线性方程组解的判定与解的结构

1、*学院数学分析课程论文小一，加初 线性方程组解的判定与解的结构小二号 院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学（师范）姓 名 * 年 级 2009级 学 号 * 指导教师 * 小三号，黑色，对齐 2011年6月线性方程组解的判定与解的结构小二号，字间距：加宽，全篇文章标点句号只用小四，行距：2倍姓名*（重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班）五号，行距：1.5倍摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解五号引言段前空两行，本行倍行距，字号：小四，宋体，加初 通过

2、系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式首行缩进两字符1 基本性质标题编号用数字“1,2”等，不加标点 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件首行缩进对于线性方程组 (1)式子编号右对齐引入向量，式子通篇对齐，注意美观方程（1）可以表示为 性质 线性方程组有解的充分必要条件为向量可以表成向量组1,2,，n的线性组合. 定理1 线性方程组有解的充分必要条件为它的系

3、数矩阵首行缩进要对整齐 与增广矩阵顶格 有相同的秩.证明加初，退格 先证必要性，设线性方程组（1）有解，就说说，可以经过向量组，线性表出由此立即推出，向量组，与向量组，等价，因而有相同的秩，这两个向量组分别是矩阵与的列向量组因此矩阵与有相同的秩 再证充分性，设矩阵与有相同的秩，就是说，它们的列向量，与，有相同的秩，令它们的秩为r. ，中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设，是它的一个极大线性无关组显然，也是向量组，的一个极大线性无关组，因此向量可以经，线性表出，既然可以经，线性表出，当然它可以经，线性表出因此，方程组（1）有解证毕定理2 对于线性方程组，若，则当r= n时，有唯一解；当r

4、n此处不对，式子应均在公式编辑器中编辑，下同时,有无穷多解.证明 设D是矩阵A的一个不为零的r级子式（当然它也是的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设D位于A的左上角.显然， 的前r行就是一个极大线性无关组，第r+1，s行都可以经它们线性表出.因此，方程组与此处不对，式子应均在公式编辑器中编辑，下同 (2)编号应右对齐同解.当r=n时，由克兰姆法则，方程组(2)有唯一解，即方程组有唯一解.当rn时，将方程组(2)改写为 式子均应在公式编辑器中编辑 （3）式子独立成行，编号右对齐 (3)作为的一个方程组，它的系数行列式D0.由克兰姆法则，对于的任意一组值，方程组(3),也就是方程组,都有唯一

5、的解.由于自由未知量可任意取值，所以方程组（1）有无穷多个解证毕 退格，加初 在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步探讨线性方程组解的结构所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题上面我们提到，n元线性方程组的解是n维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些问题之间有什么关系呢?我们先看齐次方程组的情形设 （4）式子对齐，编号右对齐是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质:性质1 两个解的和还是方程组的解设与是方程组（4）的两个解这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即 （i=1,2,.,s）， （i=1,2,.,s），把两个就解的和 （5）式子对齐，编

6、号右对齐代入方程组，得 （i=1,2,.,s）这说明（5）也是方程组的解证毕加初性质2 一个解的倍数还是方程组的解设是（4）的一个解，不难看出还是方程组的解，因为 （i=1,2,.,s）由性质1和性质2得：性质3 方程组（4）的解的任一线性组合还是（4）的解 2 基础解系标题：小四，行间距：倍定义 齐次线性方程组（4）的一组解，若满足1) 线性无关；2)（4）的任一解可由线性表出则称为（4）的一个基础解系3 基础解系的存在性定理1在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于，其中位置不对证：加初式子位置不对若，不防设2，则方程组（4）与方程组（6）编号右对齐

7、同解,用组数 (1,0,0), (0,1,0), , (0,0,1)代入自由未知量，就得到（6）的解，也就是（4）的个解则为方程组(4)的一个基础解系.) 线性无关事实上，若，即比较最后个分量，得 .因此, 线性无关.) 任取方程组（4）的一个解，可由线性表出事实上，由是方程组（4）的解知： 也为（4）的解，又=（）它与的最后个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即由) )知，为（4）的一个基础解系 证毕推论 任一与方程组（4）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（4）的基础解系证明：为（4）的一个基础解系，线性无关，且与等价，则，且可由线性表出，即也为（4）的解向量

8、 任取方程组（4）的一个解向量，则可由线性表出，从而可由线性表出又线性无关，所以也是基础解系证毕4 基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系. 方程组（4）的任一解即通解可表为 例1 求齐次线性方程组的一个基础解系解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：，于是r，基础解系中有r=5-3=2个向量此处不

9、对，正确者见下行于是，基础解系中有个向量阶梯形矩阵所对应的方程组为移项，得取，得一个解向量 ；取，得另一解向量 .此处全不对，正确的见下面取得一个解向量；取得一个解向量即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为对于非齐次线性方程组解 （7）编号右对齐，下同令,得 （8）称（8）为（7）的导出组5 解的性质性质1 设为方程组（7）的两个解，则为其导出组（8）的解证明 ，是方程组（7）的两个解，即 它们的差是 ，显然有 即=是导出组(8)的一个解. 证毕性质2 设为方程组（7）的一个解，为其导出组（8）的解，则仍为方程组（7）的解证明 设=是方程组(7)的一个解，即又设=是导出组(8)的一个

10、解, 即显然 证毕 6 解的结构行距倍定理 若为（7）的一个特解，则方程组（7）的任一解皆可表成，其中为其导出组（8）的一个解.从而有：方程组（7）的一般解为其中为（7）的一个特解，为导出组（8）的一个基础解系证明显然,有性质知，是导出组(4)的一个解，令,则 . 证毕推论 方程组（7）在有解的条件下，有唯一解（7）的导出组（8）只有零解7 求非齐次线性方程组（7）的一般解的步骤行距倍1）求出其导出组的基础解系2）求出其一个特解3）方程组（7）的一般解为例求解方程组解：可见，方程组有解，并有取，则 ，即得原方程组的一个特解下面求导出组的基础解系：导出组与 同解取，得；取，得于是原方程组的通解为

11、参考文献段前空一行或二行，行距：倍1北京大学数学系几何与代数小组教研室.高等代数（第三版）M. 北京：高等教育出版社，19642同济大学数学教研室编.线性代数M.第三版,北京：高等教育出版社,19993谢帮杰.线性代数M.北京:人民教育出版社，1978.4北京大学力学系高等代数M北京：人民教育出版社，19795邓建中,刘之行计算方法M.西安：西安交通大学出版社,20016赵德修, 孙清华线性代数题解精选M武汉：华中科技大学出版社，2001The Determinant and Structure of Solution of Linear equations小二，字体Arial小四Xingming *(Class one of Grand 2009, Mathematics and Application Mathematics, College of Maths and Computering Science, Chongqing Three Goreges University )Abstract：Making use of the rank of coefficient matrix and augmented matrix to judge the solution of linear equations. The equations