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1、高考导数文科考点总结一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。导数概念与运算知识清单1 .导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在X。处有增量 X,那么函数y相应地有增量y=f(x0+ X ) f(x0),yy f(x。 x)f(x。)比值 x叫做函数y=f fx)在x0到x0+ x之间的平均变化率，即x=x。_y如果当 x 0时，x有极限，我们就说函数y=f(x)在点X。处可导，并把这个极限叫做f ( x)在点x0处的导数，记作f (x0 )或yx/。yf(x。x) f(x。)lim l

2、im即 f (x0) = X 0 X = x 0xyy0时，X有极限。如果 x不存在极限，就说函0时，而 y是函数值的改变量，可以是零。说明：(1) 函数f (X)在点X0处可导，是指 X数在点X0处不可导，或说无导数。(2) X是自变量X在X 0处的改变量，X由导数的定义可知，求函数 y=f (X)在点X0处的导数的步骤(可由学生来归纳)：(1) 求函数的增量y=f (x0+ x )- f (x0 )；y f(xx) f(x)(2) 求平均变化率 x =x;.ylim(3) 取极限，得导数f (X)= x 0 x。2 导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (

3、x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜 率。也就是说，曲线 y=f (x)在点p (x0, f (x0)处的切线的斜率是 f (x0)。相应地，切线方程为 y y0=f/ (x0) (x-x0 )。3 几种常见函数的导数nC ；Xnx(sin x) cosx .(cosx)(ex) ex;(ax)axlna.In xx； lOgax-logae x4 两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：（U V） u v.法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个III函数乘以第二个函数的导数，即：（

4、uv）uv uv .若C为常数，则（Cu） Cu Cu 0 Cu Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数II的导数：（Cu） Cu .法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除U uv uv2以分母的平方：v =v （ v 0）。形如y=f （x ）的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求导一一回代。法则：y| x = y / |U uz | X导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数 yf（x）在某个区间可导，如果f（X）0，则f（x）为增函数；I如果f（X），则f（x）为减函数；I如果在某区间内恒有f（X），则f（x）为常数；2 极

5、点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3 .最值：一般地，在区间a, b上连续的函数f（x）在a, b上必有最大值与最小值。 求函数？ （x）在（a, b）内的极值； 求函数？（X）在区间端点的值？ （a）、？（b）; 将函数？ (X)的各极值与？(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1. f(x) / 3x?2在区间1,1上的最大值是222已知函数y f(x) x(x c)在x 2处有极大值，则常数 c=

6、633 函数y 1 3x x有极小值i ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程3A Q1 曲线y 4x x在点 1 3处的切线方程是y X 243x y 0，则p点的坐标为(1, 0)43若曲线y x的一条切线|与直线x 4y4 .求下列直线的方程：32“(1)曲线y X X 1在p(-1,1)处的切线； 解：(1)点P( 1,1)在曲线 y x3 x2 1上，y/80垂直，则I的方程为4x y 302(2)曲线y x过点p,5)的切线；3x2 2x k y/ x 1 3- 2 12 若曲线f(x) x x在p点处的切线平行于直线第7页共12页所以切线方程为y 1 x 1 , 即x y

7、 2 0y/ 2x2(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为 A(x0，y0)，则y0 X。又函数的导数为所以过A(X0，y0)点的切线的斜率为k y |x X。2X0 ,又切线过A(X0，y0)、p(3,5)点，所以有2x0X01 或x5X03，由联立方程组得，y01y025，即切点为(1，1)时，切线斜率为k1 2X0 2;；当切点为(5, 25)时，切线斜率为k2 2X0 10 ；所以所求的切线有两条，方程分别为 y 12(x1)或y 2510(x 5),即y 2x 1 或y 10x25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值321已知函数f(x) X ax bx c,过曲

8、线x f (X)上的点P(1, f(1)的切线方程为y=3x+1(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数 y f(x)在3, 1上的最大值；(川)若函数X f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解.(1 )由 f(X)x3 ax2 bx c,求导数得 f (x)3x2 2ax b.过y f(x)上点P(1,f)的切线方程为：y f (1) f (1)(x1),即 y (a b c 1)(3 2a b)(x 1).而过y f(x)上 P1, f的切线方程为y 3x 1.32ab 3即2a b 0故ac3a c 3/ yf (x)在 x

9、2时有极值,故f ( 2)0,4ab12由得a=2 ,b= 4, c=5f(x)3 x2x24x5.(2)f (x)3x24x4(3x2)(x2).3当x2时,f(x)0；当22x -时,f (x)30；当23x 1 时,f (x)0.f (x)极大f( 2)13又f(1)4,f(x)在3, 1上最大值是132(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又 f (x) 3x 2ax b，由知 2a+b=0。 依题意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) 0，即 3x2 bx b 0.xK71 时,f (x) minf (1) 3b b 0, b 6当6;x2时,f (x)minf ( 2)12

10、 2b b 0, b当6261 时,f ( x) min12b b20,则 0 b 6.当b12综上所述，参数b的取值范围是【，)322 .已知三次函数f(x)x ax bx c在x 1和x1时取极值，且f( 2)4(1)求函数yf (x)的表达式；求函数yf (x)的单调区间和极值;解:(1) f (x)3x2 2ax b2由题意得，1，1是3x 2ax b 0的两个根，解得，a 0, b 33再由f( 2)4可得c 2f (x)x3x2.(2)f (x) 3x233(x 1)(x1)当 x1 时，f (x)0 ；当 x 1 时，f(x)0 ；当 1 x 1 时，f (x)0 ；当 x 1

11、时，f (x) 0 ；当x 1时，f (x)0 .函数f(x)在区间(，1上是增函数;在区间hl上是减函数；在区间1，)上是增函数.函数f(x)的极大值是f( 1) 0，极小值是f(1) 3设函数 f(x) x(x a)(x b).(1) 若f(x)的图象与直线5x y 80相切,求实数a,b的值；(2) 当b=1时，试证明：不论 a取何实数，函数解:( 1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由题意f5,f (1) 0，代入上式，解之得：(2)当b=1时，令f (x) 得方程3x 2(a2因 4( a a 1)0,故方程有两个不同实根4 .切点横坐标为2,且 f(x)在x 1处取极值,f

12、(X)总有两个不同的极值点.a=1, b=1.1)x a 0.X1,X2第10页共12页不妨设x1 X2,由f (x) 3(x x1)(x X2)可判断f (x)的符号如下：当 X X1 时，f (x) 0；当 X1 X X2时，f (x) V0；当 X X2时，f (x) 0因此X1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的 极值点。题型四：利用导数研究函数的图象f ( X )的导函数,fD )(A)(B)(C)(D)y lx3 4x2 函数 31的图像为(A )题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 6 “A 4 7w0 2 -2-4f

13、(x)1 设函数1322x 2ax 3a x b,0 a 1. 3f(x)在a, 3a)上单调递增，在(-玄)和(3a, +8)上单调递减x a时，f极小(x)3a时,f极小(x) b(1)求函数f(x)的单调区间、极值(2)若当x a1,a2 x2时，恒有 I f (x)| a，试确定a的取值范围.a)，令 f (x)0得花 a,X2 3a解：(1)f (x)4ax 3a2=(x3a)(x列表如下：x(-8 ,a)a(a,3a)3a(3a, +8)f (x)-0 +0-f(x)极小Z极大2 2(2)f (X) x 4ax 3a - 0 a 1,.对称轴 x 2a a 1,f (x)在a+1

14、, a+2上单调递减(a 1)2 4a(a 1) 3a2 2a 1 仏2 2(a 2) 4a(a 2) 3a 4a 4即 |2a 1| a,|4a 4| a依题 I f (x) | a 1 fMax 1 a 1 f min 1 aa的取值范围是5,1)4 a 1解得5，又0 a 1题型六：利用导数研究方程的根1 2或kv 2时，方程f(t) k=0有且只有一解;当k= 2或k= 2时,方程f(t) k=0有两解;1 1 当一2 v kv 2时,方程f(t) k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合_ 、31设a ,函数f(x) Xax在1，)上是单调函数求实数a的取值范围；2 2解: (1)

15、y f (x) 3xa，若f(x)在1，上是单调递减函数，贝y须y，即a 3x，这样的实数a不存在.故f (x)在1，上不可能是单调递减函数.若f(x)在1，上是单调递增函数，则a 3x2,2由于x 1，故3x 3.从而aw 3.f(x) (x23)(x a)2 已知a为实数，函数2(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求 a的取值范围(2)若f( 1) , (I)求函数f(x)的单调区间(1),(第12页共12页(n)证明对任意的 X x2 ( 1,)，不等式I f (xjf(x2)| 16恒成立3x232ax2Q f(x) x3 ax2-x 3 a f (x)解：22,函数f(X

16、)的图象有与x轴平行的切线,f(x)有实数解4a2a292，所以a的取值范围是32U3、2)2 2f( 1) f (x),x2af(x)的单调递增区间是f(x)3x23(x12)(x 1)f(x)12, 1 x单调减区间为25易知f(x)的最大值为f( 1)8，f(x)的极小值为f(4916 ,27 又 f(0) TMf(x)在1，0上的最大值2749m -8，最小值16对任意x2( 1,0)，恒有|f(xj f(X2)| M2784916516题型八：导数在实际中的应用i 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:133x x

17、128000 808(0x 120).已知甲、乙两地相距 100千米。(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?100解：(I )当x 40时,汽车从甲地到乙地行驶了402.5小时,要耗没(1280003340 80 40 8) 25 175(升)。(II )当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升,依题意得(1 x31280003x808).型丄x2x 128080015 (0 x 120),4x h(x)面33800 x 80 2x640x2 (

18、0120).令 h(x)0,得 x80.当 x (0,80)时,h(x)0,h(x)是减函数;当 x (80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数。当x 80时，h(x)取到极小值h(80)九25.因为h(x)在(0，120上只有一个极值，所以它是最小值。第20页共12页答：当汽车以 40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型九：导数与向量的结合r 、3 1 r 1 .3 a (， ), b (，).s、t及实数k，使1 设平面向量222 2若存在不同时为零的两个实数2x a (t k

19、)b,y sa tb且xy,(1)求函数关系式 S f(t)；(2)若函数S f(t)在1,a (、31、to-),b解：(1)22ru r u0,得又xy,x?yr2 rrra(t2 k)b (satb)0,上是单调函数，求 k的取值范围。即 sat(t2I 22 r rk)b - (t stsk)a b 0。s (t2 k) t 0,故sf(t)t3 kt。则在人上有f (t)0或f(t)0由f0 3t2 k 0k3t2 k2(3t )mink 3 ；由f0 3t2 k 0k3t2。因为在t 1，上3t2是增函数，k,使k3t2 在 1,所以不存在围是k3。(2)f (t) 3t2 k且f

20、 (t)在1,上是单调函数,、选择题1. 一个物体的运动方程为上恒成立。故k的取值范S=1+t+tA2其中s的单位是米,t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()6米/秒 C 5米/秒 D2.已知函数f(x)=ax2+ c,且f (1)=2,则a的值为(A.1B. 2C.1D. 0f (x), g(x)满足 f(x) g(x),则3 f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f (x)与g(x)满足(A f (x)2g(x) B f (x) g(x)为常数函数Cf (x) g(x) 0D f (x) g(x)为常数函数4.函数y = x3 + x的递增区间是()A (,1) B (

21、1,1) C (,) D (1,)f(b) w 0,则函数 f(x)在(a, b )5.若函数f(x)在区间(a , b)内函数的导数为正，且内有()A. f(x) 0B.f(x) 0C.f(x) = 0D.无法确定9对于AR上可导的任意函数f(0)f(2) 2f (1)f(0) f(2) 2f(1)f (x)，若满足B f(0)D(x 1)f(x)0,则必有(f(2) 2f (1)f(0)f(2)2f(1)10.函数f (x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f (x)在开区间(a,b)内有极小值点( )A. 1个二、填空题B.2个C. 3个D. 4个11 .函数yx的单调区间为6. f (x0) =0是可导函数y=f(x)在点x=X0处有极值的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件7 曲线 f (x