【公开课教案】《正弦定理和余弦定理》教案

1、dd，又a b=正弦定理和余弦定理教案第一课时 正弦定理(一) 课题引入如图 11-1，固定 abc 的边 cb 及 b，使边 ac 绕着顶点 c 转动。 a思考： c 的大小与它的对边 ab 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 ab 的长度随着其对角 c 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ c b(图 1.1-1)(二) 探索新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1.1-2 ，在 rt abc 中，设bc=a,ac=b,ab=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac=sin a，bc=sin b sin

2、 c =1 =cc,a则asina=bsinb=csinc=cb c从而在直角三角形 abc 中，sin a sinb=csincc a b(1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？1图d111s =abc1abc（让学生进行讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1.1-3，当 abc 是锐角三角形时，设边 ab 上的高是 cd，根据任意角三角函数的定义，有 cd=a sin b =b sin a,则asina=bsinb， c同 理 可 得cs i nc=bs ibn，ba从而asina=bsinb=csin ca db(图1.1-3)让学生思考：是

3、否可以用其它方法证明这一等式？ 证明二：（等积法）在任意斜abc 当中ab sin c = ac sin b = bc sin a 2 2 2两边同除以 即得： a = b 2 sin a sin b证明三：（外接圆法）=csin ccbaob如图所示， a a= =cd =2 r sin a sin d(r 为外接圆acd的 半径)同理b=2r，c2rsin bsin c由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证明四：（向量法）过 a 作单位向量 j 垂直于ac2+ = d， ，aca由ac cb ab两边同乘以单位向量 j 得 j ( ac + cb )= j ab则 j a

4、c + j cb = j ab| j | ac |cos90+| j | cb |cos(90-c)=| j | ab |cos(90-a)a sin c =c sin a a = csin a sin c同理，若过 c 作 j 垂直于 cb 得：csin c=bsin b a = bsin a sin b=csin c从而asina=bsinb=csin c类似可推出，当 abc 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （让学生课后自己推导）从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即asina=bsinb=csin c(三) 理解定理(1) 正弦

5、定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使a =k sin a b =k sin b c =k sinc；(2）sina=bsinb=csin c等价于asina=bsinb，sin c=bsin b，sin a=csin c从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a =b sin asin b；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如asin a = sin b b。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作3dabc，a =42.9dabca =20 b =28 a =400b 1

6、80解三角形。(四) 例题剖析例 1在 中，已知a =32.00b =81.80， cm，解三角形。(课本 p3，例 1)解：根据三角形内角和定理，c =1800-(a +b)=180 0 -(32.00 +81.8 0 )=66.20；根据正弦定理，b =a sin b 42.9sin81.8=sin a sin32.0 0080.1(cm)；根据正弦定理，c =a sin c 42.9sin66.2=sin a sin32.0 0074.1(cm).例 2在 中，已知 cm， cm， 0，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm）。(课本 p4，例 4)解：根据正弦定理，sin b =

7、bsin a 28sin40=a 2000.8999.因为 0 0 ，所以 (1) 当时，0b 64b 640，或b 116.0c =1800-(a +b) 1800-(400+640) =760，c =a sin c 20sin76 0= 30(cm). sin a sin40 0(2) 当b 1160时，4， ，dc =180 0 -(a +b) 180 0 -(40 0 +116 0 ) =24 0，c =a sin c 20sin24 0= 13(cm). sin a sin40 0评述：例 1，例 2 都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角

8、和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有 两解的情形。(五) 课堂练习第 5 页练习第 1(1)、2(1)题。(六) 课时小结 (让学生归纳总结 )(1)定理的表示形式 ：asina=bsinb=csin c=a +b +c sin a +sin b +sin c=k (k0)；或a =k sin a b =k sin b c =k sinc (k (2) 正弦定理的应用范围：0)1 已知两角和任一边，求其它两边及一角；2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。第二课时 余弦定理(一) 课题引入如图 1.1-4，在 abc 中，设 bc=a,ac=b,a

9、b=c, c已知 a,b 和 c ，求边 c 。 ba5 a c b(图1.1-4)(二) 探索新知联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 a、b 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图 11-5，设 cb =a ， ca =b ， ab =c ，那么 c=a-b，| c |2=cc=(a-b)(a-b)a=aa + bb -2a b bc从而bc 2 =a 2 +b2 -2ab coscc a同理可证a 2=b2+c2-2bc cosa(图 11-5)b 2=a 2+c2-2ac cosb于是得到以下定理余弦定

10、理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a 2=b2+c2-2bc cosab 2=a 2+c2-2ac cos b690c 2=a 2+b2-2ab cosc让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三 个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cos a =b2+c2 -a 2bc2cos b =a 2 +c2 -b2 2accosc =b2+a 2 -c 2ba2(三) 理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三

11、条边就可以求出其它角。让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这 两个定理之间的关系？（由学生总结）若 d abc 中，c= 0 ，则cosc =0，这时c2=a2+b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 (四) 例题剖析例 1 在abc 中，已知 b=60 cm，c=34 cm，a=41，解三角形(角 度精确到 1，边长精确到 1 cm）。(课本 p7 例 3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosa=602+342-26034cos417 0.544 0.d， ，所以，a41 c由正

12、弦定理得 sinc=3 600+1 156-4 0800.754 7 1 676.82，c sin a 34 sin 41 34 0.656=a 41 41因为 c 不是三角形中最大的边，所以 c 是锐角.利用算器可得b=180-(a+c)=180-(41+33)=106.例 2 在 abc 中，已知 形。a =134.6cm b =87.8cm c =161.7cm，解三角解：由余弦定理的推论得：cosa =b2 +c2 -a2 2bc=87.82 +161.7 2 -134.6 287.8161.720.5543,a 56 0 20；cosb =c2+a 2 -b 2ca2=134.62 +161.72 -87.82 2134.6161.70.8398,b 32053；c =1800-(a +b) 1800-(56020+32053)=900 47.8d评述：例 1 和例 2 是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。在利用