四面体外接球的球心、半径求法

1、四面体外接球的球心、半径求法1、 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即： 所以球的表面积为2、 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解：且，, 因为 所以知所以 所以可

2、得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。3、 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知 解得 所以半径为【结论】：空间两点间距离公式：4、 四面体是正四面体 图1处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感

3、到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为正四面体的表面积正四面体的体积， 在中，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长

4、与半径之间的关系。例2设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.图2解：平面，由此，面面.记是的中点，从而.平面，设球是与平面、平面、平面都相切的球.如图2，得截面图及内切圆不妨设平面，于是是的内心.设球的半径为，则，设,.,当且仅当，即时，等号成立.当时，满足条件的球最大半径为. 练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。（答案为：）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。图3图4图5二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱

5、长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例3.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.解：由已知可得、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线 练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）4构造直三角形，巧解正

6、棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得， ，练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关

7、系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。平面向量重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、等表示；平面向量的坐标表示：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，。；若，则，3.零向量、单位向量：长度为0的向量叫零向量，记为； 长度为1个单位长

8、度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.向量、平行，记作.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6向量的基本运算（1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2 ) a-b=(x1-x2,y1-y2) (2) 平面向量的数量积 ： ab=cos设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2（3）两个向量平行的充要条件

9、= 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 x1y2-x2y1=0（4）两个非零向量垂直的充要条件是 =0设 =(x1,y1)， =(x2,y2)，则 x1x2+y1y2=0.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即： -= + (-)；差向量的意义： = , =, 则=- 平面向量的坐标运算：若，则，。向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)7实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；cos2x，则x的取值范围是（ ）A.x

10、|2kx2k+，kZ B.x|2k+x2k+，kZC.x|kxk+，kZ D.x|k+xk+，kZ18.答案：D解析一：由已知可得cos2x=cos2xsin2x0，所以2k+2x2k+，kZ.解得k+xk+，kZ（注：此题也可用降幂公式转化为cos2xcos2x得sin2x1sin2x，sin2x.因此有sinx或sinx.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k+x2k+或2k+x2k+（kZ），2k+x2k+可写作（2k+1）+x（2k+1）+，2k为偶数，2k+1为奇数，不等式的解可以写作n+xcotB.tancos D.sincos23.答案：A图413解法一：因为为第二象限角，则2k2k

11、（kZ），即为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图413，所以tancot.解法二：由已知得：2k2k，kk，k为奇数时，2n2n（nZ）；k为偶数时，2n2n（nZ），都有tancot，选A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinx（01在区间0，上的最大值是，则 .24.答案： 解析：01 T2 f（x）在0，区间上为单调递增函数f（x）maxf（）即2sin 又01 解得25.（2002北京文，13）sin，cos，tan从小到大的顺序是 .25.答案：cossintan 解析：cos0，tantan 0x

12、时，tanxxsinx0 tansin0 tansincos26.（1997全国，18）的值为_.26.答案：2解析：.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.（1996全国，18）tan20+tan40+tan20tan40的值是_.27.答案： 解析：tan60=，tan20+tan40=tan20tan40，tan20+tan40+tan20tan40=.28.（1995全国理，18）函数ysin（x）cosx的最小值是 .28.答案： 解析：ysin（x）cosxsin（2x）sinsin（2x）当sin（2x）1时，函数有最小值，y最小（1）.评

13、述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.29.（1995上海，17）函数ysincos在（2，2）内的递增区间是 .29.答案： 解析：ysincossin（），当2k2k（kZ）时，函数递增，此时4kx4k（kZ），只有k0时，（2，2）.30.（1994全国，18）已知sincos，（0，），则cot的值是 .30.答案：解法一：设法求出sin和cos，cot便可求了，为此先求出sincos的值.图414将已知等式两边平方得12sincos变形得12sincos2，即（sincos）2又sincos，（0，）则，如图414所以sincos，于是sin，cos，cot.解法二：

14、将已知等式平方变形得sincos，又（0，），有cos0sin，且cos、sin是二次方程x2x0的两个根，故有cos，sin，得cot.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.31.（2000全国理，17）已知函数ycos2xsinxcosx1，xR.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?31.解：（1）ycos2xsinxcosx1（2cos2x1）（2sinxcosx）1cos2xsin2x（cos2xsinsin2xcos）sin（2x）y取得最大值必须且只需2x2k，kZ，

15、即xk，kZ.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|xk，kZ.（2）将函数ysinx依次进行如下变换：把函数ysinx的图象向左平移，得到函数ysin（x）的图象；把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数ysin（2x）的图象；把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysin（2x）的图象；把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数ysin（2x）的图象；综上得到函数ycos2xsinxcosx1的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.（2000全国文，17）已知函数ysinxco

16、sx，xR.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?32.解：（1）ysinxcosx2（sinxcoscosxsin）2sin（x），xRy取得最大值必须且只需x2k，kZ，即x2k，kZ.所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|x2k，kZ（2）变换的步骤是：把函数ysinx的图象向左平移，得到函数ysin（x）的图象；令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y2sin（x）的图象；经过这样的变换就得到函数ysinxcosx的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用

17、三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.（1995全国理，22）求sin220cos250sin20cos50的值.33.解：原式（1cos40）（1cos100）（sin70sin30）1（cos100cos40）sin70sin70sin30sin70sin70sin70.评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.（1994上海，21）已知sin，（，），tan（），求tan（2）的值.34.解：由题设sin，（，），可知cos，tan又因tan（），tan，所以tan2tan（2）35.（1994全国理，22）已知函数f（x）=tanx，x（0，），若x1、x2（0，），且x1x2，

18、证明f（x1）f（x2）f（）.35.证明：tanx1tanx2因为x1，x2（0，），x1x2，所以2sin（x1x2）0，cosx1cosx20，且0cos（x1x2）1，从而有0cos（x1x2）cos（x1x2）1cos（x1x2），由此得tanx1tanx2，所以（tanx1tanx2）tan 即f（x1）f（x2）f（）.36.已知函数求它的定义域和值域； 求它的单调区间； 判断它的奇偶性； 判断它的周期性.解（1）x必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及，kZ 函数定义域为，kZ 当x时， 函数值域为）（3）定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,不具备奇偶性（4） f(x+2)=f(x) 函数f(x)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以、象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号37. 求函数f (x)=的单调递增区间解：f (x)= 令,y=,t是x的增函数,又00,2kpt2kp+ (kZ),2kp2kp+