江苏省南京师大附中2019届数学高考模拟试题(含答案)

1、江苏省南京师大附中 2019 届高三数学 5 月最后一卷试题(满分 160 分，考试时间 120 分钟)20195一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 已知集合 ax|x|1，xz，bx|0x2，则 ab_2. 已知复数 z(12i)(ai)，其中 i 是虚数单位若 z 的实部与虚部相等，则实数 a 的值为_3. 某班有学生 52 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为 4 的 样本已知 5 号、31 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是_4. 3 张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖甲、乙两人同时各抽取 1 张奖券，两人 都

2、未抽得特等奖的概率是_5. 函数 f(x) xlog (1x)的定义域为_26. 如图是一个算法流程图，则输出 k 的值为_(第 6 题)(第 7 题)7. 若正三棱柱 abca b c 的所有棱长均为 2，点 p 为侧棱 aa 上任意一点，则四棱锥 pbcc b1 1 1 1 1 1的体积为_8. 在平面直角坐标系 xoy 中，点 p 在曲线 c：yx310x3 上，且在第四象限内已 知曲线 c 在点 p 处的切线方程为 y2xb，则实数 b 的值为_9. 已知函数 f(x) 3sin(2x )cos(2x )(0 0，b0)有相同的焦点，其左、右焦点分别2 a2 b2为 f ，f .若椭圆

3、与双曲线在第一象限内的交点为 p ，且 f p f f ，则双曲线的离心率为 1 2 1 1 2_112. 在平面直角坐标系 xoy 中，点 a 的坐标为(0，5)，点 b 是直线 l：y x 上位于第一2象限内的一点已知以 ab 为直径的圆被直线 l 所截得的弦长为 2 5，则点 b 的坐标为 _13. 已知数列a 的前 n 项和为 s ，a 1，a 2，an n 1 2 n2an2，n2k1，kn*， 则2an，n2k，kn*，满足 2 019s 3 000 的正整数 m 的所有取值为_m 14. 已知等边三角形 abc 的边长为 2，am2mb，点 n，t 分别为线段 bc，ca 上的动

4、点， 则abntbctmcamn取值的集合为_二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤15. (本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 的终边与单位圆 o 交于点 a，且点 a 的纵坐标是1010.553(1) 求 cos( )的值；4(2) 若以 x 轴正半轴为始边的钝角 的终边与单位圆 o 交于点 b，且点 b 的横坐标为 ，求 的值16. (本小题满分 14 分)如图，已知正方形 abcd 和矩形 acef 所在的平面互相垂直，ab 2，af1，m 是线段 ef 的中点求证：(1)

5、am平面 bde；(2) am平面 bdf.17. (本小题满分 14 分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以 o 为圆 心的半圆及直径 ab 围成在此区域内原有一个以 oa 为直径、c 为圆心的半圆形展示区，该 广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区 copq，其中 p，q 分别在半圆 o 与 半圆 c 的圆弧上，且 pq 与半圆 c 相切于点 q.已知 ab 长为 40 米，设bop 为 2 .(上述图形 均视作在同一平面内)(1) 记四边形 copq 的周长为 f( )，求 f( )的表达式；(2) 要使改建成的展示区 copq 的面积最大

6、，求 sin 的值1 2118. (本小题满分 16 分)x2 y2在平面直角坐标系 xoy 中，已知椭圆 c： 1(ab0)的左、右焦点分别为 f ，f ，a2 b2且点 f ，f 与椭圆 c 的上顶点构成边长为 2 的等边三角形1 2(1) 求椭圆 c 的方程；(2) 已知直线 l 与椭圆 c 相切于点 p，且分别与直线 x4 和直线 x1 相交于点 m， nfn.试判断 是否为定值，并说明理由mf11 nn2nnn19. (本小题满分 16 分)n（n1）n（b b ）已知数列a 满足 a a a 2 2 (nn*)，数列b 的前 n 项和 s 1 2 n n n(nn*)，且 b 1，

7、b 2.1 2(1) 求数列a 的通项公式；n(2) 求数列b 的通项公式；n1 1(3) 设 c ，记 t 是数列c 的前 n 项和，求正整数 m，使得对于任意的 nna b bn n n1均有 t t .m n*20. (本小题满分 16 分)设 a 为实数，已知函数 f(x)axex，g(x)xln x.(1) 当 a0 恒成立，求 b 的 取值范围；(3) 若函数 h(x)f(x)g(x)(x0，xr)有两个相异的零点，求 a 的取值范围1 02019 届高三模拟考试试卷数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】 在 a，b，c 三小题中只能选做两题，每小题

8、10 分，共 20 分若多做， 则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤a. (选修 42：矩阵与变换) 已知矩阵 a1 10 1 ，二阶矩阵 b 满足 ab 0 1 .(1) 求矩阵 b；(2) 求矩阵 b 的特征值b. (选修 44：坐标系与参数方程)设 a 为实数，在极坐标系中，已知圆 2asin (a0)与直线 cos( )1 相切，4求 a 的值c. (选修 45：不等式选讲)求函数 y 1x 3x2的最大值【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥 pabcd 中，p

9、a平面 abcd，abcbad90，adap4，ab bc2，点 m 为 pc 的中点(1) 求异面直线 ap 与 bm 所成角的余弦值；4(2) 点 n 在线段 ad 上，且 an ，若直线 mn 与平面 pbc 所成角的正弦值为 ，求 的5值23. 在平面直角坐标系 xoy 中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正 方向或负方向行进，且每一步只能行进 1 个单位长度，例如：该机器人在点(1，0)处时，下 一步可行进到(2，0)、(0，0)、(1，1)、(1，1)这四个点中的任一位置记该机器人从坐 标原点 o 出发、行进 n 步后落在 y 轴上的不同走法的种数为 l(n)(1)

10、 求 l(1)，l(2)，l(3)的值；(2) 求 l(n)的表达式222019 届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学参考答案及评分标准1. 0，1 2. 3 3. 18 4.1 4 3 5. 0，1) 6. 3 7.3 38. 13 9. 2 10.2 218 11. 12. (6，3) 13. 20，21 14. 6215. 解：因为锐角 的终边与单位圆 o 交于点 a，且点 a 的纵坐标是10.所以由任意角的三角函数的定义可知 sin 103 10从而 cos 1sin .(3 分)101010，553 3 3 3 10 2 10 2(1) cos( )cos cos sin sin (

11、 ) 4 4 4 10 2 10 2.(6 分)(2) 因为钝角 的终边与单位圆 o 交于点 b，且点 b 的横坐标是5 2 5所以 cos ，从而 sin 1cos .(8 分) 5 555，于是 sin( ) sin cos cos sin 10 5 3 10 2 5 ( ) 10 5 10 522.(10 分) 3因为 为锐角， 为钝角，所以 ( ， )，(12 分)2 23从而 .(14 分)416. 证明：(1) 设 acbdo，连结 oe， 四边形 acef 是矩形， efac，efac. o 是正方形 abcd 对角线的交点， o 是 ac 的中点又点 m 是 ef 的中点， e

12、mao，emao. 四边形 aoem 是平行四边形， amoe.(4 分) oe平面 bde，am平面 bde，2 2 22 2 222 2 2 am平面 bde.(7 分)(2) 正方形 abcd， bdac.平面 abcd平面 acefac，平面 abcd平面 acef，bd bd平面 acef.(9 分)平面 abcd， am平面 acef， bdam.(10 分)正方形 abcd，ad 2， oa1.由(1)可知点 m，o 分别是 ef，ac 的中点，且四边形 acef 是矩形 af1，四边形 aomf 是正方形，(11 分) amof.(12 分)又 ambd，且 ofbdo，of平

13、面 bdf，bd平面 bdf， am平面 bdf.(14 分)17. 解：(1) 连结 pc.由条件得 (0， )2在poc 中，oc10，op20，poc 2 ，由余弦定理，得pc oc op 2ocopcos( 2 )100(54cos 2 )(2 分)因为 pq 与半圆 c 相切于点 q，所以 cqpq，所以 pq pc cq 400(1cos 2 )，所以 pq20 2cos .(4 分) 所以四边形 copq 的周长为 f( )cooppqqc4020 2cos ，即 f( )4020 2cos ， (0， )(7 分)2(没写定义域，扣 2 分)(2) 设四边形 copq 的面积为

14、 s( )，则s( )s 100( 2cos 2sin cos )， (0， )(10 分) ocp qcp所以 s( ) 100( 2sin 2cos 2sin ) 100( 4sin 2)， (0， )(12 分)2 2sin 令 s(t)0，得 sin 列表：34 28.sin (0，34 28)34 28(34 28，1)s( )s( )增0最大值减答：要使改建成的展示区 copq 的面积最大，sin 的值为34 28.(14 分)18. 解：(1) 依题意，2ca2，所以 c1，b 3，x2 y2所以椭圆 c 的标准方程为 1.(4 分)4 3(2) 因为直线 l 分别与直线 x4

15、和直线 x1 相交，2 2 2111 2n1 nn1 nnn2n所以直线 l 一定存在斜率(6 分)设直线 l：ykxm，ykxm，由 得(4k 3)x 8kmx4(m 3)0.3x24y212，由 (8km)24(4k23)4(m23)0，得 4k23m20 .(8 分)把 x4 代入 ykxm，得 m(4，4km)，把 x1 代入 ykxm，得 n(1，km)，(10 分)所以 nf |km|，1mf （41）2（4km）2 9（4km）2 ，(12 分)1由式，得 3m24k2 ，把式代入式，得 mf 4（km）22|km|，1nf |km| 1 nf 1 ，即 为定值 .(16 分)m

16、f 2|km| 2 mf 21 11219. 解：(1) a 2 2 2；(2 分)1n（n1）a a a a 2 2当 n2 时，a 2n.a a a （n1）n1 2 n12 2所以数列a 的通项公式为 a 2n(nn*)(4 分)n nn（b b ）(2) 由 s ，得 2s n(b b ) ，1 n所以 2s (n1)(b b )(n2) .n1 1 n1由，得 2b b nb (n1)b ，n2，n 1 n n1即 b (n2)b (n1)b 0(n2) ，1 n n1所以 b (n3)b (n2)b 0(n3) .1 n n1由，得(n2)b 2(n2)b (n2)b 0，n3，(

17、6 分)n n1 n2因为 n3，所以 n20，上式同除以(n2)，得b 2b b 0，n3，n n1 n2即 b b b b b b 1，n1 n n n1 2 1所以数列b 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，n故 b n，nn*.(8 分)n1 1 1 1 1 n（n1）(3) 因为 c 1，(10 分)a b b 2n n（n1） n（n1） 2nn n n1所以 c 0，c 0，c 0，c 0，c 0.1 2 3 4 5n（n1）记 f(n) ，2n（n1）（n2） n（n1） （n1）（n2）当 n5 时，f(n1)f(n) 0，2n1 2n 2n156所以当 n5 时，数列f(

18、n)为单调递减数列，当 n5 时，f(n)f(5) 1.25na01 n（n1）从而，当 n5 时，c 10.(14 分)n（n1） 2n因此 t t t t t 1 2 3 4 4 5 6所以对任意的 nn*，t t .4 n综上，m4.(16 分)(注：其他解法酌情给分)20. 解：(1) 当 a0 时，因为 f(x)a(x1)ex，当 x0；当 x1 时，f(x)0，所以 aex2xb 对任意的 a1 及任意的 x0 恒成立由于 ex0，所以 aexex，所以 ex2xb 对任意的 x0 恒成立(4 分)设 (x)ex2x，x0，则 (x)ex2，所以函数 (x)在(0，ln 2)上单调

19、递减，在(ln 2，)上单调递增，所以 (x) (ln 2)22ln 2，min所以 b22ln 2.(6 分)1 （x1）（axex1）(3) 由 h(x)axexxln x，得 h(x)a(x1)ex1 ，其x x中 x0.若 a0 时，则 h(x)0，所以函数 h(x)在(0，)上单调递增，所以函数 h(x)至 多有一个零零点，不合题意；(8 分)1若 a0.a由第(2)小题知，当 x0 时，(x)ex2x22ln 20，所以 ex2x，所以 xex2x2，所以当 x0 时，函数 xex的值域为(0，)所以存在 x 0，使得 ax ex 10，即 ax ex 1 ，0 0 0 0 0且当

20、 x0，所以函数 h(x)在(0，x )上单调递增，在(x ，)上单调递减 0 0 0因为函数有两个零点 x ，x ，1 2所以 h(x) h(x )ax ex x ln x 1x ln x 0 .max 0 0 0 0 0 0 01设 (x)1xln x，x0，则 (x)1 0，所以函数 (x)在(0，)上单x调递增由于 (1)0，所以当 x1 时，(x)0，所以式中的 x 1.01又由式，得 x ex .0 01由第(1)小题可知，当 ae，a1即 a( ，0)(11 分)e1当 a( ，0)时，e11 aee 1 1(i) 由于 h( ) ( 1)0，所以 h( )h(x )0.e e

21、e e00000 0 001因为 1e，a a a a a设 f(t)ettln t，te，1由于 te 时，ln t2t，所以设 f(t)0，即 h( )1 时， x ex x ，且 h( )h(x )0，a a同理可得函数 h(x)在(x ，)上也恰有一个零点01综上，a( ，0)(16 分)e2 2 2 2 24 62019 届高三模拟考试试卷(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准21. a. 解：(1) 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得 ba11 10 1.(5 分)(2) 矩阵 b 的特征多项式 f( )( 1)( 1)，(7 分)令 f( )0，解得 1 或1，(9 分)所以矩阵

22、b 的特征值为 1 或1.(10 分)b. 解：将圆 2asin 化成普通方程为 x y 2ay，整理得 x (ya) a .(3 分)将直线 cos( )1 化成普通方程为 xy 20.(6 分)4|a 2|因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 a，(9 分)2解得 a2 2.(10 分)c. 解：因为( 1x 3x2)2( 33x1 3x2 1) 321 20(33x3x2)( 1) ，(3 分)3 32 15所以 y 1x 3x2 .(5 分)333x 3x2 7 2当且仅当 ，即 x ，1时等号成立(8 分)1 1 12 332 15所以 y 的最大值为 .(10 分)322. 解：(1) 因为 pa平面 abcd，且 ab，ad 平面 abcd，