&i &x&0 )整理上式得f1 f 2 &x&0 + f1 k 2 x&0 + k1 f1 x&0 + k1 f 2 x&0 + k1 k 2 x0= f1 f 2 &x&i + f1 k 2 x&i + k1 f 2 x&i + k1 k 2 xi对上式去拉氏变换得12f f112s 2 + (

7、 f k2+ k1 f1+ k10f 2 )s + k1 k 2x (s)12= ff s 2 + ( f k+ k1f 2 )s + k1 k 2 xi(s)所以：x 0 (s) =22f1 f 2 s+ ( f1 k 2 + k1 f 2 )s + k1 k 2f1 f 2k1 k 2=s 2 + ( f1k1+ f 2 )s + 1k 2x i (s)f1 f 2 s+ ( f1 k 2 + k1 f1 + k1 f 2 )s + k1 k 2f1 f 2k1 k 2s 2 +( f1k1+ f 2 )s + 1 + f1k 2k 2( f1k=1s + 1)( f 2k 2s + 1)

8、( f1k1s + 1)( f 2k 2s + 1) + f1k 2所以图 2-58()的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。24 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。解：（a） :列写电压平衡方程：ducucui u0 = ucic = cdtducuc ir1 =r1r1d (ui u0 )ui u0 u0 = (ic + ir1 )r2 = c+ r2 = c+ r2整理得：dtr1 dtr1cr du0 + c r20+ 1u= crdui+ c r2 u2 dtr12 dti(b) :列写电压平衡方程：duc1ui u0 = uc1（1）ic1 = c1dt（2）

9、ic 2 =uc1 + ic1 r r+ ic1 =uc1r+ 2ic1 = c2duc 2dt= c2d (u0 ic1 r)dt（3）即： uc1r+ 2ic1 = c2d (u0 ic1 r)dt2（4）将（1）（2）代入（4）得：ui u0 + 2cd (ui u0 ) = cdu0 c cr d uc1r1dt2 dt1 2dt 2uudududud 2 ud 2 u即： i 0 + 2c i 2c 0 = c 0 c cr i + c cr 0 rr整理得：1 dt1 dt2 dt1 2dt 21 2dt 22c c r d u0ccdu0u0c c r d uiuic dui1

10、2dt 2+ ( 2 + 21 ) dt + r =1 22dt 2+ 2r1 dt2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。(1)2 x&(t ) + x(t ) = t;解：对上式两边去拉氏变换得：（2s+1）x（s）=1/s2 x (s) =1= 1s 2 (2s + 1)s 2 1 +s42s + 1运动模态 e 0.5t所以： x(t ) = t 2(1 e 1 t2 )() &x&(t ) + x&(t ) + x(t) = (t）。解：对上式两边去拉氏变换得：(s 2 + s + 1) x (s) = 1 x (s)

11、=1(s 2 + s + 1)=1(s + 1/ 2) 2 + 3 / 4运动模态 et / 2t3sin 2所以： x(t ) =2 e t / 23t3sin 2（3） &x&(t ) + 2x&(t ) + x(t ) = 1(t）。解：对上式两边去拉氏变换得：(s 2 + 2s + 1) x (s) = 1 x (s) =s1=s(s 2 + 2s + 1)1s(s + 1) 2= 1 s1+s + 11(s + 1) 2运动模态 e t (1 + t )所以： x(t ) = 1 e t te t= 1 e t (1 + t)2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程

12、：q = kp式中 k 为比例常数， p 为阀门前后的压差。若流量 q 与压差 p 在其平衡点 (q0 , p0 ) 附近作微小变化，试导出线性化方程。解：设正常工作点为 a，这时 q0 = kp0在该点附近用泰勒级数展开近似为：y = f ( x) + df ( x) ( x x )0 dx0 x0即 q q0 = k1 (p p0 ) dq 其中 k1 = dp= 1 k1002 p = pp2-7 设弹簧特性由下式描述：f = 12.65 y1.1其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。解：设正常工作点为 a，这时 f = 12.65 y1.100

13、在该点附近用泰勒级数展开近似为：y = f ( x) + df ( x) ( x x )0 dx0 x0即 f f0 = k1 ( y y0 ) df 其中0.10.1k1 = = 12.65 1.1y0= 13.915 1.1y0 dy y = y02-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：0ed = edcos式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。解：设正常工作点为 a，这时 ed= ed 0 cos 0在该点附近用泰勒级数展开近似为：y = f ( x) + df ( x) ( x x )0 dx0 x00即 ed edco

14、s 0 = k s ( 0 )s其中 k = ded d= ed 0 sin 0 =2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应 c(t) = 1 e 2t + e t ，试求系统的传递函数和脉冲 响应。解：对输出响应取拉氏变换的：c (s) = 1 1+1=s 2 + 4s + 2因为： c (s) = (s)r(s) = 1 (s)ss + 2s + 1s(s + 1)(s + 2)s所以系统的传递函数为： (s) =s 2 + 4s + 2 (s + 1)(s + 2)= 1 +s(s + 1)(s + 2)= 1 1+s + 12s + 2系统的脉冲响应为：

15、g (t ) = (t) e t + e 2t2-10 设系统传递函数为c (s)=r(s)2s 2 + 3s + 2且初始条件 c(0)=-1, c& (0)。试求阶跃输入 r(t)=1(t)时，系统的输出响应 c(t)。解：由系统的传递函数得：2d c(t) + 3 dc(t) + 2c(t ) = 2r (t )（1）dt 2dt对式（1）取拉氏变换得：s 2 c (s) sc(0) c&(0) + 3sc (s) 3c(0) + 2c (s) = 2r(s)将初始条件代入（2）式得(s 2 + 3s + 2)c (s) + s + 3 = 2 1s（2）即： c (s) =2 s 2

16、3s=s(s 2 + 3s + 2)2 2s + 6ss 2 + 3s + 2= 1 s4+s + 12s + 2所以： c(t) = 2 4e t + 2e 2t2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是6 dc(t ) + 10c(t) = 20e(t )dt20 db(t) + 5b(t ) = 10c(t)dt且初始条件均为零，试求传递函数 c (s) / r(s) 及 e(s) / r(s)解：系统结构图及微分方程得：g(s) =206s + 10h (s) =1020s + 51020e (s) 10 10c (s) =10g(s)= 6s + 10 r(s)

17、= =1 + g(s)h (s)20 10r(s)1 + g(s)h (s)1 +20101 +6s + 10 20s + 56s + 10 20s + 510(20s + 5)(6s + 10)1200s 2 + 1500s + 5000=200(20s + 5)= = 200(20s + 5)= =(6s + 10)(20s + 5) + 200120s 2 + 230s + 250(6s + 10)(20s + 5) + 200120s 2 + 230s + 2502-12 求图 2-61 所示有源网络的传递函数1解：（a） z 0 = r0 /=c sr1c0 s 1= r0t s +

18、 1t0 = r0 c0r00 +0c0 su 0 (s) = r1= r1 (t s + 1)ru i (s)z 00（b） z 0= r000/ 1=c sr1c0 s 1= r0t s + 1t0 = r0 c0r00 +0c0 s11z = r + 1= t1 s + 1t = r cc1 sc1 s11 1u 0 (s) = z1 = 1(t s + 1)(t s + 1)u (s)zr c s1 0i 0 0 1z12= r1/( r2+ 1c2 s) = r1/ t2 s + 1c2 s（c）1=r t2 s + 1c2 s= r1 (t2 s + 1)t2 = r2 c21r

19、+ t2 s + 1c2 st2 s + r1 + 1u 0 (s) = z12= r1t2 s + 1u i (s)r0r0 t2 s + r1 + 12-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数u()()。图2-62控制系统模拟电路解：u1 (s)= z1（1）u 2 (s) = z 2（2）u 0 (s) = r2 （3）u 0 (s) + u i (s)r0u1 (s)r0u 2 (s)r0式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得u 0 (s)u 0 (s) + u i (s)= z1 z 2r0 r0r2 即r0r3u 0 (s) + u i (s) =

20、 01 + u i (s) = 0u 0 (s)z1 z 2 r2u 0 (s)z1 z 2 r2r所以：u i (s) = 0 1u 0 (s)z1 z 2 r2r3r+0r11r22u 0 (s) = 1= z1 z 2 r2= t1 s + 1 c2 su (s)r 3r 3 + z z rr13i0+ 1z1 z 2 r23= r1 r201 2 231r t1 s + 1 c2 s(t1 s + 1)c2 sr0+ r1 r22-14 试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求 出电动机的传递函数 m (s) / u a (s

21、) 和 m (s) / m c (s)解：由公式（2-2）、（2-3）、（2-4）取拉氏变换u a (s) ea (s) = il s + ra(s)ea (s) = ce m(s)aacm i a (s) = m m (s)mm m (s) m c (s) = (s)j m s + f m得到系统结构图如下：mcua(s)1ia(s)cmmm1m(s)las+rajms+fmce m (s) =cmla s + ra1j m s + f m=cmu a (s)1 +ce cmla s + ra1j m s + f m(la s + ra )( j m s + f m ) + ce cm m

22、(s) =m c (s)1 +1j m s + f mce cm1=la s + ra(la s + ra )( j m s + f m ) + ce cmla s + raj m s + f m2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度max= 330 o ，功率放大级放大系数为k3,要求：(1) 分别求出电位器传递系数k0、第一级和第二级放大器的比例系数k1和k2；(2) 画出系统结构图；(3) 简化结构图，求系统传递函数 0 (s) / i (s) 。图2-63位置随动系统原理图解：（1） k = 15v01650k = 30 = 3110k = 20 =

23、 2210（2） e (s) = i (s) 0 (s)u s (s) = k 0 e (s)u a (s) = k1 k 2 k su s (s)u a (s) = ra i a (s) + la si a (s) + eb (s)m m (s) = cm i a (s)00mcjs 2 (s) + fs (s) = m (s) m (s)系统结构图如下：eb (s) = k b 0 (s)mmcie00k k kkus1 2 s ua eb1las+ram10js2+fscmkb(3) 系统传递函数 0 (s) / i (s)cmk k k ks(la s + ra )( js + f )

24、0 12sc kk k k k c 0 (s) =1 + m b s(la s + ra )( js + f ) 0 1 2 s m = s(la s + ra )( js + f ) + cm k b i (s)1 + k k k kcms(la s + ra )( js + f )1 + k 0 k1 k 2 k s cms(la s + ra )( js + f ) + cm k b0 12sc k1 + m b s(la s + ra )( js + f )= k 0 k1 k 2 k s cms(la s + ra )( js + f ) + cm k b + k 0 k1 k 2

25、k s cm2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图 2-64 所示：要求（1） 分别求速度调节器和电流调节器的传递函数（2） 画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为 k 3 /( 3 s + 1) ；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为k 4 和 k 5 ；直流电动机的结构图用题 2-14 的结果）；（3） 简化结构图，求系统传递函数 (s) / u i (s)解：（1）速调u st (s)= z1r1 +=1c1 s= r1c1 s + 1 = t1 s + 1u i (s) u f (s)r流调r1r2 +rc1 src1 su lt (s)= z 2 =c2 s= r2 c

26、2 s + 1 = t2 s + 1u st (s) u dlfk (s)rrrc2 src2 s（2）系统结构图如下：k4uit1s+1rc1sufustt2s+1rc2sultk3ua3s+1 eb1mmcmlas+ra iace1jms+fmk5(3) 简化结构图，求系统传递函数 (s) / u i (s)因为求系统传递函数 (s) / u i (s) ，所以令 m c = 0 ，系统结构图如下：k4uit1s+1ufustt2s+1rc2sultk33ua eb1las+ra ia1jms+fmcek5将 k4 后移到输出，系统结构图化简如下：uit1s+1rc1sufustt2s+1

27、rc2sultk4k3ua3s+1 eb1las+ra iajms+fmcmcmce1jms+fmk5进一步化简得：uit1s+1rc1sustt2s+1rc2sultk4k3ua3s+1jms+fmcmcm（las+ra）(jms+fm)+ ce cmufjms+fm2k5进一步化简得：uit1s+1rc1sufk3 cm (t2s+1)2cmrc2s (las+ra)(jms+fm)+ ce cm(3s+1)+ k3 k4 cm(jms+fm)( t2s+1)k5进一步化简得：uik3 cm 212(t s+1)( t s+1)2rc1s cmrc2s (las+ra)(jms+fm)+

28、ce cm(3s+1)+ k3 k4 cm(jms+fm)( t2s+1)+ k5 k3 cm (t2s+1)( t1s+1)所以：(s) =u i (s)3 m21k c 2 (t s + 1)(t s + 1)rc1 scmrc2s(la s + ra)( jm s + f m) + ce cm(3 s + 1)+ k 3 k4 cm( j ms + f m)+ k 5k 3cm(t2 s + 1)(t1 s + 1)2-17 已知控制系统结构图如图2-65所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数c(s)/r(s)。解：（a）图2-65题2-17系统结构图r(s)c(s) g1(s）g2(

29、s）g2(s)g3(s)r(s)c(s) g1(s）g2(s）g2(s)g3(s)r(s)g1(s)+ g2(s)11+g2(s) g2(s)c(s)c (s)所以：=r(s)g1 + g21 + g2 g3（b）r(s)g1(s）g2(s）c(s)h1(s）1+ h1(s)h2(s）r(s)g1 (1+ h1h2)1+ h1h2- g1h1g2(s）c(s)c (s)所以：=r(s)g1g2 (1 + h1 h 2 )1 + h1 h 2 g1 h1(c)g3r(s)g1g21+g2h1c(s)h2r(s)g3g2g11+g2h1c(s)g1h2r(s)g1+g3g21+ g2h1+ g1g

30、2h2c(s)c (s)所以：=r(s)g2 (g1 + g3 )1 + g2 h1 + g1g2 h 2(d)r(s)h2/g3c(s)g1g2g3h3h2r(s)h2/ g1g3g3c(s)g1g21+ g3h3h2r(s)h2/ g1g3g3g1g2c(s)c (s)所以：=r(s)1+ g1h1g1g2 g3(1 + g1 h1 )(1 + g3 h 3 ) + g2 h 21+ g3h3(e)r(s)c(s)g1g2h1/ g3g3h2+ h1/ g3g4r(s)g1g2g31+ g2g3h2+ h1g2c(s)h1/ g3g4r(s)g1g2g31+ g2g3h2+ h1g2- g

31、1g2h1c(s)g4c (s)所以：=r(s)g4 +1 + g g hg1g2 g3+ h g g g h2 321 21 21(f)r(s)h1g1g1g2c(s)g3r(s)g1+g3g21+ g1g2h1c(s)c (s)(g + g )g所以：= 132r(s)1 + g1g2 h12-18 试简化图2-66中的系统结构图，并求传递函数c(s)/r(s )和c(s)/n(s)。解：（1）求c (s)r(s)时， n = 0 这时结构图变为：ggrc12h1rg1g2c1+g1g2h1c (s)所以：=r(s)g1g21 + g1g2 h1 + g1g2（2）求c (s)n (s)时

32、， r = 0 这时结构图变为：cng3g2g1h1进一步化简得cng3g2g1h1g1再进一步化简得：ng2c g31+g1g2h1g1再进一步化简得：ng2c g31+g1g2h11+g1g2h1g1g2再进一步化简得：ng2c g31+g1g2h11+g1g2h1g1g2再进一步化简得：ng2g3-1-g1g2h11+g1g2h1g2c g2+g1 (1+g1g2h1)所以：c (s)r(s)= g2 (g2 g3 1 g1g2 h1 )(1 + g1g2 h1 )g2 + g1 (1 + g1g2 h1 )解：（1）求图2-66题2-18系统结构图c (s)时， n = 0 这时结构图

33、变为：r(s)g1g2r4g2gcg3g1g2r4g2+g3gcg1g2rc g2+g3g4g2+g3rg1g2+g2+g3g4c1+g4(g2+g3)所以：c (s)r(s)= g4 (g1g2 + g2 + g3 )1 + g4 (g2 + g3 )(2) 求c (s)n (s)时， r = 0 这时结构图变为：nc g2g4g3nc g4g2+g3所以：c (s)r(s)= g41 + g4 (g2 + g3 )this is tri2a3l version3-1 设随动系统的微分方程为：t&x&0 + x&0 = k 2 uu = k1 r (t ) x f t f x& f+ x f

34、= x0其中 t,tf, k2 为正常数。如果在外作用 r(t)=1+t 的情况下，使 x0 对 r(t)的稳态误差不大于正常数 0 ,试问 k1 应满足什么条件？ 见习题 3-20 解答3-2 设系统的微分方程式如下：（1）0.2c&(t) = 2r (t )（2） 0.04c& (t) + 0.24c&(t ) + c(t ) = r (t )试求系统的单位脉冲响应 k(t)和单位阶跃响应 h(t)。已知全部初始条件为零。解：（1） 因为 0.2sc(s) = 2r(s)单位脉冲响应： c(s) = 10 / sk (t) = 10t 0单位阶跃响应 h(t) c(s) = 10 / s

35、2（2） (0.04s 2 + 0.24s + 1)c(s) = r(s)h(t) = 10tc(s) =t 0r(s)0.04s 2 + 0.24s + 1单位脉冲响应： c (s) =0.04s 21+ 0.24s + 1k (t) =25 e33tsin 4t单位阶跃响应 h(t)c(s) =2512s + 62s( s + 3)h(t) = 1 e 3t cos 4t 3 e 3t sin 4t4+ 16s(s + 3)+ 163-3 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数（）。（1） k (t ) = 0.0125e 1.25t（2） k (t ) = 5t + 10 sin(4

36、t + 450 )（3） k (t ) = 0.1(1 e t / 3 ) 解：（1） (s) =0.0125s + 1.25（2） k (t) = 5t + 10 sin 4t cos 450 + 10 cos 4t sin 450(s) = 5 + 5s 224+ 5s 2 + 162s= 5 + 5s 2 + 16s 22 s + 4s 2 + 16（3） (s) =0.1 s0.1s + 1 / 33-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t ) = 10 12.5e 1.2t sin(1.6t + 53.1o )试求系统的超调量、峰值时间p 和调节时间s。解： h(t) = 1 11 2e n t sin(1 2 n t + ) = arccos % = e /1 2t p =21 nt = 3.5ns = cos =