2018年江苏省盐城市高考数学一模试卷

1、22018 年江苏省盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请 把答案写在答题纸的指定位置上）1（5 分）已知集合 a=x|x（x4）0，b= 0，1，5，则 ab=2 （5 分）设复数 z=a+i（ar，i 为虚数单位），若（1+i）z 为纯虚数，则 a 的 值为 3 （5 分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学 六年级 4000 名学生中随机抽取 100 名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50， 100 上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅 读的时间在70，80）（单位

2、：分钟）内的学生人数为 4（5 分）执行如图所示的伪代码，若 x=0，则输出的 y 的值为 5（5 分）口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4， 若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率 为 6（5 分）若抛物线 y =2px 的焦点与双曲线 的值为 第 1 页（共 29 页）的右焦点重合，则实数 pnnn20172221 1 11 11111 17（5 分）设函数 y=exa 的值域为 a，若 a0，+），则实数 a 的取值范围是 8（5 分）已知锐角 ， 满足（tan1）（tan1）=2，则 + 的值为 9（5 分）若函数

3、 y=sinx 在区间0，2 上单调递增，则实数 的取值范围 是 10（5 分）设 s 为等差数列a 的前 n 项和，若a 的前 2017 项中的奇数项和 为 2018，则 s 的值为 11（5 分）设函数 f （x）是偶函数，当 x0 时，f（x）=若函数 y=f（x）m 有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ，12（5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，若直线 y=k（x3）上存在一点 p，圆x +（y1） =1 上存在一点 q，满足=3，则实数 k 的最小值为 13（5 分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶 点称为“晶格点”若 a，b，c ，d 四点均

4、位于图中的“晶格点”处，且 a，b 的位置所图所示，则的最大值为 14（5 分）若不等式 ksin b+sinasinc 19sinbsinc 对任意abc 都成立，则实数 k 的最小值为 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15（14 分）如图所示，在直三棱柱 abca b c 中，ca=cb，点 m，n 分别是 ab，a b 的中点（1） 求证：bn平面 a mc；（2） 若 a mab ，求证：ab a c第 2 页（共 29 页）16（14 分）在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c 已知 c= （1）若 c=2b，求 cosb 的值；（2）若=，求 cos（b）

5、的值17（14 分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边 ab 长为 6 分米，另一 边足够长现从中截取矩形 abcd（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下 的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中 oemf 是以 o 为圆心、eof=120的扇形，且弧，分别与边bc，ad 相切于点 m ，n（1） 当 be 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（1） 当 be 的 长 是 多 少 分 米 时 ， 折 卷 成 的 包 装 盒 的 容 积 最 大 ？18（16 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c： （ab0）的下顶点为 b，点

6、 m ，n 是椭圆上异于点 b 的动点，直线 bm，bn 分别与 x 轴交于点 p，q，且点 q 是线段 op 的中点当点 n 运动到点（ 的坐标为（ ）（1）求椭圆 c 的标准方程；第 3 页（共 29 页）处时，点 qnn 1 n 12 12n1 2 3nnn t nn01 21201 12 21 21 2 21 2 1（2）设直线 mn 交 y 轴于点 d，当点 m，n 均在 y 轴右侧，且 线 bm 的方程=2时，求直19（16 分）设数列a 满足 a=a a +（a a ） + ，其中 n2，且 nn， 为常数（1） 若a 是等差数列，且公差 d0，求 的值；（2） 若 a =1，a

7、 =2 ，a =4 ，且存在 r3，7，使得 ma nr 对任意的 n n*都成立，求 m 的最小值；（3） 若 0，且数列a 不是常数列，如果存在正整数 t，使得 a =a 对任意+的 nn*均成立求所有满足条件的数列a 中 t 的最小值20（16 分）设函数 f（x）=lnx，g（x）=ax+ （a，b，cr）（1） 当 c=0 时，若函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=1 处有相同的切线，求 a，b 的值；（2） 当 b=3 a 时，若对任意 x （1，+）和任意 a（0，3），总存在不相 等的正实数 x ，x ，使得 g（x ）=g（x ）=f （x ），求 c 的最小值；（3）

8、当 a=1 时，设函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象交于 a（x ，y ），b（x ，y ） （x x ）两点求证：x x x bx x x 选做题（在 21.22.23.24 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分请 把答案写在答题纸的指定区域内） 选修 41 ：几何证明选讲 图21（10 分）如图，已知 ab 为o 的直径，直线 de 与o 相切于点 e，ad 垂直 de 于点 d若 de=4 ，求切点 e 到直径 ab 的距离 ef第 4 页（共 29 页）2 22 20 1 1 2n n n nn1 nnn选修 42 ：矩阵与变换 22（10 分）已知矩阵 m=

9、程选修 44 ：坐标系与参数方程 ，求圆 x +y =1 在矩阵 m 的变换下所得的曲线方23在极坐标系中，直线 cos（+）=1 与曲线 =r（r0 ）相切，求 r 的值选修 45 ：不等式选讲 24 已知实数 x，y 满足 x +3y =1，求当 x+y 取最大值时 x 的值25 （10 分）如图，四棱锥 pabcd 的底面 abcd 是菱形，ac 与 bd 交于点 o， op底面 abcd，点 m 为 pc 中点，ac=4，bd=2，op=4（1） 求直线 ap 与 bm 所成角的余弦值；（2） 求平面 abm 与平面 pac 所成锐二面角的余弦值26（10 分）已知 n n*，nf（n

10、）=c c +2c c +nc c （1） 求 f（1），f（2），f（3）的值；（2） 试猜想 f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想第 5 页（共 29 页）2018 年江苏省盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请 把答案写在答题纸的指定位置上）1（5 分）已知集合 a=x|x（x4）0，b= 0，1，5，则 ab= 1 【分析】先分别求出集合 a，b，由此能求出 ab【解答】解：集合 a=x|x（x4）0=x|0x4，b=0，1，5， ab=1故答案为：1【点评】本题考查交集的求法，是基础

11、题，解题时要认真审题，注意交集定义的 合理运用2（5 分）设复数 z=a+i（ar，i 为虚数单位），若（1+i）z 为纯虚数，则 a 的值为 1【分析】把 z 代入（1+i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由（1+i） z 的实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值即可【解答】解：z=a +i，（1+i）z= （1+i）（a+i）=a1+（a+1）i，又（1+i）z 为为纯虚数，a1=0 即 a=1故答案为：1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5 分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学 六年级 4000 名学生中随机抽取

12、 100 名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50， 100 上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80）（单位：分钟）内的学生人数为 1200第 6 页（共 29 页）【分析】 由频率分布直方图求出该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 70，80）（单位：分钟）内的频率，由此能估计该县小学六年级 4000 名学生中 每天用于阅读的时间在70 ，80）（单位：分钟）内的学生人数【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80）（单位：分钟）内的频率 为：1（0.005 +0.035 +0.020+0.010 ）1

13、0=0.3 ，估计该县小学六年级 4000 名学生中每天用于阅读的时间在70，80 ）（单位： 分钟）内的学生人数为：40000.3=1200故答案为：1200【点评】本题考查该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80）（单位： 分钟）内的学生人数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题4（5 分）执行如图所示的伪代码，若 x=0，则输出的 y 的值为1【分析】根据题意得出执行程序后输出函数 y，由此求出结果 【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数第 7 页（共 29 页）2y=，当 x=0 时，y=e0=1故答案为：1【点评】本题考

14、查了程序语言的应用问题，是基础题5（5 分）口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为【分析】从袋中一次随机摸出 2 个球，基本事件总数 n=6，利用列举法求出摸出的 2 个球的编号之和大于 4 包含的基本事件个数，由此能求出摸出的 2 个球 的编号之和大于 4 的概率【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3， 4，从袋中一次随机摸出 2 个球，基本事件总数 n= =6，摸出的 2 个球的编号之和大于 4 包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（

15、2，4），（3，4），共 4 个，摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 p=故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5 分）若抛物线 y =2px 的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数 p的值为 6【分析】根据双曲线的方程，可得 c=3，从而得到双曲线的右焦点为 f（3，0）， 再根据抛物线的简单几何性质，可得 =3，解之即可得到实数 p 的值【解答】解：双曲线的方程，第 8 页（共 29 页）2 22a =4，b =5，可得 c=3，因此双曲线的右焦点为 f（3，0），抛物线 y =2px（p0）的焦点

16、与双曲线的右焦点重合， =3，解之得 p=6 故答案为：6【点评】本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程， 着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题7（5 分）设函数 y=exa 的值域为 a，若 a 0，+），则实数 a 的取值范围是 （，2 【分析】利用基本不等式的性质即可求解【解答】解：函数 y=exa 的值域为 aex=2，值域为 a=2a，+）又a 0，+），2a0，即 a2故答案为：（，2【点评】本题考查了函数值域的求法高中函数值域求法有：1、观察法，2、配 方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法

17、， 8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12 、 构造法，13、比例法要根据题意选择8（5分）已知锐角 ， 满足（tan1）（tan1）=2，则 + 的值为 【分析】由已知化简可得 tan+tan+1=tantan，代入两角和的正切公式，可以 求出 + 的正切值，根据 、 为锐角，我们易得 + 的值第 9 页（共 29 页）nnn2017n1 n1 3 520171 2017【解答】解：（tan1）（tan1）=2，可得：tan+tan+1=tantan，tan（+）=1，锐角 ，可得：+（0，），+=故答案为：【点评】本题考查的知识点是两角和的正切函数，其

18、中根据 、 为锐角，确定 + 的范围是解答本题的关键，属于基础题9（5 分）若函数 y=sinx 在区间0，2上单调递增，则实数 的取值范围是 （0， 【分析】由函数 y=sinx，图象过原点，可得0，可得实数 的取值范围【解答】解：由函数 y=sinx，图象过原点，若 0，图象在 x 轴下方单调递减， 0，因为 y=sinx 在0，2单调递增，说明其至少 期至少 8，在0，2单调递增，则其周，即 故答案为：（0， 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，单调性的问题属于基础题10（5 分）设 s 为等差数列a 的前 n 项和，若a 的前 2017 项中的奇数项和为 2018，则 s 的值为

19、 4034【 分 析 】 考 查 等 差 数 列 的 求 和 公 式 s （ a +a ）， 先 利 用 s =a +a +a +a =1009（a +a ） =2018，得出第 10 页（共 29 页）奇1 201720171 2017nnn奇1 3 520171 20171 201720171 2017得出 a +a 4再求 s =（a +a ）=20172=4034 即可【解答】解：因为 s 为等差数列a 的前 n 项和，且a 的前 2017 项中的奇数 项和为 2018，所以 s =a +a +a +a =1009（a +a ） =2018 ，得 a +a 4则 s =（a +a ）=

20、20172=4034故答案为：4034【点评】本题考查等差列求和公式及运算，属于中档题11（5 分）设函数 f （x）是偶函数，当 x0 时，f（x）=，若函数 y=f（x）m 有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 1， ） 【分析】画出函数 y=f（x）与 y=m 的图象，由图象可得 m 的取值范围 【解答】解：由 0x3 可得 f（x）0， ，x3 时，f（x）（0，1）画出函数 y=f（x）与 y=m 的图象，如图所示，函数 y=f（x）m 有四个不同的零点，函数 y=f（x）与 y=m 的图象有 4 个交点，由图象可得 m 的取值范围为1， ），故答案为：1， ）【点评】本题考查

21、了函数的奇偶性的应用，以及零点的判断及分段函数的应用，第 11 页（共 29 页）21 12 21 120 0202考查数形结合思想方法，属于中档题12（5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，若直线 y=k（x3）上存在一点 p，圆x+（y1）2=1 上存在一点 q，满足=3，则实数 k 的最小值为 【分析】设 p、q 的坐标，代入直线与圆的方程，由=3得出坐标关系，再由直线与圆的关系求出 k 的取值范围，从而求出实数 k 的最小值 【解答】解：【解法一】设 p（x ，y ），q（x ，y ）；则 y =k（x 3），+（y 1）2=1；由=3，得 ，即 ，代入得 +=9；此方程表示的圆心（0

22、，3）到直线 kxy3k=0 的距离为 dr；即解得3，k0实数 k 的最小值为【解法二】设 p（x，y），q（x ，y ）；则+（y 1） =1 ；由=3，得 ，即 ，代入化简得 x+（y3）2=9；第 12 页（共 29 页）1点 p 的轨迹是圆心为（0，3），半径为 3 的圆的方程，又点 p 在直线 kxy3k=0 上，如图所示；则直线与该圆有公共点， 即圆心到直线的距离为 d r；解得3，k0；实数 k 的最小值为故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的共线定理，也考查了直线与圆的应用问题，是中 档题13（5 分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶 点称为“

23、晶格点”若 a，b，c ，d 四点均位于图中的“晶格点”处，且 a，b 的位置所图所示，则的最大值为24【分析】根据条件建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，利用向量数量积的 坐标公式分别进行计算，然后进行比较即可【解答】解：建立如图的直角坐标系，则 a（ ， ），b（0，0），那么容易得到 c（0，5）时，d 的位置可以有三个位置，其中 d （第 13 页（共 29 页）， ），232222222d （此时，0），d （=（ ， ）， ），=（ ， ），=（ ，5），=（， ），则 =21 ， =24 ， =22.5，则的最大值为 24 ，故答案为：24【点评】本题主要考查向量数量积的计算问

24、题，利用直角坐标系，求出对应向量 数量积的值，进而求出最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度14（5 分）若不等式 ksinb+sinasinc 19sinbsinc 对任意abc 都成立，则实数k 的最小值为 100【分析】 由已知及正弦定理可得 k，利用三角形的性质可求： ab c，从而可得 19 + （）=100 （ 10 ）2，结合题意利用二次函数的性质可求实数 k 的最小值【解答】解：ksin b+sinasinc19sinbsinc，由正弦定理可得：kb +ac19bc ， k ，又cbab+c，bcabc， 19 + （ ）=20 （ ） =100 （ 10） ，当 =10

25、 时，20 （ ） 取得最大值 2010 10 =100k100 ，即实数 k 的最小值为 100 第 14 页（共 29 页）1 1 11 11111 1111 1 11 11 11 1111111111 1 111 11 11 11 11 111 111 1 11111111故答案为：100【点评】本题主要考查了正弦定理，二次函数的性质在解三角形中的应用，考查 了函数思想和转化思想的应用，属于中档题二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15（14 分）如图所示，在直三棱柱 abca b c 中，ca=cb，点 m，n 分别是 ab，a b 的中点（1） 求证：bn平面 a mc；（2）

26、 若 a mab ，求证：ab a c【分析】（1）欲证明 bn平面 a mc，只需推知 a mbn；（2）根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直【解答】证明：（1）因为 abca b c 是直三棱柱，所以 aba b ，且 ab=a b ， 又点 m，n 分别是 ab、a b 的中点，所以 mb=a n，且 mba n所以四边形 a nbm 是平行四边形，从而 a mbn又 bn 平面 a mc，a m 平面 a mc，所以 bn平面 a mc；（2）因为 abca b c 是直三棱柱，所以 aa 底面 abc，而 aa 所以侧面 abb a 底面 abc又 ca=cb，且

27、m 是 ab 的中点，所以 cmab则由侧面 abb a 底面 abc，侧面 abb a 底面 abc=ab， cmab，且 cm 底面 abc，得 cm侧面 abb a 侧面 abb a ，所以 ab cm又 ab又 ab a m，a m 、mc 平面 a mc，且 a mmc=m ， 所以 ab 平面 a mc又 a c 平面 a mc，所以 aba c第 15 页（共 29 页）1 侧面 abb a ，2 2 2 2 2 2222【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定， 其中熟练掌握空间直线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关 键16（14 分

28、）在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c 已知 c= （1）若 c=2b，求 cosb 的值；（2）若=，求 cos（b）的值【分析】（1）由正弦定理，得 sinc= sinb 又 c=2b，即 2sinbcosb= sinbcosb=（2）由=，可得 cbcosa=bacosc，b +c a =b +a c ，得 a=c，求得从而 cosb，sinb 即可【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 因 为 c=， 则 由 正 弦 定 理 ， 得 sinc=sinb（2 分）又 c=2b，所以 sin2b= sinb ，即 2sinbcosb= sinb（4 分）又 b 是abc 的内角

29、，所以 sinb0，故 cosb= （6 分）（2）因为=，所以 cbcosa=bacosc，则由余弦定理，得 b2+ca2=b+a2c ，得 a=c（10分）从而 cosb= =，（12 分）第 16 页（共 29 页）3 23 2又 0b，所以 sinb= 从而 cos（b+）=cosbcossinbsin =（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积及三角函数恒等变换 的应用，属于中档题，17（14 分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边 ab 长为 6 分米，另一 边足够长现从中截取矩形 abcd（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下 的部分恰好能折卷成一

30、个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中 oemf 是以 o 为圆心、eof=120的扇形，且弧，分别与边bc，ad 相切于点 m ，n（1） 当 be 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（1） 当 be 的 长 是 多 少 分 米 时 ， 折 卷 成 的 包 装 盒 的 容 积 最 大 ？【分析】（1）结合图形可得 s=s扇形oefs，再根据体积公式计算即可， oef（2）借助（1）可得 v=（ 2）（x +3x ），其中 0x3令 f（x）=x +3x ，0x3，利用导数求出函数的最值【解答】解：（1）在图甲中，连接 mo 交 ef 于点 t设 oe=of=o

31、m=r，在 rtoet中，因为eot= eof=60，所以 ot= ，则 mt=0mot= 从而 be=mt= ，即 r=2be=2 第 17 页（共 29 页）2 2oef2 2oef23 23 22故所得柱体的底面积 s=s扇形oefs= r r sin120= ，又所得柱体的高 eg=4，所以 v=seg=4答：当 be 长为 1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为（2）设 be=x，则 r=2x，所以所得柱体的底面积4立方分米s=s扇形oefs= r r sin120=（ ）x ，又所得柱体的高 eg=62x，所以 v=seg=（ 2）（x +3x ），其中 0x3令 f（x）=x +3

32、x ，0x3，则由 f（x）=3x +6x=3x（x2）=0， 解得 x=2列表如下：x f（x） f（x）（0，2） +增20极大值（2，3） 减所以当 x=2 时，f（x）取得最大值答：当 be 的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大【点评】本题考查了体积公式，面积公式，以及利用导数解决实际问题，考查了 分析问题，解决问题的能力，属于中档题18（16 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c： （ab0）的下顶点为 b，点 m ，n 是椭圆上异于点 b 的动点，直线 bm，bn 分别与 x 轴交于点 p，q，且点 q 是线段 op 的中点当点 n 运动到点（ 的坐标为（ ）（

33、1）求椭圆 c 的标准方程；）处时，点 q（2）设直线 mn 交 y 轴于点 d，当点 m，n 均在 y 轴右侧，且第 18 页（共 29 页）=2时，求直bn bqpqbn bq线 bm 的方程【分析】（1）先求出直线 nq 的方程，可得 b 的坐标，以及 n 点的坐标，即可求 出 a 的值，由此能求出椭圆的方程（2）设直线 bm 的斜率为 k（k0），则直线 bm 的方程为 y=x ，分别求出 点 p，q 的横坐标，根据斜率公式可得 k =k =2k，再联立方程组，求出点 m，n 的横坐标，根据=2，即可求出 k 的值【解答】解：（1）由 n（ 方程为 y= x ，令 x=0，得点 b 的

34、坐标为（0，），点 q 的坐标为（ ），得直线 nq 的）所以椭圆的方程为 +=1将点 n 的坐标（ ， ）代入，得 +所以椭圆 c 的标准方程为 +=1=1，解得 a2=4（2）：设直线 bm 的斜率为 k（k0），则直线 bm 的方程为 y=x在 y=kx中，令 y=0，得 x =，而点 q 是线段 op 的中点，所以 x =所以直线 bn 的斜率 k =k =2k第 19 页（共 29 页）2 2mnn m nm nn2n 1 n 12 1n1 2 3nnn t nn2nn2nn联立 ，消去 y，得（3+4k ）x 8 kx=0，解得 x =用 2k 代 k，得 x =又=2，所以 x

35、=2（x x ），得 2x =3x ，故 2= =3 ，又 k0，解得 k=所以直线 bm 的方程为 y=x【点评】本题考查椭圆方程、直线方程，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查 推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程 思想，是中档题19（16 分）设数列a 满足 a=a a +（a a ） ，其中 n2，且 nn， + 为常数（1） 若a 是等差数列，且公差 d0，求 的值；（2） 若 a =1，a =2 ，a =4 ，且存在 r3，7，使得 ma nr 对任意的 n n*都成立，求 m 的最小值；（3） 若 0，且数列a 不是常数列，如果存在正整数 t，使得

36、 a =a 对任意+的 nn*均成立求所有满足条件的数列a 中 t 的最小值【分析】（1）由等差数列的通项公式，化简可得（ 1 ）d =0，又 d0 ，可得 所求值；（2）求得 =0，数列a 是首项为 1，公比 q=2 的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在 r3，7，使得 m2n1nr，即 rnm21对任意 nn*都成立，由参数分离可得 m 的最小值；（3）由题意可得 t 2，讨论 t=2 ，t=3，根据条件，推理得到结论 【解答】解：（1）由题意，可得 a =（a +d ）（a d）+d ，第 20 页（共 29 页）21 2 3n 1 n 1nnnn 1 nn 1 n9 8n 1

37、nn9 8nn 2 n3 1 4 222 12 1nnn 3 n222 1 32 12n n 1 n 1222 3k2 12223k 3k 1 3k 12 1223k 1 3k 3k 22 1化简得（1）d =0 ，又 d0，所以 =1（2）将 a =1，a =2，a =4，代入条件，可得 4=1 4+，解得 =0，所以 a =a a ，所以数列a 是首项为 1，公比 q=2 的等比数列，+ 所以 a =2n1欲存在 r3，7，使得 m2n1nr，即 rnm2n1对任意 nn* 都成立，则 7n m2n1，所以 m对任意 nn* 都成立令 b =，则 b b =+=，所以当 n8 时，b b

38、；当 n=8 时，b =b ；当 n8 时，b b + +所以 b 的最大值为 b =b =，所以 m 的最小值为 ；（3）因为数列a 不是常数列，所以 t2，若 t=2 ，则 a =a 恒成立，从而 a =a ，a =a ，+所以 ，所以 （a a ） =0，又 0，所以 a =a ，可得a 是常数列，矛盾 所以 t=2 不合题意若 t=3 ，取 a =由 a =a a +（a a ） ，得 =7 则条件式变为 a =a a +7+ （*），满足 a =a 恒成立+由 2 =1（3）+7，知 a3k12=a3ka +（a a ） ；由（3） =21+7，知 a =a a +（a a ） ；

39、+由 12=2（3）+7，知 a=a a +（a a ） + +；所以，数列（*）适合题意所以 t 的最小值为 3【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列不等第 21 页（共 29 页）01 21201 12 21 21 2 21 2 10001 221 21 21 2 21 2 11 2 21 21 2 1式恒成立问题和周期数列的判断和证明，考查化简整理的运算能力，属于中档题20（16 分）设函数 f（x）=lnx，g（x）=ax+ （a，b，cr）（1） 当 c=0 时，若函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=1 处有相同的切线，求 a，b 的值；（2） 当 b

40、=3 a 时，若对任意 x （1，+）和任意 a（0，3），总存在不相 等的正实数 x ，x ，使得 g（x ）=g（x ）=f （x ），求 c 的最小值；（3） 当 a=1 时，设函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象交于 a（x ，y ），b（x ，y ） （x x ）两点求证：x x x bx x x 【分析】（1）求得 f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由题意可得 a，b 的方程，解方程即可得到所求；（2）当 x 1 时，则 f（x ）0，又 b=3 a，设 t=f（x ），则题意可转化为方程ax+ c=t（t0）在（0，+）上有相异两实根 x ，x 即关于 x 的方

41、程ax （c+t）x+（3a）=0（t0）在（0，+）上有相异两实根 x ，x 运用 二次方程实根分布，结合韦达定理可得 c 的不等式，运用基本不等式，可得 c 的 范围和最小值；（3）得 b=x x （1 ），要证明 x x x bx x x ，即证 x x xx x （1 ）x x x ，即证 ，即证 1ln 1 令=t ，则 t1，此时即证 1 lntt1令 （t）=lnt+1，求得导数和单调区间，结合 m（t）=lntt+1 的单调性，即可得证 【解答】解：（1）由 f（x）=lnx，得 f（1）=0，又 f（x）= ，所以 f（1）=1，当 c=0 时，g（x）=ax+ ，所以 g（

42、x）=a，所以 g（1）=ab，因为函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=1 处有相同的切线，所以，即 ，第 22 页（共 29 页）0001 221 21 21 2 21 2 11 2 2 1 21 2 1解得 a= ，b= ；（2）当 x 1 时，则 f（x ）0，又 b=3 a，设 t=f （x ），则题意可转化为方程 ax+ c=t（t0）在（0，+）上有相异两实根 x ，x 即关于 x 的方程 ax （c+t）x+（3a）=0（t0）在（0，+）上有相异两实根 x ，x 所以 ，得 ，所以 c2t 对 t（0，+），a（0，3）恒成立因为 0a3，所以 22=3（当且仅当 a= 时

43、取等号），又t0，所以 2t 的取值范围是（，3），所以 c3故 c 的最小值为 3（3）当 a=1 时，因为函数 f（x）与 g（x）的图象交于 a，b 两点，所以 ，两式相减，得 b=x x （1 ），要证明 x x x bx x x ，即证 x x x x x （1 ）x x x ，即证 ，即证 ln即证 1 ln ， 1，令=t ，则 t1，此时即证 1 lntt1第 23 页（共 29 页）1 21 2 21 2 1令 （t）=lnt+ 1，所以 （t）= =0，所以当 t1 时，函数 （t ）单调递增又 （1）=0，所以 （t）=lnt+ 10，即 1 lnt 成立；再令 m（t）

44、=lntt +1，所以 m（t）= 1=0，所以当 t1 时，函数 m（t）单调递减，又 m（1）=0，所以 m（t）=lntt+10，即 lntt1 也成立综上所述，实数 x ，x 满足 x x x bx x x 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查基本不等式的运 用：求最值，以及构造函数法的运用，考查运算能力，属于难题选做题（在 21.22.23.24 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分请 把答案写在答题纸的指定区域内） 选修 41 ：几何证明选讲 图21（10 分）如图，已知 ab 为o 的直径，直线 de 与o 相切于点 e，ad 垂直 de 于点 d若 de=4 ，求切点 e 到直径