中考数学专题讲座探究、操作性问题

1、中考数学专题讲座 探究、操作性问题【知识纵横】 探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。【典型例题】【例1】（江苏镇江)探索研究如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点； （2）求证：四边形为平行四边形； 平行四边形为菱形；x

2、lqcpaobhry（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由 【思路点拨】（2）证；设，证ap=pq;（3）求直线的解析式与抛物线方程组成联立方程组，讨论方程组解的情况。【例2】（福建南平）（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点如图1，求证：； 探究：如图1， ；如图2， ；如图3， （2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边的延长相交于点猜想：如图4， （用含的式子表示）；根据图4证明你的猜想【思路点拨】（2）由正边形的内角定理，证。【例3】（内江市）在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离

3、分别是3km和2km，现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）abpllabpc图13-1图13-2labpc图13-3k观察计算（1）在方案一中， km（用含的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， km（用含的式子表示）探索归纳（1）当时，比较大小：（填“”、“”或“”）；当时，比较大小：（填“”、“”或“”）；方法指

4、导当不易直接比较两个正数与的大小时，可以对它们的平方进行比较：，与的符号相同当时，即；当时，即；当时，即；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【思路点拨】参考方法指导解答探索归纳（2）。【例4】（浙江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸已知标准纸的短边长为（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；第二步将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕则的值是 ，的长

5、分别是 ， （2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长abcdbcadeghffe4开2开8开16开图1图2图3（第26题）a（4）已知梯形中，且四个顶点都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积【思路点拨】（3）证,，设，建立关于x的方程解之；（4）参考图3分二类情形讨论。【学力训练】1、（山东聊城）探索研究：如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折

6、合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由2、（山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中，斜边，把三角板dce绕点c顺时针旋转15得到d1ce1（如图乙）这时ab与cd1相交于点，

7、与d1e1相交于点f（1）求的度数；（2）求线段ad1的长；b（乙）ae11cd11of（甲）acedb（3）若把三角形d1ce1绕着点顺时针再旋转30得d2ce2，这时点b在d2ce2的内部、外部、还是边上？说明理由3、（江苏盐城）如图甲，在abc中，acb为锐角点d为射线bc上一动点，连接ad，以ad为一边且在ad的右侧作正方形adef解答下列问题：（1）如果ab=ac，bac=90当点d在线段bc上时（与点b不重合），如图乙，线段cf、bd之间的位置关系为 ，数量关系为 第28题图图甲图乙图丙当点d在线段bc的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果abac，bac

8、90，点d在线段bc上运动试探究：当abc满足一个什么条件时，cfbc（点c、f重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若ac，bc=3，在（2）的条件下，设正方形adef的边de与线段cf相交于点p，求线段cp长的最大值 4、（07丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且，=4，=6，=8正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为（1）分析与计算：求正方形的边长；（2）操作与求解：正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（0）的变化情况是 ；a逐渐增大 b逐渐减少 c先增

9、大后减少 d先减少后增大当正方形顶点移动到点时，求的值；（3）探究与归纳：（备用图）abcabcodef设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式探究操作性问题【典型例题】 【例1】（江苏镇江)（1）由题可知，即为的中点（2）由（1）可知，又，四边形为平行四边形设，轴，则，则过作轴，垂足为，在中，平行四边形为菱形（3）设直线为，由，得，代入得： 直线为设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，解得得公共点为所以直线与抛物线只有一个公共点【例2】（福建南平）（1）证法一：与均为等边三角形，且，即，（2）证法一：依题意，知和都是正边形的内角，即，13分，【例3】（内江市）观察

10、计算（1）；（2）探索归纳（1）；（2）当，即时，；当，即时，；当，即时，综上可知：当时，选方案二；当时，选方案一或方案二；当（缺不扣分）时，选方案一【例4】（浙江宁波）（1） （2）相等，比值为（3）设，在矩形中，同理， ， ， ，解得即（4）， 【学力训练】1、（山东聊城）（1）设正方形的边长为cm，则图1图2即解得（不合题意，舍去），剪去的正方形的边长为1cm（注：通过观察、验证直接写出正确结果给3分）（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2（3）有

11、侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：即当时，若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：即当时，比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2541232、（山东枣庄） （1）如图所示，又， （2），d1fo=60， 又，又，在中，（3）点在内部 理由如下：设（或延长线）交于点p，则在中， ，即，点在内部 3、（江苏盐城）（1）cf与bd位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；当点d在bc的延长线上时的结论仍成立图丁由正方形

12、adef得 ad=af ，daf=90bac=90，daf=bac ， dab=fac，又ab=ac ，dabfac ， cf=bd acf=abdbac=90， ab=ac ，abc=45，acf=45，bcf=acb+acf= 90即 cfbd（2）画图正确当bca=45时，cfbd（如图丁） 理由是：过点a作agac交bc于点g，ac=ag可证：gadcaf acf=agd=45 bcf=acb+acf= 90 即cfbd图戊（3）当具备bca=45时，过点a作aqbc交bc的延长线于点q，（如图戊）de与cf交于点p时， 此时点d位于线段cq上，bca=45，可求出aq= cq=4设cd=x ， dq=4x，容易说明aqddcp， ， ， 0x3 当x=2时，cp有最大值1abcodef