2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点14导数与函数的极值、最值

1、考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点 x0 及附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f(x)f(x0 )，就说 f(x0) 是函数的极大值， x0 叫做函数的极大值点 如果对 x0 附近的所有的点， 都有 f(x) f(x0 )，就说 f( x0)是函数的极小值，x0 叫做函数的极小值点极大值与极小值统称为函数的极值极大值点与极小值点统称为极值点注意： 可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，即f(x)00 是可导函数f(x)在 xx0 处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3 在x 0 处有y0，但x0 不是极

2、值点2判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x) 在点x 处连续时，若0x 满足0f(x) 0，且在0x 的两侧0f(x)的导数值异号，则x0是 f(x)的极值点， f(x0 )是极值如果在 x0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0 ，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f(x)0 ，那么 f(x0)是极小值3求可导函数f( x)的极值的步骤(1) 确定函数的定义域，求导数f(x)；(2) 求方程 f (x) 0 的根；(3) 检查 f(x)在 x0 两侧的符号若 f(x)在 x0两侧的符号“左正右负”，则x0 为极大值点；若 f(x)在 x0两侧的符号“左负右正

3、”，则x0 为极小值点；若 f(x)在 x0两侧的符号相同，则 x0 不是极值点4函数的最值在闭区间 a， b 上连续的函数f( x)在 a， b 上必有最大值与最小值(1) 若函数 f(x)在 a，b上单调递增， 则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f( x)在 a， b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(2) 设函数 f(x)在 a， b上连续，在 (a， b)内可导，求 f(x)在 a， b 上的最大值和最小值的步骤如下：求 f( x)在 (a， b)内的极值；将 f( x)的各极值与 f(a)， f(b)进行比较，其中最大的一个是最

4、大值，最小的一个是最小值5函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念函数的极值表示函数在某一点附近的情况， 是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值典例剖析题型一利用导数求函数的极值x3 2x2例 1已知函数f(x)ex .求 f(x)的极大值和极小值 x(x2 5x 4) x(x 1)(x 4)解析 函数 f(x)的定义域为 R， f(x)exex，当 x 变化时， f(x)、 f(x)的符号变化情况如下：xx0x 00x1x 11x4f(x)000f(x)极大

5、值极小值极大值321f(x)的极大值为 f(0) 0 和 f(4) 4 ， f(x)的极小值为f(1) .exee变式训练设 f(x)2，其中 a 为正实数1 ax4(1) 当 a3时，求 f(x)的极值点；(2) 若 f(x)为 R 上的单调函数，求a 的取值范围x1 ax22ax解析对 f(x)求导得 f (x) e 1 ax22 .(1) 当 a4时，若 f (x) 0，则 4x2 8x 30， 331解得 x1 ， x2.结合，可知22x ，111，33322222， 2f(x)00f(x)极大值极小值所以3x1 2是极小值点，1x2 2是极大值点(2) 若f(x)为R上的单调函数，则

6、f(x)在 R上不变号，结合与条件a0，知ax2 2ax 10在R上恒成立，即 4a2 4a4a(a 1) 0，由此并结合a0，知0a1所.以a 的取值范围为 a|0a1题型二利用极值求参数例 2设 f(x) ln(1 x)x ax2，若 f(x)在 x 1 处取得极值，则a 的值为 _答案14解析由题意知， f(x)的定义域为 (1， )，且 f(x)1 2ax 1 2ax2 2a 1 x，1 x1x由题意得： f(1) 0，则 2a 2a 10，得 a 1，41211x x 1x x又当 a 1时， f(x) 222，41 x1 x当 0x1 时， f (x)1 时， f(x)0，所以 f

7、(1) 是函数 f(x)的极小值，所以1a .4变式训练已知 x 3 是函数 f(x) aln x x210x 的一个极值点，则实数a _答案12解析f(x) a 2x 10，由 f (3) a 6 10 0，得 a 12，经检验满足条件x3题型三利用导数求函数的最值例 3设函数 f(x) x ax2 bln x，曲线 y f(x)过 P(1,0)，且在 P 点处的切线斜率为 2.(1) 求 a，b 的值；(2) 令 g(x) f(x) 2x 2，求 g(x)在定义域上的最值答案 (1) a 1， b 3 (2) 最大值为 0，无最小值b解析(1) f(x) 1 2ax (x0) ，又 f(x

8、)过点P(1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，f 1 0，1 a 0，即解得a 1， b 3.f1 2，12a b2.(2) 由 (1)知， f(x)x x2 3lnx，其定义域为 (0， )，g(x) 2 x x2 3lnx， x0.则 g (x) 1 2x 3 x 1 2x 3 .xx当 0x0 ；当 x1 时， g(x)0 时，求函数 f( x)在 1,2 上的最小值解析(1)f(x) 1x a (x0)，当 a 0 时， f(x) 1 a0，即函数f(x)的单调增区间为(0 ， )x当 a0 时，令 f(x) 1x a 0，可得 x 1a，当 0x0；ax当 x1时， f(x) 1a

9、x0，ax故函数 f(x) 的单调递增区间为0，1 ，单调递减区间为1， .aa(2) 当1 1，即 a 1 时，函数 f(x)在区间 1,2 上是减函数，所以f( x)的最小值是f(2) ln 2a2a.当 1 2，即 0 a1时，函数 f(x)在区间 1,2 上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1) a.a21111当 1a2，即 2a1 时，函数 f(x)在 1， a 上是增函数， 在 a， 2 上是减函数 又 f(2) f(1)ln 2 a，所以当1时，最小值是f(1) a；aln 22当 ln 2 a1 时，最小值为f(2) ln 2 2a.综上可知，当 0aln 2 时，函数 f

10、(x) 的最小值是 a；当 a ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2 2a.解题要点求函数 f(x)在 a， b 上的最大值和最小值的步骤：(1) 求函数在 (a， b)内的极值；(2) 求函数在区间端点处的函数值f(a)， f(b)；(3) 将函数 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值当堂练习1已知函数y f(x)，其导函数y f(x)的图象如图所示，则y f( x) _.在 (， 0)上为减函数在 x 0 处取极小值在 (4， )上为减函数在 x 2 处取极大值答案解析由 f(x)的图象可知， f(x)在 (， 0)上单调递增

11、，在 (0,2) 上单调递减， f(x)在 x 0处取得极大值，同理 f(x)在 x 2 处取得极小值，故，均不正确，由 f (x)的图象可知 f( x)在 (4， )上单调递减2函数 f(x)( x21) 2 2 的极值点是 _.x 1 x 1 x 1 或 1 或 0 x 0答案解析 f(x) x4 2x2 3，由 f(x) 4x3 4x 4x(x 1)(x 1) 0，得 x 0 或 x 1 或 x 1.又当 x 1 时， f(x)0，当 1x0，当 0x1 时， f(x)1 时， f(x)0 ，x 0,1， 1都是 f(x) 的极值点3. 若函数 y ax3 bx2 取得极大值和极小值时的

12、x 的值分别为0 和1，则 a 与 b 的关系是3_.答案a 2b 0解析y 3ax2 2bx，据题意， 0， 1是方程 3ax2 2bx0 的两根，3 2b 1， a 2b0.3a3x4函数 f(x)ex， x 0,4 的最大值是 _.答案1ex2 a在 x1 处取极值，则 a _.5若函数 f(x) x1答案3x2 2x a解析f(x)x 12 ，由 f(x) 在 x 1 处取得极值知f(1) 0， a3.课后作业一、 填空题31函数 f(x)x x23x 4 在 0， 2上的最小值是_3答案 173解析f(x) x2 2x 3，令 f(x) 0，得 x 1(x 3 舍去 )，又 f(0)

13、 4， f(1) 17， f(2) 10，33故 f(x)在 0， 2上的最小值是f(1) 173 .2函数 f(x)x33x2 6x 的极值点的个数是 _2答案2解析f(x) 3x2 3x 6 3(x2 x 2) 3(x 2)(x 1)令 f(x) 0，得 x 1 或 x2.易知 x 1 为 f(x)的极大值点， x 2 为 f(x)的极小值点故 f(x)的极值点有2 个3函数 f(x)12x x3 在区间 3,3 上的最小值是 _答案 16解析由 f(x) 12 3x2 0，得 x 2 或 x 2.又 f( 3) 9， f( 2) 16，f(2) 16， f(3) 9，函数 f(x) 在

14、3,3上的最小值为 16.4 f(x) ex x(e 为自然对数的底数 )在区间 1,1 上的最大值是 _答案 e 1解析f(x) ex1，令 f(x) 0，得 x0.令 f(x)0 ，得 x0，令 f(x)0 ，得 x0，则函数f( x) 11在( 1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， f( 1) e 1， f(1) e 1， f( 1) f(1) e 2 e1 2 e f( 1). 25若商品的年利润 y(万元 )与年产量 x( 百万件 )的函数关系式为y x3 27x 123(x0)，则获得最大利润时的年产量为 _答案3 百万件解析依题意得， y 3x2 27 3(x 3)(x

15、3)，当 0x0；当 x3 时， y0因.此，当 x 3 时，该商品的年利润最大6已知函数 f(x) x3 ax2 bxa2 7a 在 x 1 处取得极大值10，则 a的值为 _b答案 23由题意知， f(x) 3x2 2ax b，f(1) 0，f(1) 10，即3 2a b 0解析，解得1 a ba2 7a 10a 2a 6a 6或，经检验满足题意，故 a2.b 1b 9b 9b37设函数f(x)在 R 上可导，其导函数为f(x)，且函数y (1 x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_ (填序号 )函数 f(x) 有极大值f(2)和极小值 f(1)函数 f(x) 有极大值f(

16、 2)和极小值 f(1)函数 f(x) 有极大值f(2)和极小值 f( 2)函数 f(x) 有极大值 f( 2)和极小值 f(2)答案解析由题图可知，当 x0 ；当 2x1 时， f (x)0；当 1x2 时， f(x)2 时， f(x)0. 由此可以得到函数 f(x)在 x 2 处取得极大值，在x2 处取得极小值8已知 f(x) 2x3 6x2m(m 为常数 )在 2,2上有最大值3，那么此函数在 2,2 上的最小值是 _答案 37解析f(x) 6x2 12x6x(x 2)， f(x)在 ( 2,0)上单调递增，在 (0,2)上单调递减 x 0 为极大值点，也为最大值点 f(0) m 3，

17、m3. f( 2) 37， f(2) 5.最小值是 37.9函数 f(x)x3+ x2 x+2 在 0,2 上的最小值是 _答案4927解析f(x) 3x311)49， f(2) 12.可知+2x 1， f(x) 0， x 0,2 ，得 x .比较 f(0) 2， f(273349最小值为 27.10某商场从生产厂家以每件20 元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量 Q( 单位：件) 与零售价p( 单位：元 )有如下关系： Q 8 300 170p p2 ，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_ 答案30 23 000解析设商场销售该商品所获利润为y 元，则232，y(p20

18、)Q (p 20)(8 300 170p p ) p 150p 11 700p 166 000(p 20) y 3p2 300p11 700.令 y0 得 p2 100p 3 9000，p 30 或 p 130(舍去 )，则 p， y， y变化关系如下表：当 p 30 时， y 取极大值为23 000 元又 y p3 150p2 11 700p 166 000 在 (20， )上只有一个极值，故也是最值该商品零售价定为每件 30 元，所获利润最大为23 000 元11若 y alnx bx2 x 在 x 1 和 x2 处有极值，则a_， b _.21答案 3 6解析 y a 2bx 1.xa2b 1 0，a23，由已知 a解得1.2 4b1 0，b6二、解答题212 （ 2015 北京文节选）设函数f(x) x kln x， k0.求 f( x)的单调区间和极值2解析函数的定义域为 (0， )由 f(x) x2 kln x(k0) 得2k x2 k f(x) xx x .由 f(x) 0 解得 x k(负值舍去 )f(x)与 f(x)在区间 (0， )上的变化情况如下表：x(0 ， k)k( k， )f(x)0f(x)k 1 ln k2所以， f(x)的单调递减区间是(0