初中数学竞赛辅导 解三角形

1、2 2 2oooo2 2 22 2 22 2 2o o初中数学竞赛辅导解三角形甲内容提要1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形. 2. 解直角三角形所根据的定理 (在 abc 中，c=rt).1 边与边的关系： 勾股定理c =a +b .2 角与角的关系：两个锐角互余a+b=rt 边与角的关系：（锐角三角函数定义）sina=a b a b ， cosa= , tana= , cota=c c b a.a 互余的两个角的三角函数的关系：sin(90 a)= cosa，cos(90 a)= sina，cbtan(90 a)= cota, cot(90 a)= tana.bac

2、 特殊角的三角函数值：角 a 的度数030 45 60 90sina 的值cosa 的值0112322222321210tana 的值cota 的值0不存在33311333不存在0锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大 而减小（即减函数）.3. 解斜三角形所根据的定理 (在abc 中) 正弦定理：a b c= =sina sinb sinc=2r. (r 是abc 外接圆半径). 余弦定理： c =a +b 2abcosc； b =c +a 2ca cosb； a =c +b 2cbcosa. 互补的两个角的三角函数的关系：sin(180 a)= sina，

3、 cos(180 a)= cosa ，217oooo。2 2 2 2 22 2 22 2o otan(180 a)=cota，cota(180 a)=tana. s abc1 1 1absinc= bcsina= casinb.2 2 24. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角， 方位角等.乙例题例 1. 已知：四边形 abcd 中，a60 ，cbab，cdad，cb2，cd1. 求：ac 的长.解：延长 ad 和 bc 相交于 e，则e30 .在 ecd 中，sine=cdce,e1 1ce= =1 2. eb4. sin 30 o 2ab在 eab 中

4、， tane= ,ebd1cab=ebtan30 =4 33.ay60xb2根据勾股定理 ac2 2 （4 33）22321.又解：连结 bd，设 ab 为 x，ad 为 y.根据勾股定理 ac x +2 =y +1 .根据余弦定理 bd x +y 2xycos60 =2 1 221cos120 .得方程组x2-y2 +3 =0， x2 +y 2 -xy +7 =0.解这个方程组， 得 x=4 33. (以下同上一解)例 2. 已知：如图，要测量山 ab 的高，在和 b 同一直线上的 c，d 处,分别测得对 a 的仰 角的度数为 n 和 m，cd=a. 试写出表示 ab 的算式.解：设 ab

5、为 x，bd 为 y.在 abd 和 abc 中，ay =x cot m， y +a =x cot n.xxcotm=xcotna .cna dmyb2182 2 2ooooo x=acotn -cotm.答：山高 abacotn -cotm.例 3. 已知：四边形 abcd 中，abc135o，bcd120o，cd6，ab6，3bc5 求：ad 的长.（1991 年全国初中数学联赛题）解：作 aebc 交 cd 于 e， bfae 于 f， cgae 于 g. 在 abf 中，bf 6 sin45 o = 3 , afbf 在 cge 中，3gecgtan30 o = 3 1,33.a6b1

6、35f5 3c120ge6dce2， ed4.ae=3+53+1=6， aed120o.在aed 中，根据余弦定理，得ad 6 4 264cos120 =76.ad219.例 4. 如图，要测量河对岸 c，d 两个目标之间的距离，在 a，b 两个测站，测得平面角cab30 ，cad45 ，dbc75 ，dba45 ，ab 试求 c，d 的距离.解：在abc 中，3.acbcab30o，dcbcab3,河流ac2 3 cos30 o =3.75453045在abd 中，adb60ob3a由正弦定理，ad ab ， sin 45 o sin 60 oadabsin 60o3 2sin45 o =

7、3 2 .2 22192 222222222222在acd 中，由余弦定理，得cd 3 （2） 232cos45 =5cd 5 .例 5. 已知：o 是凸五边形 abcde 内的一点且a8 112，34，56，78. 求证：9 和10 相等或互补(1985 年全国初中数学联赛题)e96o103b证明：根据正弦定理，得oa ob ob oc oc od = = = = =sin10 sin1 sin 2 sin 3 sin 4 sin 57 24 5d c=od oe oe oa= = = sin 6 sin 7 sin 8 sin 9.sin10=sin99 和10 相等或互补.例 6. 已知

8、：二次方程 mx (m2)x+ 角形两个锐角的正弦值.14(m1)=0 两个不相等的实数根，恰好是直角三求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比. 解：作 abc 斜边上的高 cd.则 sina=cd cd, sinb=ac bc.csina 和 sinb 是方程的两根，根据韦达定理，得m -2sina+ sinb= ； (1)mm -1sina sinb= . (2)4mcd cd m -1即= . （3） ac bc 4madbm -2 m -1(1) 2(2)得： (sina) +(sinb) =( ) .m 2 msinb=cosa, 且 (sina) +( cosa) =1，(m -

9、2 m -1 ) =1，m 2mm+7m8=0,m=1， m=8.由（3）cd cd cd cd m -1 .ac bc abcd ab 4 mab 4m .cd m -1220oooooo oabcoab 32当 m=1 时，没有意义； 当 m=-8 时， = .cd 9即直角三角形斜边与斜边上的高的比是 329.丙练习1. 填空： 如果从点 a 对着点 b 测得仰角是 60 ，那么从点 b 对着点 a 测得的俯角是度. 点 c 在点 d 的南偏东 25 ，那么点 d 在 c 的方向是. 斜坡 ab 的坡角是 30o，那么 ab 的坡度 i=1. 锐角 a45 ，那么下列函数的取值范围是：s

10、ina_， cosa_，tana_，cota_. 已知：30oa60o，那么如下的函数的取值范围是a 的余弦，a 的正切.2. 已知：abc 中，b45 ，ac7，点 d 在 bc 上，cd3， d5.求 ab 的长.aj303. 如图观测塔 ab 的高为 aa 测得地面上a45同一方向上的两个目标 c，d 的俯角分别是 30o和 45o，求 cd 的距离.b dc4. 船 a 在船 b 的正北，它们同时向东航行，时速分别是 15 和 20 海里，3 小时后，船 b 在船 a 的东南，问这时两船相距多远？5. 一只船向南航行，出发前在灯塔 a 的北偏东 30 ，相距 15 海里，2 小时后，灯

11、塔在船的北偏西 60o，求船的航行速度.a6. 如图要测量建筑物 ab 的高，先在楼下 c 测得对顶端 a 的仰角为 45 ，然后在楼上 d 测得对 a 的仰角为 30 ，已知 楼高 cd=m 米，求 ab.7. 已知：abc 中，a=21, b=17, c=10.求：s .8. 已知：abc 中，sina sinbsinc=357.求：abc 的最大角的度数.ebdmc9. 船 b 在艇 a 的方位角 120o，相距 24 海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角 240 的方向前进，速度是每小时 9 海里. a 艇以最快的时速 21 海里赶去营救，问应沿什么方向，a221bfd cj要经过几小时才能靠近船 b？10. 已知：锐角三角形 abc 的外接圆直径 ae 交 bc 于 d. 求证：tanbtanc=adde提示：作 bc 边的高 af(h)并延长交圆于 g,连结 ge11. 已知：abc 中，a=45 ，ab=6，bc=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形.(1981 年福建省初中数学联赛题)12. 如图已知：abcd 为圆内接四边形，过 a