第3节　函数的基本性质

1、第3节函数的基本性质考纲展示1理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性；理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性2理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值3会运用函数图象理解和讨论函数的性质教学过程1单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时， (1)若f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数单调函数的定义有以下等价形式：设x1，x2a，b，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(

2、x2)0f(x)在a，b上是减函数2单调区间若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间质疑探究：函数f(x)的单调减区间是(，0)(0，)吗？提示：函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域内的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能说该函数在其定义域上是增函数(或减函数)，也不能将各个单调区间用“”连接，而应写成(，0)和(0，)3函数的最值(1)函数的最大值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(

3、x)的最大值(2)函数的最小值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：对于任意的xI，都有f(x)N；存在x0I，使得f(x0)N.那么，我们称N是函数yf(x)的最小值 函数的最值是函数在其定义域上的一个整体性质，它与值域有着密切的关系函数的值域一定存在，但最值不一定存在，对于在一个闭区间上的连续函数f(x)来说，它一定有最小值m，也一定有最大值M，这时函数的值域是m，M4函数的奇偶性(1)偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图象关于y轴对称(2)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域

4、内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图象关于原点对称(1)在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)(2)解题中经常用到的关于函数奇偶性的重要结论：函数奇偶性满足下列性质：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性若函数f(x)为奇函数且在x0处有定义，则有f(0)0. 若f(x)是偶函数，则有f(x)f(x)f(|x|)1若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增

5、区间是(B)(A)(2，) (B)(，2)(C)(2，) (D)(，2)解析：由f(x)在R上递减知afh(x)转化为具体不等式变式探究11：(2010年温州市调研)函数f(x)(a0且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是()(A)(0,1) (B)，1)(C)(0， (D)(，1)解析：由题意知，f(x)为减函数，所以，解得a1.故选B函数的奇偶性及应用【例2】 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)()x，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_思路点拨：要比较三个函数值的大小，应先求出f(x)与g(x)的解析式，可在已知等式中用x代替x，再构造关于f(x)、g(x)的关系式从而求解f(x)与g(x)解析：在f(x)g(x)()x中，令xx，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.于是解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：