sinC积分的解法及其应用

1、sinC积分的解法及其应用本科毕业论文（设计）题目：Sinc积分的解法及其应用学院：学生姓名：学号：专业：数学与应用数学年级：完成日期：指导教师：Sinc积分的解法及其应用摘要：Sinc积分即0sin xdx x+?，是积分学中一个著名的积分，许多积分的计算最后都转化为此积分。在实际生活中也会遇到此积分。由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿莱布尼茨公式计算此积分的结果。本文中，我们将用不同种方法来计算此积分，从而得到0sin2xdxx+=?，进而讨论此积分的应用。关键词：参变量；拉普拉斯变换；留数定理；Fourier变换The Solution and Application

2、 of the Sinc integral目录前言 (1)一、用多种方法计算sinc积分 (2)（一）利用二重积分计算 (2)（二）利用含参变量反常积分的方法计算 (3)1、由比较判别法的推论 (3)2、由狄利克雷判别法 (5)3利用阿贝尔判别法 (6)（三）利用无穷级数的方法计算 (7)（四）利用复变函数理论中留数定理计算 (8)（五）利用拉普拉斯变换计算 (10)1利用拉普拉斯变换计算方法一 (10)2.利用拉普拉斯变换方法二 (11)二、应用 (12)参考文献 (15)前言sinc 积分即为0sin xdx x+?，是积分学中一个著名的积分，它在自然科学中有着广泛的应用。由于sin x

3、x 在0x =点处无定义，但是因为sin lim1x xx=，所以在0x =点处可将()sin x f x x =作连续开拓，也就是当0x =时，令sin 1x x =，则()s i n x f x x=在)0,+?连续，又因为函数()sin f x x =在)1,+?连续，对于1p ?，有1sin 2pxdx ?，因此1sin x dx x +?收敛，从而0sin x dx x +?收敛。但是对于1x ?有21cos 2sin sin 2xx x -=，即sin 1cos21cos2222x x x x x x x -=-，所以111sin cos 222x dx xdx dx x x x+

4、-?，由上述证明即可知1cos 22xdx x +?收敛，但是12dx x +?发散。所以1sin x dx x +?发散，因此0sin x dx x+?也发散，于是可以得知0sin xdx x+?为条件收敛。 由于此积分被积函数的原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿莱布尼茨公式计算此积分的结果，本文即用不同种方法来计算此积分，从而得到0sin 2x dx x +=?。除此之外，本文还将用此积分来证明傅里叶变换定理。 一、用多种方法计算sinc 积分：（一） 利用二重积分计算定理一：设(),f x y 在矩形区域,D a b c d =?上可积，且对每个,x a b ，积分(),dcf x

5、 y dy ?存在，则累次积分(),b dacdx f x y dy ?也存在，且()()(),b d d baccaDf x y d dx f x y dy dy f x y dx =?定理二：设(),f x y 在矩形区域,D a b c d =?上可积，且对每个,y c d ，积分(),baf x y dx ?存在，则累次积分(),d bcady f x y dx ?也存在，且()(),dbcaDf x y d dy f x y dx =?特别地当(),f x y 在矩形区域,D a b c d =?上连续时，则有()()(),bd d baccaDf x y d dx f x y dy dy f x y dx =?。由以上定理知，二重积分0 sin xy I e xdxdy -=?可以用两种方法计算，即先对x 求积分和先对y 求积分，从而得出两种结果，再联立这两种方法便可以得到此积分的计算结果。 因此，先对y 求积分可以得到： 0 sin sin sin xy xy y e x I xdx e dy x dx dx x x -+-=?=-=? 再求先对x 积分得到的结果： 0 s