完整版二项式定理的练习及答案

1、项 式 定 理 的 练 习 及 答 案基础知识训练(一)选择题1(x 2x) 6展开式中常数项是()A.第 4 项 B. 24C： C.C：D.22. (x - 1)11展开式中x的偶次项系数之和是()A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1 i2)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74若C仃与Cn同时有最大值，则m等于()A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55设(2x-3) 4=aoa1Xa?x2aax3aqX4，贝y ao+a1+a2+a3的值为(A.1B.16C.-15D.1531116. (x3一)展开式中的中间两项为()xA. Ck

2、Xcb12B.C61X9,C；110x C.Cx13D.C1X1713(二)填空题17在(2xy)7展开式中，x5y2的系数是38.C03Cn2 23 Cn3ncn9. (3.520)的展开式中的有理项是展开式的第项*10. (2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 .231011. (1 3x 3x x )展开式中系数最大的项是 、512. 0.991精确到0.01的近似值是(三)解答题13 .求 (1+x+x 2)(1-x) 10展开式中 x4 的系数.14 .求 (1+x)+(1+x)2+(1+x) 10展开式中 x3 的系数 +15已知(1-2x) 5展开式中第2项大于第1项而不小

3、于第 3,求x的取值范围x2的系数最小?16若f (x) (1 x)m (1 x)n(m n N)展开式中，x的系数为21,问m n为何值时, 17.自然数n为偶数时，求证:18 求8011被9除的余数+14; 3，求展开式的常数项.19已知(.x-2r)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为x2520 在(x +3X+2)的展开式中，求 x的系数+21 求(2x+1) 12展开式中系数最大的项+参考解答：1 通项Tr 1C6x6r)r C6x3 r2 2r,由6-r24，常数项是Ts44C6 2，选(B)2.设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1)f( 1)(22)11

4、 /21024，选(C).3.通项Tr 1rC7( -2)r C；22,当r=0，2, 4, 6 时,均为有理项，故有理项的项数为4个，选(A)4要使C：7最大，因为17为奇数，则m=8=4,2若n=9,要使Cm最大，则m171或21或m2匕 n 8或n=9,若n=8,要使C；最大，则m 4或m=5综上知，m=4或m=5故选(A)5.C10.224;8.43(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35+6.C7.9.3,9,15,2111. (1+3x+3x 2+x3) 10=(1+x) 30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大

5、的项是T16=c30X15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C0C；0.0090.9613. (1 x x2)(1x)10(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项C：( x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x) 9展开式中的项c9( x)作积，故x4的系数是C； C；135.10 1114. (1 x) (1 x)2(1 x)10x)1 1_，原式中 x3实为这分子中1(1 x)x的x4,则所求系数为c7v15由C5( 2x)1C5( 2x)C； c；( 2x)21x1011x41016由条件得 m+n=21, x2的项为

6、C；x2 C：x2，则 C； C： (n -21)22时上式有最小值，也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时，x的系数最小.3994.因n N,故当n=10或1117 原式=(C0 cl. C2cn1c：) (c：35CnCnc： 1)2n2n13.2nC；081181k 1(k Z),18. 8011(811)11C1018111C；8110 k Z,二 9k-1 Z,. 8111 被 9 除余 &19依题意 C： : C：14:3 3C：14C： 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2!n=10*10 5r 设第叶1 项为常数项，又Tr 1C；0(.x

7、)10r( -22)r( 2)rC；0xhx10 5r令0 r 2,T2 1 C10( 2)180.此所求常数项为180+2255520 (x 3x 2) (x 1) (x 2)在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为C；5x，在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32，含x的项为14C52 x 80x展开式中含 x的项为1 (80x)5x(32)240x，此展开式中x的系数为240+21 设Tr+1的系数最大，则 Tr+1的系数不小于 Tr与Tr+2的系数，即有展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：2x47920X4三.拓展性例题分析- 1 n例1在二项式 ,x 的展开式中，前

8、三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.2如分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为:前三项的r 0,1,2.得系数为:t11 112Cn n,t32 2Cn；-n(n 1),8由已知：2t21t1t3n 1n(n1 3 81), n 8通项公式为/16 3rr 1Tr 1C8x 4 r 0,1,2 8,Tr 1为有理项，故16 3r是4的倍数,2 r 0,4,8.1 35依次得到有理项为 x4,T5 C； x,T92 8c8*x1 2x256说明：本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求岀了r的取值，得到了有理项.

9、100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有 17页系数和为3n.例2( 1)求(1 x)3(1 X)10展开式中X5的系数；(2)求(X - 2)6展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1 )可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1 ) (1 x)3(1 x)10展开式中的X5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：3105553用(1 X)展开式中的常数项乘以(1 X)展开式中的X项，可以得到 C10X ;用(1 X)展开式中的一次项乘以(1 x)10展开式中的X4项可得到(3x)

10、(G；x4)3C：oX5 ；用(1 x)3中的X2乘以(1 x)10展开式中的x3可得到3x2 C；0x3353Q10q3Cwx ；用(1 x)中的X3项乘以(1 X)展开式中的X2项可得到C 3223x C10XC10X5，合并同类项得 X项为:(C10C103C；。2C：0)x563X5 .(2) X1(x -X2)5121- X12r展开式的通项公式 Tr 1C；2C-2)12C；x6 r，可得展开式的常数项为6C12924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项 式展开的问题来解决.例3求(1 X X2)6展开式中X5的系数.c a

11、O00分析：(1 X X )不是二项式，我们可以通过1 X X (1 x) X或1 (x X )把它看成二项式 展开.解：方法一：(1X6X )(16x) X其中含X5的项为c!x5 6C3x515C4x5 6x5 .含X5项的系数为6.方法二：(1 XX2)61 (x6x )其中含X5的项为20(3)x5 15(4)x5 6x5 6x55- X项的系数为6.方法3:本题还可通过把（12 6 2X X ）看成6个1 X X相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到.555个因式中取X，一个取1得到C6X .3个因式中取X，一个取2X，两个取1得到1个因式中取X，两个

12、取2X，三个取1得到合并同类项为(c6 c6c3c6c5)x56x5X5项的系数为6 .C3 c3x3 ( X2).e6 c5x ( X2)2.求证:(1)1 2Cn 2CnnCn2n1 ;(2)分析:011Cn -Cn2二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等3en(2n1 1).n 1式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来,从而使用二项式系数性质C0Cn C2en 2n.解:（ 1）kenkk!(nn!n!k)! (k1)!(nk)!(n 1)! nCk1(k 1)!(nk)! n 1左边

13、 nC00 1nCn 1nen1n(C0Cn 1Cn 1)n 1,n 2 右边.(2)- kn!n!k 1 k!( n k)!(k 1)!( nk)!(n1)!(k 1)!( nk)!en左边“ Cn 1 n 1 丄（Cn n 1Cn 1)_Cn1Cn1nF1）右边.说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些 组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 可以看下面的例子：但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察,我们例 5：求 29c1028c9o 27c8。2C0 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1102）的展开式接近，但要注

14、意:从而可以得到:210 2C1028c90 2 9c10 2(3101).分析：64是8的平方，问题相当于证明32n 28n 9是8的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n 29n 1(8 1)n 1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来.解： 32n 2 8n 9(8n 1 Cn 1 8n 2n 1Cn 1) 64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以 一个数的余数.53展开2x 22x2分析1：用二项式定理展开式.5解法1： 2x 爲2x2分析2:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.解法2： 2x 22

15、x(4x3 3)532 x1032x5 120x2180135405x4 8x724332 X10 .说明：记准、记熟二项式(ab)n的展开式,是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将(Xy z)10展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为()A. 11B. 33C. 55D. 66分析：(Xz)10看作二项式(Xy) z10 展开.解：我们把y z看成(xy)Z，按二项式展开，共有 11 “项”，即1010(x y z)(X y)Z10C10( xk 0、10 k ky) z这时，由于“和”中各项z的指数各不相同,因此再将各个二项式(x y)10 k展开,不同的乘积Gk)(x y)100,1,10)展开后，都不会岀现同类项.kF面，再分别考虑每一个乘积C10 (x10y)k kz ( k 0,1, 10).其中每一个乘积展开后的项数由(x10 k、/y) 决定,的指数都不相同，也不会岀现同类项.66，而且各项中x和y故原式展开后的总项数为