精品教案：平面任意力系

1、第三章 平面任意力系教学要求：1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。3-1 平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。一、力

2、的平移定理abababfmffff定理：可以把作用在刚体上点a的力f平移到任一点b，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力f对新作用点b点的矩。证：图中f=f=f，m=mb(f)反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。ffm力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。因为作用在扳手一端的力f与作用在中点的力f和力偶矩为m的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力f往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。omofrof2f1f3of2f1f3m2m3m1二、平面任意力系向作用面内一点简化主矢和主

3、矩有一平面任意力系：f1、f2、f3，向作用面内任一简化中心o点简化。先将各力平移至点o，得：f1、f2、f3、m1、m2、m3，m1= mo(f1)，m2= mo(f2)，m3= mo(f3)合成得主矢： fr= f1+ f2+ f3= f1+ f2+ f3=fi 主矩： mo= m1+ m2+ m3=mo(fi)一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。主矢的解析表达式：fr= frx+ fry=fxi+fyj主矢的大小和方向余弦： fr= cos(fr

4、，i)=fx /fr，cos(fr，j)= fy/fr三、固定端约束力aafamaafaxfayma固定端：一个物体的一端完全固定在另一物体上。例：车刀夹持在刀架上，工件夹持在卡盘上固定不动等。固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系。将这群力向作用面内a点简化得到一个力和一个力偶，一般这个力的大小和方向均为未知量，可用两个未知正交分力代替。因此，在平面力系情况下，固定端a处的约束作用力可简化为两个约束力fax、fay和一个矩为ma的约束力偶。四、平面任意力系的简化结果分析1、简化为一个力偶fr=0，mo0，因力偶对平面内任一点的矩相同，故主矩

5、与简化中心的选择无关2、简化为一合力(1) fr0，mo=0，fr即为合力，过简化中心o。oomofrfroofrfrdoofrd(2) fr0，mo0，合力fr=fr，作用线到o点的距离d=mo/fr，根据主矢和主矩的方向确定合力的作用线在o点的哪一侧。mo=mo(fi)，mo(fr)= frd=mo mo(fr)=mo(fi)平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。3、平衡fr=0，mo=0of1f2f3m4m1.5m0.5m34xyoxyfrmofrdc例3.1 一平面力系：f1=200n，f2=100n，f3=40n，m=30

6、0nm，求(1)力系向c点简化的结果；(2)力系的合力。解：1、向c点简化主矢投影：fx= -f13/5+f3= -2003/5+40= -80n fy= - f14/5- f2= -2004/5-100= -260n主矢大小和方向余弦：fr=272ncos(fr，i)=fx/fr= -80/272= -0.294， = -107.1主矩：mo=mo(fi)= f13/52- f24- f31.5-m=-520 nm2、力系的合力：fr = fr，位于o点的右侧，距o点的距离：d=mo/fr=520/272=1.91m，oc= d/cos(-90)= d/cos17.1=2m3-2 平面任意力

7、系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系的平衡条件充要条件：fr=0，mo=0应有：fr=0 mo=mo(fi) =0二、平衡方程1、一般式 fx=0fy=0 三个方程，可求解三个未知量。mo(f)=0 2、二矩式 一般式中的力矩方程矩心的选择是任意的，当矩心不同时可列出不同的力矩方程，但这些投影和力矩方程中，只有三个是独立的，任何第四个方程只是前三个方程的线性组合。abfrxma(f) =0mb(f) =0 x轴不得垂直于a、b两点的连线。fx=0 3、三矩式 ma(f)=0mb(f)=0 a、b、c三点不得共线。mc(f)=0 上述三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题，究竟选用哪一组方

8、程，须根据具体条件确定。选择适当的坐标轴和矩心，可减少平衡方程中的未知量的数目，以简化解题。对平面任意力系，坐标轴应与较多未知力相垂直，矩心取在两个未知力的交点上。例3.2 已知：q=2kn/m，p=1kn，m=4knm。求：支座a、b处的约束力。pqmab2m2m4m3m3qfnbfaxfay解：1、取刚架研究，受力分析如图。2、列平衡方程fx=0 p+fax=0fy =0 -3q+ fay+ fnb=0ma(f) =0 -p2-3q1.5-m+ fnb3=03、解方程fax= - p= -1kn(向左)fnb=5 knfay=1kn4、校核。可用另一平衡方程校核，例mb(fi) =0abc

9、2m2m2m2m454530p1p2abc30p1p2f1f2f3o1o2例3.3 已知：p1=20kn，p2=40kn，求：杆、所受的力。解：1、取梁abc研究，受力分析如图。假设各杆受拉。2、列方程mo1(f) =0，-p2sin302-p2cos304- f36=0mo2(f) =0，f162+ p16+ p2sin304+ p2cos302=0fx =0， - f1 cos45+ f2cos45- p2sin30=03、解方程得： f1= -31.7kn，f2= -3.4kn，f3= -29.8kn。负号表明，三杆均受压。4、校核。可用平衡方程：fy=0校核。三、平面平行力系的平衡方程

10、oxyf1f2f3fn平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。若取x轴各力，则fx0平衡方程：fy =0 mo(f) =0二矩式： ma(f) =0，mb(f) =0a、b连线不平行于各力。3-3 物体系的平衡静定和超静定问题一、静定和静不定工程中，由几个物体组成的系统是很常见的，当物体系平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，对每个受平面任意力系作用的物体，均可列出三个平衡方程。如物体系由n个物体组成，则共有3n个独立方程。如系统中有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用，则系统的平衡方程数相应减少。静定问题未知量数=独立平衡方程数，所有未知力都能由平衡方程求出。工程问题中，有时为了提

11、高结构的刚度和坚固性，常增加多余约束，使未知量数独立平衡方程数，未知量不能全部由平衡方程求出。超静定(或静不定)问题未知量数独立平衡方程数。afaxfaymapf1f2afaxfaymapf1f2fbb在静力学中只讨论静定问题，对静不定问题，须考虑物体因受力而产生的变形，加列补充方程，使方程数等于未知量数。须在材料力学和结构力学中研究。二、物体系的平衡问题在求解静定的物体系的平衡问题时，可以选每个物体为研究对象，列出全部平衡方程，然后求解；也可先取整个系统研究，列出平衡方程，因方程中不包含内力，式中未知量较少，解出部分未知量，再从系统中选取某些物体研究（可为单个物体，或部分物体组成的系统），列

12、出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。在选择研究对象和列平衡方程时，应使每个平衡方程中的未知量个数尽可能少，以简化解题。bcqd30ffbfcxfcy60abcqdllll3060mffaxfayfbma例3.4 组合梁由ac和cd在c处铰接而成。梁的a端插入墙内，b为滚动支座。已知：f=20kn，q=10kn/m，m=20knm，l=1m。求：a、b处的约束力。解：1、取整体研究，受力分析如图，列平衡方程。 fx=0， fax-fbcos60-fsin30=0 fy =0， fay-2ql+fbsin60-fcos30=0ma(f) =0，ma-m-2ql2l+ fbsin603l- fco

13、s304l=02、取cbd研究，受力分析如图，列方程。mc(f) =0， - qll/2+ fbsin60l- fcos302l=03、联立方程求解。 fb=45.77 kn，fax=32.89kn，fay= -2.32kn，ma=10.37knm本题也可选择物体系的每个物体研究，即分别取cbd、和ac研究，列出6个方程，也可求解。但引入了c处的约束力两个中间未知量，增加了解题的复杂度。brrkp2parp1mbkp2pffbxfbyap1mfaxfayf例3.5 齿轮传动机构，齿轮的半径为r，自重p1，齿轮的半径为r=2r，其上固结一半径为r的塔轮，轮与共重p2=2p1。齿轮压力角=20，被

14、提升的物体重为p=20p1。求(1)保持物c匀速上升时，作用于轮上力偶的矩m；(2)光滑轴承a、b的约束力。解：1、取轮、及重物研究，受力如图，列方程。 fx=0， fbx-fsin20=0fy=0， -p-p2+fby-fcos20=0mb(fi) =0，pr-fcos20r=0解得：f=10.64p1，fbx=3.64p1，fby=32p12、取轮研究，受力如图，列方程。fx=0， fax+fsin20=0fy=0， -p1+ fcos20+fay-=0ma(f) =0，-fcos20r+m=0解得：m=10 p1 r，fax = -3.64p1，fay= -9p13-4平面简单桁架的内力

15、计算工程中，起重机、油田井架、电视塔等结构物常用桁架结构。一、桁架桁架由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构。如桁架所有杆件都在同一平面内，这种桁架称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头称节点。为简化桁架计算，工程中采用以下假设：1、桁架的杆件都是直的；2、杆件用光滑的铰链连接；3、桁架所受力都作用在节点上，且在桁架平面内；4、桁架杆件自重不计，或分配在两端节点上。这样的桁架称为理想桁架，实际桁架与上述假设会有差别，但工程实际中，上述假设能简化计算，且所得结果能符合工程实际需要。根据上述假设，桁架的杆件都可看成二力杆，各杆受力沿杆件方向，只受拉力或压力。二、平面简单桁架平面简单桁架以三角形框架为基础

16、，每增加一个节点需增加两根杆件。可以证明，平面简单桁架是静定的，如增加杆件，将变成静不定桁架。求桁架内力的方法节点法、截面法。节点法逐个取节点研究，求出全部未知力。截面法适当选取一截面，假想地将桁架截开，由任一部分平衡，求出被截杆内力。abcdefp2p1aaaafnbfaxfaybfnbf8f9df8f4f7ff7f6f9f5p2bdfp2fnbf6f5f4例3.6 已知：p1=4kn，p2=1kn。求、杆的内力。解：1、求支座约束力取整体研究，受力分析如图，列方程。fx=0， fax+p2=0fy=0， fay-p1+ fnb=0ma(f) =0，- p1a+ p2a+ fnb3 a=0解得：fax= -1kn，fay=3kn，fnb=1kn。2、用节点法求、杆的内力(1)取节点b研究，受力如图，列方程。fx =0， -f8-f9cos45= 0fy =0， fnb-f9sin45= 0 得：f8= -1kn，f9=kn(2)取节点d研究，受力如图，列方程。fx=0， f8-f4= 0fy=0， -f7= 0 得：f4=