平衡中的临界和极值问题

1、教学课题平衡中的临界和极值问题时间教学目标1、教学重点教学难点教学器材教学过程i教学随笔1、知识要点临界问题是指：当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理 现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态可理解成“恰好出 现”或“恰好不出现”.某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。 临界状态可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”，至于是“出现”还 是“不出现”，需视具体冋题而定。平衡冋题的临界状态是指物体的所处的平衡状态将要被破坏而尚 未被破坏的状态。这类问题称为临界问题。解临界问题的基本方法是 假设推理法。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小 值的情况。临界问

2、题往往是和极值问题联系在一起的。解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从 而找出临界条件或达到极值的条件。解此类问题要特别注意可能出现的多种情况。二、例题分析【例1】一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间 的动摩擦因数为卩。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持 静止，木板与水平地面间的夹角B不能超过多少？设最大静摩擦力等 于滑动摩擦力。【分析】这是一个斜面问题。当B增大时，重力沿斜面的分力增 大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界 状态。此时是B最大。【解答】依题意，mgsin 0 =卩 mgcosB tg 0 二卩0 arctg 卩说明：

3、tg 0 =卩是一重要临界条件。其意义是：tg 0 卩时，重力 沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力；tg 0 =卩时，重力沿斜面向下的分 力等于滑动摩擦力；tg 0 卩时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦 力； 、将物体静止置于斜面上，如tg 0，则物体保持静止；如 tg 0 卩，则物体不能保持静止，而加速下滑。 、将物体以一初速度置于斜面上，如tgv卩，则物体减速，最后 静止；如tg 9 =，则物体保持匀速运动；如tg 9 卩，则物体做加速运动。因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何 运动的一个条件。练习：如图，质量为m的三角形尖劈静止于斜面 上，上表面水平。今在其上表面加一竖直向下的力 F

4、则物体：A、保持静止；B 、向下匀速运动；C、向下加速运动；D、三种情况都要可能。【解答】A。【例2】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，/fl分别系着物体A和B,物体A放在倾角为a的斜B面上，已知物体a的质量为m物体b和斜面间扮/动摩擦因数为(卩tg 9)，滑轮的摩擦不计， 要使物体静止在斜面上，求物体 B质量的取值范围.【解析】以B为研究对象，由平衡条件得A的支持力、绳的拉力和斜即A受最大静摩擦作用，方T=mBg再以A为研究对象，它受重力、斜面对 面对A的摩擦作用假设A处于临界状态, 向如图所示，根据平衡条件有：N=mgcos 9T-fn-mgsin 9 =0f n=卩 N或: T+fn-mg

5、sin 9 =0f n=卩 N综上所得，B的质量取值范围是：m (sin 9 -卩 cos 9) mW m(sin 9 + 卩 cos 9)说明：本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时.要在物体临界问题下，确定可能的运动趋势.【例2】如图所示，半径为R,重为G的均匀球靠 竖直墙放置，左下方有厚为h的木块，若不计摩擦， 用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面.【解析】以球为研究对象，如图所示。有Nisin 9 =GNicos 9 =Nsin 9 =(R-h)/R再以整体为研究对象得：N=F即 F=Vh(2R-h) G/(R-h)说明：球体刚好离开地面，有地面对

6、球的支持力为零，但系统又平衡.【例3】如图所示，重为G的物体放在水平 面上，物体与水平面间的动摩擦因数为卩 =1/V 3,物体做匀速直线运动。求牵引力 F的最小值 和方向角0。解：物体的受力图如图。建立坐标系，有：Fcos0 -卩 N=0Fsi n0 +N-G=0由、消去N得：F=卩 G (cos 0 + 卩 sin令 tg =卩，贝U cos 0 + 卩 sin4Gf= 一 1 亠 2 cos 丁 -当0 = 时，cos( 0 - )取极大值1，F有最小值。F min= 除/2 =300tg = 11 =1/V 3 0 =3000)0 =V 1 + 卩 2cos( 0 - )1点评：此例给出

7、了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中， F 的大小随0的变化而变化，要求 F的极小值，就要根据题意求出 F随 0而变的函数关系式，再利用函数的单调性，讨论 F的极值。此例中三角函数的变换是一种常用的方法，应牢记。 【解法二】将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解。将N与f合成为一全反力R。tg=f/N= 1。可见， N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的。物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0,三力 构成一封闭三角形。由图法可知，当 F垂直于R时，F 最小。此时，0 二=arctg(1/ V3)=30 Fmin=Gsi n =G/2点评：此例将四力平衡转化为三力平衡求解，这是解决多

8、力平衡问题的一种方法。摩擦角：tg =f/N= 1，称为摩擦角。在外部条件不变的情况下， f与N的合力的大小可能会发生变化，但此合力的方向不变。练习：如图，重为G的木块，在力F的推动下沿水平 地面匀速滑动。若木块与地面间的动摩擦因数为1,F水平方向成a角。试说明：若a超过某一个值时，不论推 力F多大，木块都不可能滑动，并求出这个角度。F2。Fi的作F2较小，增【分析】F斜向下，可分解为竖直分力 F1和水平分力 用是增大摩擦力f, F2使物体运动。如a较大，则F1较大， 加的f大于F2,物体无法运动，产生“自锁”现象。只有a小于某一 值时，才能推动木块。【解】木块受力如图由平衡条体有：Feos

9、a =卩（G+Fsin a ）F=卩 G/（eos a -卩 sin a ）kG, 2 sin - cos - cos * sin :1 v -2 Sin（：.：:）其中tg =1/卩 二当a = =arctg1/ 卩时，Fx三、能力训练A组1 如图所示，平台重600N滑轮重不计，要使系统 保持静止，人重不能小于：（B）A. 150NB . 200N C . 300N D . 600N2、放在斜面上的物体，受到一个与斜面平行的外力作用，当这个外力的大小分别为60N和10N时，物体都能保持匀速直线 运动，当这个物体在取消上述外力作用后沿斜面自静止下滑时，则它受到摩擦力的大小可能是：（B）A .

10、35N B . 25N C . 10N D . 03 .如图所示，定滑轮光滑，货物质量为 m滑轮离 地面高度为4m,人拉绳处距地面lm，若人对地面最大静 摩擦力为mg/2，则要匀速提升货物，人离货物的水平距 离应不大于m4 .物体A重为100N B重为20N, A与水平面最 大静摩擦力为30N,整个系统处于静止状态，如图所 示，这时A受摩擦力大小为 N如果逐渐增大B重量而保持系统静止，则B的重力最大值为 N解：20N, 30N5 .如图所示，重20N的物体静止在倾角为B =30 的粗糙斜面上静止，物体与固定在斜面上的轻弹簧 连接，设物体所受最大静摩擦力为12N,则弹簧的弹 力为（弹簧与外面平行

11、）；（D）可能为零 可能为22N,方向沿斜面向上 可能为2N,方向沿斜面向上 可能为2N,方向沿斜面向下A . B . C . D .【解析】先假设物体有向下滑的可能性，由平衡条件判得T=2N向下；再假设物体有向上滑的可能性，由平衡条件判得T=22N向上.选沿斜面向上为正，可理解为弹力的范围为-2N TW 22N,故D正确.说明：根据物体的运动趋势，确定弹力的范围，同时充分考虑静 摩擦力是不确定值，可用OW f 12N.6.如图所示，绳重及滑轮摩擦均不计，A. B 质量为1kg与3kg, A、B均保持静止，则斜面对 B的摩擦力大小为f 1=N若在A上再加1kg砝码，此时摩擦力大小 f2与f 1的大小之比等于 (g=10m/s2)A解：5N, 1: 17.如图所示，重1000N的车轮，半径为R,欲 过高为h=R/2的台