理论力学第八章虚位移原理与能量法

1、从运动中考察系统平衡，建立理想约束模型，引入虚位移，由主动力在虚位移上的虚功关系，给出平衡条件；与达朗贝尔原理结合，构成分析动力学基础。 理想约束力不出现,平衡条件必要且充分。,第八章 虚位移原理与能量法,1. 对可变系，平衡条件非充分 2. 对物系，求解未知约束力多,虚位移原理的优越:,分析力学两个基本原理之一 分析静力学基础，也是分析动力学基础。,几何静力学的局限,8-1 约束与位形,8-1-1 约束及其分类,8-1-2 质点系的位形,8-1-1 约束及其分类,约束条件的数学表达式。,事先限制质点或质点系位置和运动的条件。,1. 约束与约束方程,约束:,约束方程:,8-1 约束与位形,按约

2、束方程不同分类。,(1)定常与非定常(稳定与非稳定),(2)双面与单面约束,约束方程显含时间t,约束方程不显含时间t,约束方程为等式。,约束方程为不等式。,定常:,非定常:,双面:,单面:,2. 约束分类:,8-1-1 约束及其分类,8-1 约束与位形,约束方程不包含质点速度，或包含速度但是可 积分的约束，称为完整约束。,包含质点速度且不可积分成完整约束的，称为 非完整约束。,(3)完整与非完整约束,8-1-1 约束及其分类,8-1 约束与位形,积分后 为完整约束。,如圆轮纯滚,约束方程为:,8-1 约束与位形,8-1-1 约束及其分类,8-1-2 质点系的位形,1.自由度k,设n个质点，受m

3、个完整约束和l个非完整约束。,k =3n-m-l,空间刚体系,k =6n-s, s =m+l,平面机构,k =3n-s,1. k=?,k=2n-s,k=3n-s=34-(25+1)=1,k=35-(26+2)=1,=23-5=1,确定系统位置的独立参数数目。,8-1 约束与位形,完全确定系统位置的最少参数，可以是长度，角度，面积等。个数为。,完整约束系统,非完整约束系统,2. 滚动圆轮，滚动圆球，行驶自行车各有几个 自由度?,2.广义坐标,广义坐标相互独立；,广义坐标相互不独立。,8-1 约束与位形,8-1-2 质点系的位形,广义坐标:,广义坐标:,8-1-2 质点系的位形,8-1 约束与位形

4、,例如双摆:,可选 吗?,广义坐标:,均否! 不能完全确定系统位置!,8-1 约束与位形,8-1-2 质点系的位形,n = 2 m = 1 k = = 3,n = 2 m= 3 k = = 1, = 3 l = 1 k = 2,确定下列系统自由度并选择广义坐标。,8-1 约束与位形,8-1-2 质点系的位形,(1)直角坐标形式:,3.质点系的位形描述(n个质点):,(2)广义坐标形式:,一个点与一个位形对应。,利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足。,8-1 约束与位形,维位形空间:,3n 个直角坐标，,个最少参数，,8-1-2 质点系的位形,8-2-1 虚位移,8-2 虚位移与虚位移原理

5、,8-2-2 虚功与理想约束,8-2-3 虚位移原理,8-2-1 虚位移,质点在微小时间间隔内实际发生的位移。 (与受力、控制方程与初始条件相关),位置函数的微分。,n个质点的完整约束系统，k自由度，选广义坐标,1. 实位移,一组实位移,一组广义实位移,8-2 虚位移与虚位移原理,位置函数的变分。,与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和 运动初始条件无关的，不需经历时间的假想的微小位移。 (具有独立性，选择性),质点在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移。 (与受力、控制方程与初始条件无关),一组广义虚位移,2. 虚位移,一组虚位移,8-2 虚位移与虚位移原理,8-2-1 虚位移,计算各

6、点的虚位移，确定各虚位移的关系。 常用几何法与解析法。,3 .虚位移计算,定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。,(多种形式),8-2-1 虚位移,8-2 虚位移与虚位移原理,1. 确定图示机构中A，B两点虚位移关系。,用求实位移的方法，而实位移与速度成正比，故可 用类似速度分析的方法确定各点的虚位移的关系。,若给相反方向虚位移，结果如何?,1)几何法:,亦可,8-2 虚位移与虚位移原理,8-2-1 虚位移,几何法直观，解析法易求。,求变分:,k1 选 为广义坐标,2. 解析法:,可见:,8-2 虚位移与虚位移原理,8-2-1 虚位移,2. 求图示机构中，A,D两点虚位移关系。,若设 反向，

7、 方向如何?,8-2 虚位移与虚位移原理,8-2-1 虚位移,2.理想约束,8-2-2 虚功与理想约束,虚位移具有假想性、任意性，与受力无关。,作用力在虚位移上所作的功,如光滑面，光滑铰，刚性杆，不可伸长的柔索等。,其约束力的虚功之和为零。,满足,1.虚功,8-2 虚位移与虚位移原理,8-2-3 虚位移原理,独立于牛顿定律的又一基本原理， 不需证明。 也不能证明(目前)。 由虚位移原理可导出牛顿定律与刚体平衡条件。,具有双面、 理想约束的质点系，在某一位形保 持静止平衡的充要条件是：作用于该质系的主动力在该位置的任何一组虚位移上所作的虚功之和等于零，即,虚位移原理:,虚功方程,或,8-2 虚位

8、移与虚位移原理, 适用于任意约束质点系，包括刚体与变形体， 但对变形体需计入内力虚功。,针对静止平衡系统。, 平衡的充要条件。(几何静力学对变形体非充分),8-2 虚位移与虚位移原理,8-2-3 虚位移原理,给定虚位移，求力的平衡关系； 给定主动力系，求平衡位置或位移； 求约束力与内力。,本章针对刚体与简单变形体。,应用:,力状态与虚位移状态相互独立(无因果关系),8-2-3 虚位移原理,8-2 虚位移与虚位移原理,1.解题步骤:,给定系统虚位移或受力状态。,首要条件:,系统须可动(至少1个自由度);不可动时，解除部分约束，代以相应的约束力，并视约束力为主动力，进行求解。,3) 列虚功方程求解

9、。,2) 求各力作用点虚位移关系。,8-3 虚功方程应用于刚体系统,(内力虚功为零),第八章 虚位移原理与能量法,1. 图示滑块连杆机构，已知OAr，力偶矩M， 求平衡时力F与M之大小关系。,8-3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,给OA ， 各点虚位移如图:,(AB瞬时平移),(a),8-3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,将(a)式代入，得,由,单自由度系统，给定某点虚位移后，其它各点虚位移由约束确定。,题型特点:,已知虚位移，求主动力平衡关系。,用几何法求虚位移关系:,定常约束下与速度关系相同。,8-3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与

10、能量法,若给相反方向虚位移，结果相同吗？,2.图示机构中，杆长O1A=O3C=O3D=l，套筒C可在O2C杆上滑动，图示位置O1A铅直，杆CD、AB水平，O2B=BC。求力F与力偶矩M的平衡关系。,8-3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,给虚位移如图(b)。,由运动关系:,又,且,而,第八章 虚位移原理与能量法,8-3 虚功方程应用于刚体系统,为所求。,8-3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,3. 如图所示，4根等长均质杆铰联悬挂于重力场中，每杆重量为G，长为l，试求平衡时杆的水平倾角 与 之间的关系。,完整系统k=2，两组对称杆重心竖向坐标分别为,8-

11、3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,(a),给对称虚位移:,第八章 虚位移原理与能量法,(c),将式(a)，(b)代入式(c)得,8-3 虚功方程应用于刚体系统,当主动力与坐标轴平行时，用解析法求虚位移关系较方便，应注意: (a) y与 正方向一致; (b) 定常约束下，变分运算与微分运算相同。,题型特点:已知主动力，求该系统平衡位置。,系统自由度为2，约束允许图示对称虚位移。,第八章 虚位移原理与能量法,8-3 虚功方程应用于刚体系统,8-3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,取为广义坐标,故,由,第八章 虚位移原理与能量法,8-3 虚功方程应用于刚体系

12、统,5. 求图示结构固定端C处的约束力偶矩。,已知力偶矩M，力F1和F2， OAl，ABBC2a，BDDC，=30, =60, OAB=90,第八章 虚位移原理与能量法,解除C端转动约束，代以MC，视为主动力。,8-3 虚功方程应用于刚体系统,代入虚位移关系，得,由,又,第八章 虚位移原理与能量法,8-3 虚功方程应用于刚体系统,给，则rB=2a rD=a,先解除一个约束，代以相应约束力，视该约束力为主动力。,求静定结构约束力。,题型特点:,如何求FCx, FCy ?,8-3 虚功方程应用于刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,1. 求FCx,第八章 虚位移原理与能量法,8-3 虚功方程应用于

13、刚体系统,第八章 虚位移原理与能量法,2. 求FCy,若同时解除C端3个约束，如何求解?,再思考:,8-3 虚功方程应用于刚体系统,如何求图示结构中支座D的水平约束力?,由WF=0，有,如何求FDy ?,而,代入上式，得,再思考:,第八章 虚位移原理与能量法,8-3 虚功方程应用于刚体系统,8-4 虚功方程应用于变形系统,(内力虚功不为零),8-4-1 虚功方程用于变形体的形式,卡氏定理与莫尔定理,8-4-2 虚变形能的计算,8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,虚功方程应用于变形体系时，内力虚功一般不为零。,8-4-1 虚功方程用于变形体的形式,即 外力虚功等于虚变形能。,这就是用于变形体的虚功方

14、程形式。,则有,令 为变形体的虚变形能。,式中 为外力虚功， 为内力虚功。,质点系的虚功方程可写为,8-4 虚功方程应用于变形系统,8-4-2 虚变形能的计算,弹性变形能 V 也可表示为各力作用点位移i的函数,图示变形体受约束无刚体位移，在力系 作用下，各力作用点位移为 ，在缓慢加载下，外力系 作功转化为变形体的变形能。弹性变形能V 可表示为各 外力的函数。,则,则,8-4 虚功方程应用于变形系统,1. 卡氏定理,给定图示虚位移,a) 卡氏第一定理,8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,变形体力学中的卡氏定理与莫尔定理等能量原理容易由用于变形体的虚功方程导出。,8-4 虚功方程应用于变形系统,故,系

15、统应变能对某一真实位移的偏导数，在数值上等于这一真实位移处所施加的相应外力。,卡氏第一定理:,8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,8-4 虚功方程应用于变形系统,由 及 有,b) 卡氏第二定理,由 有,给虚力状态 如图 (仅Fi0),故,弹性系统的应变能对于某一个力Fi的偏导数等于与该力相应的位移。导数为正时，i与力方向一致;为负时，方向相反。,卡氏第二定理:,8-4 虚功方程应用于变形系统,8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,Fi可以是一对力、,一力偶、,一对力偶，,称为广义力。,给定图示虚力状态: Fi=1,其余 力为零。真实状态为虚位移。,2. 莫尔定理,由 ， 有,故,(求相对线位移),(求转

16、角),(求相对转角),(广义位移),8-4 虚功方程应用于变形系统,8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,系统沿某力Fi方向的位移等于由相应单位力引起的内力在真实变形中引起的虚变形能。,应用虚功方程还可导出功和位移的互等定理。,莫尔定理:,(各种构件变形能的计算将在材料力学介绍。),8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,8-4 虚功方程应用于变形系统,6. 如图所示,两根弹性杆的 刚度系数分别为 ,在连接处O 悬挂重量为G的重物,试求O点的 水平位移与竖直位移。,1) 用莫尔定理求解。 求水平位移时，虚设图(b)力状态，内力如图； 将真实变形图(a)作为虚位移，且,由 ，有,故,8-4-3 卡氏定理与莫尔

17、定理,8-4 虚功方程应用于变形系统,求竖向位移时，虚设 图(c)所示单位竖向力状态，,同理可得,8-4 虚功方程应用于变形系统,8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,系统变形能,2) 用卡氏定理求位移,如何用卡氏定理求 ?,8-4 虚功方程应用于变形系统,8-4-3 卡氏定理与莫尔定理,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,8-5-1 势力场中的虚功方程,8-5-2 势力场中平衡的稳定性,有,即 势力场中的虚功方程。,代入虚功方程,且,即对于保守系统，质点系平衡于势能取驻值状态。,第八章 虚位移原理与能量法,弹性力学中瑞利里兹法，就是基于这一方程。,8-5-1 势力场中的虚功方程,7.图示结构中

18、，4杆及弹簧原长均为l，弹簧刚度为k, 求平衡时力F与之关系。,取不受力时，滑块A位置为力F零势能位置；取弹簧原长l为弹性势能零位置。则图示位置时,由 得,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,8-5-1 势力场中的虚功方程,由 ，有,计入弹簧内力虚功，,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,8-5-1 势力场中的虚功方程,8-5-2 势力场中平衡的稳定性,单自由度系统 :,(多元函数极值判别法!),例如:,时，,最小势能原理,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,拐点,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,8-5-2 势力场中平衡的稳定性,取弹簧原长为零势能状态， 过B的水平面为重力

19、势能零势面， 则任意 位置时系统势能:,由 ，有,8-5-2 势力场中平衡的稳定性,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,可知,再由,为不稳定平衡位置;,为稳定平衡位置。,故,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,8-5-2 势力场中平衡的稳定性,1. 图示椭圆规机构，连杆AB长 l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。,研究整个机构，系统的所有 约束都是完整、定常、理想的。,补充题,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,8-5-2 势力场中平衡的稳定性,1) 几何法,因,而,故,8-5 势力场中的虚功方程与平衡稳定性,8-5-2 势力场中平衡