必修2直线与圆的关系教案

1、适用学科L. 一一 .高中数学1 1适用年级I高二1 1适用区域苏教版区域课时时长（分钟）丨2课时1知识点直线和圆的位置关系的判定，求圆的切线方程，直线和圆相交弦长1教学目标1直线和圆的位置关系的判定，会求圆的切线方程，会求直线和圆相交弦长i1教学重点求圆的切线方程，弦长公式教学难点转化为点到直线距离问题【教学建议】通过一系列例题，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力让学生通过观察图形, 理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.【知识导图】教学过程、导入1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：（1）相交，有一两个公共点；（2）相切,只有一个公共点；（3）相离，没有公共点

2、。2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之 间的位置关系？3. 弦长公式：.Aa + Bb + C d = Ja2 +B2d与圆的半径r二、知识讲解考直线11 :/直线和圆的位置关系的判定（y b 2 二r2圆心到直线的距离1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解：（1）有解，直线与圆有公共点有一组则相切；有两组则相交（2）无解，则相离弦长公式（平面几何法） AB=2Jr2 _d2 （解析法） AB = J（X2 为 $ （y? F $直线斜率存在 AB =71 +k2 |x2 -X1斜率

3、不存在 AB =|y2 -yt类型一 判断直线和圆的位置例题1在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2 y2 =4上有且只有四个点到直线 12x-5y c = 0 的距离为1,则实数c的取值范围是 .【解析】如图，圆x2 y 4的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线的距离为1,问题转化为原点(0,0)到直线12x_5y c=0的距离小于1.c即 122 52 v 1, LLl，-1 , c 的取值范围是 _13,13 .13【总结与反思】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1, 问题转化为原点(0,0)到直线12x-5y，c = 0的距离小于1.类型二切线方程及其应用

4、在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线丨：y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在丨上.(1)若圆心C也在直线y = x -1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；y=2x_4 c【解析】y与联立得到圆心坐标 C 3,2y=x-1 2 2圆方程为 x -3 y-2 =1切线斜率不存在时，不合题意、| “|3k-2+33设切线方程为y = kx 3-1解得k = 0或k =/kT43-切线方程为y =3或y x 34【总结与反思】本题第二问的关键是求出M点的轨迹方程，设M (心y。)根据MA二2MO2 2求出M点的轨迹为x02+(y0+1)=4则题目中圆C上存在点M转化为圆C和圆M有交

5、点来 处理类型三直线与圆相交的应用例题3在平面直角坐标系xOy中，直线x2y-3=0被(x-2)軌固- - II上到直线 I二的距离为J的点的坐标. 若直线.与圆亠 .*： 11 I.相交；相切；相离；分别求实数 一；的取值 范围. 在平面直角坐标系 xOy中，圆C的方程为x2 + y2 8x+ 15 = 0,若直线y =kx-2上至少存 (y 1)2 =4圆截得的弦长为【解析】圆(x -2)2 (y 1) 4的圆心为C(2, -1)，半径为r = 2，点C到直线，所求弦长为2+21)3x + 2y3=0的距离为 d =-Jl2+22第4页2 555【总结与反思】 本题考查了直线与圆的弦长公式

6、 .关键在于写出打+22v5四、课堂运用1直线础；与圆 奁相切，求r的值.2求圆心在直线 V- 上,且与两坐标轴相切的圆的方程 .3. 过点r. ：i的圆 厂：的切线方程为 .4. 圆-,：-1 上的点到直线丁丁的距离的最大值为 .5 若 P(2 1) 为圆C : (x1)2 +y2 =25的弦AB的中点，则直线AB的方程是.答案与解析1. 【解析】r -22. 解析】(x+3)2+(y+3)2=9 或(x-1)2+(y+1)2=13. 【解析】y=-x+44. 【解析】5. 【解析】/3、242x-y-3 = 0在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 C有公共点，则k的最大值是 4. 过

7、原点且倾斜角为 60 的直线被圆X2 + y2_4y = 0所截得的弦长为 -5. 过点(_1,_2)的直线I被圆x2 + y2 _2x _2y+ 1 = 0截得的弦长为 .2 , 则直线|的斜率为.答案与解析1. 【解析】(1,0)、(-3,-4 )、( 1,-4)2. 【解析】 (1) -50 50.2 23. 解析】圆C的方程可化为：(x4) +y2=1 , 圆C的圆心为(4,0)，半径为1.由题意，直线y =kx -2上至少存在一点 A(x。，矶-2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点;存在X。，R，使得AC -1 1成立，即ACmin -2.ACmin即为点C到直线y =kx

8、 -2的距离4k24k2_ _ _ 2.k2 1 ，.k2 1，解得0空k乞*.34 k的最大值是工.34.解析】2 35. 解析】拔高1.从圆C (x -1)2 (y -1)2 =1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程.2.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C (x 2)2+(x3)2 =1相交于M,N两点.OM ON=12，求k的值.(1) 求实数k的取值范围;(2) 若O为坐标原点，且3.自点A(-3, 3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射 光线所在直线 与圆x y -4x -4y 7 =0相切，求光线l所在直线的方程.4.若圆(x-3)2

9、(y 5)2 =r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2 = 0的距离为1，则半径第4页r的取值范围是.5.已知点A是圆C :x2 y2 ax 40上任意一点，A点关于直线x 2y-1=：0的对称点也在圆C上，则实数a=.答案与解析1.【解析】设圆切线方程为y - 3二k(x - 2),3二k，另一条斜率不存在，方程为x = 2.4切线方程为x = 2和3x -4y 6 = 0.圆心C为(1,1),.Kr =2 ,1过两切点的直线斜率为，又x = 2与圆交于(2,1),过切点的直线为x 2y -4 =0.2.【解析】(1)(2) k = 13. 解析】4x 3y 3 = 0,3x 4y-3 =

10、04. 解析】(4,6)5. 解析】-101. 直、与圆的位置关系(1) 位置关系有三种：相离、相切、相交.(2) 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： 代数法：利用判别式，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次卜0=相交.方程后，计算判别式 = b2 -4ac* = 0= 相切.v 0 =相离. 几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：2. 圆的切线方程2 2 2 2 2 2(1)若圆的方程为x y =r ,点P (X0,y)在圆上，则过P点且与圆x yr相切 的切线方程为 xxo yy0 = r2.注：点P必须在圆x2 y2 =r2上.2(2)经过圆(x-a

11、)2 (y-b)2二r上点P(Xo,y)的切线方程为：3. 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. 代数方法运用韦达定理及弦长公式AB =心+ k2 xA - Xb| = “ + k2) xA + xB f - 4xAxB 1说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.六、课后作业1. 从点础P(x,5)作圆(x2)2+(y 3)2 =1的切线，求切线长度最小值.2. 设实数x, y满足x2 (y -1)2 =1，求乞-2的最值.x+13. 直线l经过点P(5,5)，且和圆C : x2 y 25相交，截得弦长为 4 5，求

12、丨的方程.4. 若直线科二 b与曲线x =- y2恰有一个公共点，求实数 b的取值范围.5. 用两种方法来判断直线 - 1 I - I与圆 (x-2)l+-3ja=4 的位置关系.答案与解析1. 【解析】342. 【解析】最小值为一，无最大值33. 【解析】x -2y 5 =0或2x -y -5 =04. 【解析】b的取值范围 T ： b乞1或b - -5. 【解析】相交|巩固4221. 求斜率为一，且与圆(x-2)2 (y-3)2 =1相切的切线方程.32. 直线I :y _1 =k(x_1)和圆X2 +y2 -2y= 0的位置关系是 .3. 在平面直角坐标系 xoy中，已知圆G：(x，3)

13、2 (y T)2=4.若直线l过点A(4,0)，且被圆Cl截得的弦长为2、3，求直线l的方程；4. 在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1 = 0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.5. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知以M为圆心的圆2 2M : x y -12x-14y 60 = 0 及其上一点 A(2，4).(1) 设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x=6上，求圆N的标准方程;(2) 设平行于 OA的直线I与圆M相交于B C两点，且BC =OA,求直线l的方程； 答案与解析1. 【解析】4x -3y -4 = 0或 4x

14、 -3y 6 = 0l的距离2. 【解析】 圆x2 y2 -20的圆心是(0,1)，半径r =1，则圆心到直线1. 直线l与圆相交.k213.【解析】 设直线l的方程为：y =k(x - 4)，即kx - y - 4k =0由垂径定理，得：圆心 G到直线l的距离d =彳42-(耳3)2 =1，| 3k 1 4k |结合点到直线距离公式，得：21,Jk2+127化简得：24k7kk7orZ牙求直线l的方程为：目二0或y7 (x - 4)，即y二0或7x 24y -28 = 024m + 1j(m + 1)22m /21 m | 厂4. 【解析】由题意得：半径等于 =2=1 + 一 兰和细2 ,l

15、m2+1 Ym2+1 Ym2+1 Ym2+1当且仅当m =1时取等号，所以半径最大为r = 2，所求圆为 (x-1)2 y2 =2.5. 【解析】(1)由圆心N在直线x = 6上，设N 6,y。.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0 ： y0 : 7，于是圆N的半径为y，从而7 - y =5 y，得y =1.因此圆N的 标准方程为x-6 2 y -1 2 =140(2 )因为直线丨平行OA ,所以直线丨的斜率为=2 .设直线丨的距离2-02 2x6_7+m 5 + m|r 厂2 2 (BC)d =尸因为 BC=OA = J22 十42 =25，而 MC2 = d2+455 2 丿所以 25

16、= m 55，得 m=5 , m = _155故直线丨的方程为2x-y5=0或2x-y-15=0.1. 已知高 P(0,5)及圆 C : x2 +y2 +4x -12y + 24 =0.(1) 若直线l过点P且被圆C截得的线段长为 4.3，求丨的方程；(2) 求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.2. 已知圆 x2 y2 -6x -8y 21 = 0 和直线 kx - y - 4k 3 = 0.(1) 证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2) 求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.I I 2 23. 已知圆x y -2x，4y-4=0 .问在圆C上是否存在两点

17、A、B关于直线y = kx-1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由.4. 直线 kx 3与圆(x -3)2 (y-3)2 =4相交于M ,N两点，若MN 一2.3，则k的取值范围是.2 25. 已知圆 C: x y 亠 2x - 4y 3 = 0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；从圆C外一点P (洛，yj向该圆引一条切线，切点为M ,0为坐标原点，且有PM二PO,求使得PM取得最小值时点 P的坐标.答案与解析1. 【解析】(1) 3x - 4y 20 = 0或 x = 0(2) x2 y2 2x-11y 30 = 02. 【解析】k =1 ,弦最短，为2 2 .3. 【解析】x-y - 4= 0或x-y，1 = 04. 【解析】设圆心为C,弦MN的中点为A，当MN = 2 3时，AC 二、MC2 - MA2 = 4 -3 =1 . 当 MN _ 2.3 时，圆心 C 到直线 |3k 2 + 33y = kx +3的距离 d 兰1. 丨乜 1. (3k +1 f 兰 k2 +1 , - - 0.Jk2 +145.【解析】(1)将圆C配方得(x+1)2 (y - 2)