小学奥数 几何五大模型等高模型

1、模型一高模型已经道三角形面积的计算公式:三角形等三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大 （小），三角形面积也就越大（小）; 如果三角形的高不变，底越大 （小），三角形面积也就越大（小）;这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时13倍，底变为原来的 -,则三角形面积与原来3发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多

2、个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图Si：S2 a:b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图Saacd SxBCD ；反之，如果Sxacd SxBCD，则可知直线 AB平行于CD . 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.你有多少种方法将任意一个三角形分成：6个面积相

3、等的三角形。如下图，D、E是BC的三等分点，【例113个面积相等的三角形；4个面积相等的三角形;【解析1F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一:【例21 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。【解析1 求三角形ABC的面积是三角形 ABD面积的多少倍？求三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍？因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从【例31点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积 12高26高三角形ABC的面

4、积 （12 4）高28高三角形ADC的面积 4高2 2高所以，三角形 ABC的面积是三角形 ABD面积的三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的3倍。如右图，ABFE和CDEF都是矩形， AB的长是 积是平方厘米。4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面页眉内容【解析】【巩固】ABCD面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积【解析】图中阴影部分的面积等于长方形（2009年四中小升初入学测试题是平方厘米。根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也【巩固】等于平行四边形面积的一半，为50

5、 2 25平方厘米。如下图，长方形 AFEB和长方形FDCE拼成了长方形 ABCD，长方形ABCD的长是20,宽是12,则 它内部阴影部分的面积是【解析】【例4】【解析】1 -20 12 120。2如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为连接BH、CH o AE EB，- AEHBEH 同理,BFHCFH，SVCGH =SVDGH ，1 5628（平方厘米）2【巩固】S长方形ABCD2E、F、G分别是正方形

6、 ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，那么阴影部【解析】图中的分的面积是。把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是方形的顶点相连，把整个正方形分割成了在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了 3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等。【例5】因此这3个阴影三角形的面积分别是 ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等 144，阴影部分的面积就是

7、 48 OG为各边中点，【解析】于正方形面积的三分之一。正方形的面积是长方形ABCD的面积为36 cm2，E、F、 是多少？解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图:【例6】【解析】H为AD边上任意一点，问阴影部分面积可得：Sehb - Sahb、即 S EHB S BHF S DHG而 S EHB S BHF S DHG所以阴影部分的面积是:解法二：特殊点法。找那么图形就可变成右图:这样阴影部分的面积就是SfHB -S CHB、2（S AHB S CHB2S DHGS CHD ）-S22DHC ,3612S阴影 18 S EBF 18 4.513.5S阴影S EBF， S EBFH的

8、特殊点，把DEF的面积,S阴影SabcdS AED S BEF S cfd 36BE BFH点与D点重合,根据鸟头定理，1 1 1一 一 36 一2 2 2而 SaBCDS AHB S CHB S CHD 3618 ;则有：丄丄2 2（丄 AB）（丄 BC） - 36 4.5。2 2 836 -2 236 13.5 OH为AD边上任意一点，问阴影部分面积是长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，多少？（法1）特殊点法。由于 H为AD边上任意一点，找 H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD【巩固

9、】【解析】【例7】【解析】【例8】【解析】【巩固】【解析】 【巩固】 【解析】【例9】【解析】面积的1和1，所以阴影部分面积为长方形 84（法2）寻找可利用的条件，连接ABCD面积的，为 36 I13.5。BH、可得：Sehb - Sahb、即 S EHB S BHF S DHG而s EHB S BHF S DHGS FHB S2CHB、(S AHB S CHB2HC，如右上图。1SS DHC ,21 362S DHGS CHD )S阴影SSabCD18 ;S 1ebf , S ebf 218 4.5 13.5。BEBF1(1S AHB S CHBAB) (2 BC)所以阴影部分的面积是：在边

10、长为 6厘米的正方形 分别与P点连接，求阴影部分面积。（法1 ）特殊点法。由于 P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设S CHD 36 ,1 36 4.5。8S阴影 18 S ebfABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的2 1分的面积为62 （-4P点与A点重合，则阴1 1-和-，所以阴影部461-）15平方厘米。6（法2）连接PA、PC。由于 PAD与 PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积1之和等于正方形 ABCD面积的1，同理可知左、右两个阴影三角

11、形的面积之和等于正方形41 2 1积的-，所以阴影部分的面积为 62 （丄64如右图，E在AD上，AD垂直BC, AD面积的几倍？因为AD垂直于BC,所以当ABCD 面1-）15平方厘米。612厘米，de 3厘米.求三角形ABC的面积是三角形 EBCBC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面积三角形EBC的面积BCBC12 2 BC 63 2 BC 1.5所以三角形ABC的面积是三角形 如图，在平行四边形 ABCD中， 共有哪几个三角形？vaec、vafc、vabf .如图，在 VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结 B

12、E、CE,那么与VABE等积的三角形一共 有哪几个三角形？3 个，vaec、vbed、vdec.如图，在梯形 ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？vabd 与 vacd , vabc 与 vdbc , vabo 与 vdco .（第四届”迎春杯” 的面积是多少？连接 CE , AEEBC的面积的4倍.EF平行AC,连结be、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一试题）如图，三角形 ABC的面积为1，其中AE 3AB，BD2BC，三角形BDE【例10】【解析】3AB，BE 2 AB , Svbce 2Svacb又 BD 2BC ,（2008年四中考题）如右图，AD

13、DB , AE EF FC，已知阴影部分面积为 的面积是平方厘米.S/BDE2SVBCE4SVABC4 -5平方厘米，ABC一 1连接CD 根据题意可知，def的面积为 DAC面积的1 , DAC的面积为31ABC面积的，所21 1 1以 def的面积为 ABC面积的-.而 def的面积为5平方厘米，所以ABC的面积为23615-30（平方厘米）.6【巩固】【解析】图中三角形 ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点, 长的3倍.那么三角形 AEF的面积是多少平方厘米？Sabd B/abcVABD , VABC等高，所以面积的比为底的比，有所以SvaBD =SvaBC2【巩固】【解析】【巩

14、固】【解析】【巩固】【解析】AD的长是AE长的3倍，EF的长是BFSvafe be30S/ABE 4如图，在长方形 abcd 中, 三角形ZCY的面积.BDBC180 90 （平方厘米）.同理有SvABE22.5 （平方厘米）.即三角形 AEFY是BD的中点,Z是DY的中点,丫是BD的中点，Z是DY的中点，二ZY、11又-ABCD是长方形，Svzcy SvDCB44Syabcd 242如图，三角形 ABC的面积是24, D、E和F分别是BC、. 三角形ADC的面积是三角形 ABC面积的一半24 212 ,三角形ADE又是三角形 ADC面积的一半12 26 .三角形FED的面积是三角形 ADE面

15、积的一半，所以三角形 如图，在三角形 ABC中，BCEBF的面积是多少平方厘米？/ F是AC的中点SVABC2SVABF同理 /ABF2S/BEF【例11】【解析】【巩固】【解析】【例12】AE _1Svabd AD390 30（平方厘米）,的面积是22.5平方厘米.如果 AB 24厘米，BC 8厘米，求SVZCY Sdcb ,4（平方厘米）.AC和AD的中点.求三角形 DEF的面积.FED的面积 6 23.8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形6（平方厘米）.点 E、F和G分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是二 EbEF QaBC 48624如图ABCD是一个长方形

16、，个平方单位，求三角形 EFG的面积是多少个平方单位.如右图分割后可得，Svefg S矩形defc 2 S矩形abcd 4 36 4 9 （平方单位）. （97迎春杯决赛）如图，长方形abcd的面积是1 , M是AD边的中点， 那么，阴影部分的面积是多少？1连接BM，因为 M是中点所以 ABM的面积为 -又因为42AN36N在AB边上，且2AN BN .BN ,所以 BDC的面积为1 11丄，又因为 BDC面积为1，所以阴影部分的面积为：3 122如图，大长方形由面积是 12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、 形组合而成求阴影部分的面积.1 1121248平方厘米的四个小长方512【解析】

17、如图，将大长方形的长的长度设为1,则AB12123624【例13】12448325(cm ).1 1 1所以MN -，阴影部分面积为（123412如图，三角形ABC中，DC 2BD , CE的面积是多少？TCE 3AE，二 AC 4AE , S/adc24 36 48)3AE ,三角形1丄2 12ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC4SvaDE ；又 T DC 2 BD , BC 1.5DC , Svabc 1.5Svadc 6 S/ade（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形 三角形BCD的面积分别是 89, 28, 26 .那么三角形 DBE的面积是【解析】根据题意可知

18、，S adc S ADE S DCE所以 BD : AD S bdc : S adc【解析】【例14】26:11789 28 1172:9 ,120（平方厘米）.ABC中，已知三角形 ADE、三角形DCE、那么 S DBE : S ADE BD : AD22故 S DBE 89 (90 1)-992:9 ,20 -919-.9【例15】【解析】（第四届小数报数学竞赛 ）如图，梯形ABCD被它的一条对角线 BD分成了两部分.三角形 BDC的面积比三角形 ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是 它们的差是5分米.求梯形 ABCD的面积.如右图，作AB的平行线DE .三角形BD

19、E的面积与三角形 ABD的面积相等，三角形15分米，DEC的面积就DEC的高）是:【例16】【例18】【解析】【例19】以利用三角形等积变形的方法，积相等，从而VA DC面积与原四边形 ABCD面积也相等. 形VA DC .问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则. 的延长线交于 具体做法：如右上图把顶点 A移到CB的延长线上的 A处，VA BD与 VABD面这样就把四边形ABCD等积地改成了三角过A作一条和DB平行的直线与CBA点.连接BD ;过A作BD的平行线，与 CB的延长线交于连接A D，则VA CD与四边形ABCD等积.A.（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形

20、，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是 21cm2 .问：长方形的面积是多少平方厘米？黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的 50% 15% 35% .已知黄色三角形面积是 21cm2，所以长方形面积等于 21 35%60 ( cm2).O是长方形ABCD内一点，已知 OBC的面积是5cm2 , 积是多少？OAB的面积是2cm2，求 OBD的面、 1由于ABCD疋长方形，所以 S aOD S BOC SabcD，而S abd

21、2则 S BOC S OAB S OBD，所以 S OBD S BOC S OAB 52 3cm .如右图，过平行四边形 ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若分米，求平行四边形 PHCF的面积比平行四边形 PGAE的面积大多少平方分米？【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形 PGAE的面积差,【解析】【例20】形BCFE的面积与平行四边形 ABHG的面积差. 如右上图，连接CP、AP .1SabCD，所以22S AOD S BOC S ABD ,PBD的面积为 8平方相当于求平行四边1由于s BCP S aDP S ABP S BDP S ADPSabCD，所

22、以 S BCP S ABP S2BDP .而 S BCP SbcFE , S ABP SabHG，所以 S3CFE SABHG 2 S BCP S ABP 2S BDP2 2【例21】如右图，正方形 ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影【解析】 连接AC交BD于O点，并连接PO.如下图所示，16（平方分米）.BPD的面积.可得PO/DC，所以 DPO与 CPO面积相等（同底等高），所以有:是三角形BDC与三角形ABD的面积差（10平方分米）.从而，可求出梯形高（三角形2 10 5 4（分米），梯形面积是：15 4 2 30（平方分米）.图中VAOB的面积为15cm2，线段O

23、B的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.【解析】 在VABD中，因为Svaob 15cm，且OB 3OD，所以有S/aod Svaob 3 5cm .因为VABD和VACD等底等高，所以有 Svabd Svacd .2 2 2 从而 Svocd 15cm，在 VBCD 中，S/boc 3S/ocd 45cm，所以梯形面积：15 5 15 45 80（ cm ）.【例17】如图，把四边形 ABCD改成一个等积的三角形.【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可S PDO14S BPD ,S BPO S CPO S BPO、 1 因为S BO

24、C SABCD4【巩固】如右图，正方形 ABCD的面积是12，正三角形 BPC的面积是5，求阴影 BPD的面积. 【解析】连接AC交BD于O点，并连接PO.如右上图所示，205，所以 Sbpd 15 510 .可得PO/DC，所以S BPO S CPO S BPODPO与 CPO面积相等（同底等高），所以有：S PDO S BPD ,3，所以 S BPD 532 .因为S BOC Sabcd4【例22】在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰 AOB的面积为16，等腰 DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影 AOC的面积是多少？【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去DOC的面积（长方形面积

25、的18%），再减去 AOD的面积，即可求出 AOC的面积.根据模型可知 S COD S AOB Sabcd，所以 Sabcd 16 （ 18%）2 2又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半, 形面积的1 ,450 ,所以AOD的面积等于长方25 12.5所以 S AOC S ACD S AOD S COD SaBCD 25%SaBCD 18%SaBCD2【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形分别是其两腰 AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知 ADG的面积为面积恰好是梯形 ABCD面积的，则梯形ABCD的面积是20ABCD

26、中，E、F215cm，而 BCG 的【解析】如果可以求出 ABG与2 cm .CDG的面积之和与梯形 ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占梯形ABCD面积的多少，如图，连接CE、DE .要求 CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形 ABCD绕F点旋转180，变成一个平行四边形.如 下图所示：从而可以求出梯形 ABCD的面积.则 S AEG S DEG , S BEG S CEG , 于是 S ABG S CDG SCDE .从中容易看出 CDE的面积为梯形ABCD的面积的一半.（也可以根据Sbec - S abc21S AED S AFD S2ADC ,11S BEC S AED

27、 S ABC S ADC22那么，根据题意可知ADG的面积占梯形 ABCD面积的1-Sabcd 得来）21731 一一，所以梯形ABCD的面积是2 20 203215 100cm .20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论. 本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重合，则CDE 的面积占梯形面积的一半，那么ADG与 BCG合起来占一半.【例24】女口图所示，四边形 ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它

28、等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE .（我们通过 ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.在平行四边形ABCD中，ABE1-AB AB边上的高，2S ABE SWABCD .21同理，$ ABE - Syaegf ,平行四边形ABCD与AEGF面积相等.2【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接 AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系

29、在一起1在正方形ABCD中，Saabg AB AB边上的高，2二$ ABG-SWABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半2【例25】同理， ABG SeFGB .2正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽 8 8 10 6.4（厘米）.如图，正方形 ABCD的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH的面积为【解析】连接DE, DF ,则长方形EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,DEF 66 1.5 6 22 6 24.5 42 16.5,所以长方形 EFGH 面积为 33.【例26】【解析】如

30、图, 面积.连结AF、ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果VADE的面积为4平方厘米.求三角形 CDF的CE.【巩固】【解析】-S/ADES/ACE ； SVCDF S/ACF ；又TAC 与 EF 平行，Svace Svacf . Svade Svcdf 4 （平方厘米）.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F ,若$ ade 1，求BEF的面积.本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等)和等量代换的思想.连接 AC .T AB / CD , $ ade$ ace同理AD / BC ,$ aCF$ ABF【例

31、27】【解析】【例28】Sa BEF$ aEF , $ ace$ BEF，即 S BEF$ ADE1 .6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.【解析】又 ACFACE $ AEF , S ABF图中两个正方形的边长分别是4 4 2 8 .如图，有三个正方形的顶点厘米，求阴影部分的面积.对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10【巩固】【解析】线互相都是平行的，如右图所示，连接得 S DGE S方厘米.右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形 ABC

32、的面积.这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系.连接从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.FK、GE、BD，则BD/GE/FK，根据几何五大模型中的面积比例模型，可2Skge Sfge，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积，即为10 100平AD （见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长， 高都等于大正 方形的边长，所以面积相等.因为三角形 AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉【巩固】【解析】【巩固】【解析】这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等.

33、根 据等量代换，求三角形 ABC的面积等于求三角形 BCD的面积，等于4 4 2 8.（2008年西城实验考题）如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形 ABH的面积为6平方厘米，图 中阴影部分的面积为 .如图，连接 AF，比较 ABF与 ADF，由于AB AD , FG别相等，所以 ABF与 ADF的面积相等，那么阴影部分面积与正方形 ABCD和正方形 CEFG ,且正方形 ABCD边长为10厘米，方法一：三角形 BEF的面积 BE EF 2 ,FE，即 ABF与 ADF的底与高分ABH的面积相等，为6平方厘米. 则图中阴影面积为多少平方厘米？【巩固】【解析】梯形 EFDC 的面积(EF

34、CD) CE 2 BE EF 2 而四边形进而可得, 米）.方法二：连接CF,三角形BEF的面积，CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积 三角形BCH的面积，阴影面积三角形BDF的面积 三角形BCD的面积 10 10 2 50（平方厘那么CF平行BD ,所以，阴影面积 三角形BDF的面积 三角形BCD的面积 50（平方厘米）.（人大附中考题）已知正方形 ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.如果注意到DF为一个正方形的对角线 （或者说一个等腰直角三角形的斜边），那么容易想到 DF与CI是平行的所以可以连接 CI、CF，如上图.由于DF与CI平行，所以DFI的

35、面积与DFC的面积相等.而DFC的面积为10 4 2 20，所以DFI的面积也为20.（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H ,已知CH 等于CF的三分之一，三角形 CHG的面积等于6平方厘米，求五边形 ABGEF的面积.【解析】 连接AC、GF ,由于AC与GF平行，可知四边形 ACGF构成一个梯形.【例29】由于 HCG面积为6平方厘米,定理或相似三角形性质，可知 面积为3平方厘米.那么正方形CGEF的面积为 6且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的上，根据梯形蝴蝶2FHG的面积为12平方厘米，AHF的面积为6平方厘米， AHC的122

36、 36平方厘米，所以其边长为6厘米.米.【例30】AFC的面积为6 3 9平方厘米，所以 AD 9 22 1那么，五边形 ABGEF的面积为：36 9 32 12（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、DF6 3（厘米），49.5（平方厘米【解析】【例31】【解析】即正方形ABCD的边长为3厘F分别是梯形 ABCD的下底BC和腰CD上的FC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米.求图点，中阴影部分的面积.因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC .所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即 AE1与CD平行，四边形 ADCE是平行四边形，阴影部分的面积平

37、行四边形ADCE的面积的1，所以2阴影部分的面积乙的面积 2 .设甲、乙、丙的面积分别为 1份，则阴影面积为 2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积32 5 2 12.8（平方厘米）.如图，已知长方形 ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么 三角形ABC的面积是多少？方法一：连接对角线 AE . ADEF是长方形1SxADEF23FCSacf 18，EFS AEF 2-S ADES AEFDBDES ADBS ADEDEDE8 EFEF21 515-S bec16 -2 82213.2-S ABCSxADEFSADBS ACFS CBE方法二:连接BF，由

38、图知Sz ABF16 28 ,所以Sa bef168 35，又由 SaACFa aef面积的一半，所以C是EF的中点，因此Sa bceSa bcf5 2Sa ABC16 342.56.5如图，在平行四边形 ABCD中，BEEC ,CF 2FD .求阴影面积与空白面积的比方法一：因为BEEC , CF2FD，所以Sa ABE S四边形 ABCD ,Sa adfS四边形ABCD .46因为AD2BE，所以 AG 2GE ,BE514，恰好是【例32】ABCD -2.5 ,所以【解析】-S四边形6CE FE CFDE DBSa abg所以Sa BGE1 1一 Sa ABE S四边形 ABCD ,31

39、22SSa ABE3同理可得,1ABCD -Saadh S四边形 ABCD , Sa dhfS四边形因为BCD知边形ABCD，所以空白部分的面积824()S四边形ABCD 一 S四边形ABCD ,21224683【例33】【解析】【例34】【解析】【巩固】【解析】1所以阴影部分的面积是护边形ABCD -2-1:2，所以阴影面积与空白面积的比是 3（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛 是AC边上的一点， 面积为b平方厘米.）如图所示，三角形 ABC中，D是AB边的中点，且AE 3EC , O为DC与BE的交点.若 CEO的面积为a平方厘米， ABC的面积是_11且b a是2.5平方厘米，那么三

40、角形S ABC S BCD b2米）.所以S ABC 2.5 410（平方厘米）.如图，在梯形 ABCD 中，AD:BE 4:3 , BE: EC平方厘米.梯形 ABCD的面积是 平方厘米.根据题意可知 AD: BE: EC 8:6:9，则- , S ABES ABE 61S AOD S bOE 10平方厘米，所以 S ABD4而 S ABD又 S BCDS ABDS ABES BCO ,S ABC S BCE a S BCO ,4155，所以SBCDABD S BCD15840 75 115(平方厘米).4075平方厘米.E BDO的 平方厘米.所以丄S ABC S ABC b a 2.5

41、（平方厘242:3 ,且 BOE的面积比 AOD的面积小10-Sabd ,410,则S ABD 40平方厘米.所以S梯形ABCD S（第五届小数报数学竞赛初赛）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE2-BC .求5与BD相交于0点已知三角形 BOE的面积比三角形 AOD的面积大4平方米，并且EC梯形ABCD的面积.连接AC 根据差不变原理可知三角形 ABE的面积比三角形 ABD大4平方米，而三角形ABD与三角形ACD面积相等，因此也与三角形 ACE面积相等，从而三角形 平方米.ABE的面积比三角形ACE的大4EC22BC，所以三角形 ACE的面积是三角形522 12（平

42、方米），梯形ABCD的面积为：32ABE的5212 1 - 232-，从而三角形 ABE的面积是328（平方米）.【例35】13 , 35 , 49 那么图中如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 阴影部分的面积是多少？【解析】三角形ABC的面积 三角形CDE的面积（13 35 49）长方形面积 阴影部分面积；又因为三角1-长方形面积，所以可得：2形ABC的面积 三角形CDE的面积阴影部分面积13 35 49 97 .【例36】图中是一个各条边分别为 5厘米、上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母.12厘米、13厘米的直角三角形

43、. 将它的短直角边对折到斜边 （即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？有 ABC为直角，而 CED ABC，所以 CED也为直角.而CE CB 5 . VADE与VCED同高，SVADE 竺=135 = 8，设VADE的面积为“ 8 ”，贝U VCED的面积为EC 55所以面积比为底的比，及SVCED“5”. VCED是由VCDB折叠而成,组成，所以 SVabc= “ 8” + “ 5” +所以有 VCED VCDB 面积相等，VABC 是由 VADE、VCED、VCDB 1“ 5” = “ 18”对应为丄25 1230,所以“1”份对应为I，那么【例37】【解析】【例38】ADE的面积为8

44、515 = 13-平方厘米即阴影部分的面积为33ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE , F是DG的中点阴影部分的面积是13-平方厘米.3如图，长方形多少平方厘米？如下图，连接FC , VDBF、VBFG的面积相等，设为1y平方厘米，那么 VDEF的面积为1 y平方厘米.3-3x平方厘米；VFGC、VDFC的面积相等，设为1SVbcd 2x 2y 1, SVbde =x+y=l31-.所以有3x y 0.53x y 1.比较、式，式左边比式左边多2x ,式右边比式右边大2y 3y（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路 AE和CF ,交叉处为D ,张大55-0.25

45、平方厘米.3120.5，有 2x0.5，即 x0.25, y 0.25 而阴影部分面积为伯常走这两条小路，他知道DF DC，且 AD 2DE .则两块地 ACF和CFB的面积比是 .【解析】方法一：连接BD .设CED的面积为1, BED的面积x ,即 BDF的面积为x 1、 ADC则根据题上说给出的条件,由DFDC 得 BDC BDF ,S adf ；又有AD 2DE , ADC ADF 得 x 3，所以 ACF : SCFB (22SA CDE2):(134)$ ABD2S4 BDE2x ,而 abdx 12 2x ；1:2 .方法二：连接BD，设CEDS adf2 ,设 S bedx B

46、FDx 1 yy则有2x y 2x解得y3,所以 $ ACF : Scfb(22):(4 341) 1: 2过F点作FG /BC交AE于G点，由相似得CD : DF ED :DG 1:1,又因为AD 以AG:GE AF: FB 1:2，所以两块田地 ACF和CFB的面积比【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，成9个面积相等的小三角形，那么DI方法三:2DE ,所【解析】由题意可知，BD : BC S BAD ：S ABCDI : DC S dif : S dfc 2:5,所以DI FK 14 10 24.【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角并且 O

47、AB、 ABC、 BCD、 CDE、FK22:9 ,所以 BD - BC9DI-DC 145AF: FB 1:2BC 45, AC 21,10 , CD BC BD同样分析可得FK 10ABC被分35 ;又MON的两边上分别有A、DEF的面积都等于1，则C、E及B、D、F六个点, DCF的面积等于 .【解析】根据题意可知， OD：DF S OED : S def 4:1，所以【例40】【解析】E、M分别为直角梯形 ABCD两边上的点，且AE 5，EB 3 .求阴影部分的面积.连接CE、DE .11DF OD ， S DCF S OCD44DQ、CP、ME 彼此平行，若 AD 5，BC 7，【例

48、41】5，BC 7，AE 5，EB 3，所以三角形CDE的面积的面积为：17-25 .所以三角形PQM的面积为25.2）已知ABC为等边三角形，面积为 400，D、E、F分别为三边 143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）200200 Samhn，所以由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四边形 CDQP是梯形，且ME与该梯形的两个底平行，那么三 角形QME与DEM、三角形PME与CEM的面积分别相等， 所以三角形PQM的面积与三角形 CDE 的面积相等.而三角形 CDE的面积根据已知条件很容易求出来.由于ABCD为直角梯形，且 AD115 75355 322（2007年人大附中分班考试题的中点，已知甲、乙、丙面积和为【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以 DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形 ABC的一半，即为200. 根据图形的容斥关系，有 S ABC S丙 S ABN S AMC SamH