三角形的证明复习课PPT教学课件

1、三角形的有关证明,复习课,1,在本章中你学到了什么？,角的平分线,通过探索,猜想,计算和证明得到定理,与等腰三角形,等边三角形有关的结论,与直角三角形有关的结论,命题的逆命题及其真假,线段的垂直平分线,全等三角形,2,学习目标： 1、会判定两个三角形全等 2、会用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定进行证明。 3、会用反证法证明命题的成立. 4、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解决问题。 重点：探索证明的思路和方法； 难点：准确地表达推理证明过程。,3,怎么证明几何命题？,证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形;

2、 (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(可以由“因”导“果”综合 法或者由“果”逆推“因”分析法); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地 写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.,4,知识点一：全等三角形,一般三角形 全等的条件：,1.定义（重合）法；,2.SSS；,3.SAS；,4.ASA；,5.AAS.,直角三角形 全等特有的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,5,分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全等.由题目已知只要证明AFCE，AC,例1如图2，AECF，ADBC，ADCB， 求证： ADFCB

3、E,说明：本题的解题关键是证明AFCE，A C，易错点是将AE与CF直接作为对应边，而错误地写为：,又因为ADBC ，,（ ？ ）,（ ？ ）,6,例2已知：如图3，ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是ABC和A1B1C1的高. 求证：AD=A1D1,图3,证明：ABCA1B1C1（已知） AB=A1B1，B=B1（全等三角形的对应边、对应角相等） AD、A1D1分别是ABC、A1B1C1的高（已知） ADB=A1D1B1= 90. 在ABC和A1B1C1中 B=B1（已证） ADB=A1D1B1（已证） AB=A1B（已证） ABCA1B1C（AAS） AD=A1D1（全等三角形的对应边

4、相等）,全等三角形对应边上的中线 角平分线呢？,7,练一练,1,8,2、如图6，已知：A90， AB=BD，EDBC于 D. 求证：AEED,提示：找两个全等三角形，需连结BE.,图6,9,知识点二：等腰三角形的性质定理,性质：1、等腰三角形的 相等，即等边对 2、等腰三角形的 、 、 互相重合；即“三线合一” 3、等腰三角形两底角的平分线 ，两腰上的中 线 ,两腰上的高 ； 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对 。,两个底角,等角,顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,等边,相等,相等,相等,10,已知:如图,点D,E在ABC的边BC上，AD=AE,AB=AC. 求证:BD=CE

5、.,F,练一练,11,知识点二、等边三角形性质和判定定理,性质定理：等边三角形的 都相等， 都相等，并且每个角都等于 ； 判定定理： 一个角等于 的 为等边三角形。 三个内角都为 的三角形是等边三角形。,三条边,三个角,60,等腰三角形,60,60,12,已知：如图，在等边三角形ABC的三边上分别取点D，E，F，使得AD=BF=CE. 求证：DEF是等边三角形。,练一练,13,知识点三、与直角三角形有关的定理,1、直角三角形的 互余。 2、有两个锐角 的三角形是直角三角形。 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于 的 ； 4 、勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平

6、方。 5、 和 对应相等的两个直角三角形全等。( ) 6、勾股定理的逆定理：,两锐角,互余,斜边,一半,斜边,一直角边,HL,两条直角边,斜边,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。,14,1、如下图,在 ABC中， ACB=900， A=300，CD AB于点D,试着推导出BD与AD的数量关系。,动脑筋，能力提升,15,2、如图，已知ACB=BDA=900,要使ACBBDA，还需要添加什么条件？请你选择其中的一个加以证明。,开放探究题,16,知识点四、反证法,反证法的步骤是什么？,第一步是假设命题结论不成立； 第二步是推导，从假设出发，经过推理得出与定义、基本事

7、实、已有的定理或者已知条件相矛盾的结果。 第三步是下结论，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。,17,求证：等腰三角形的底角必为锐角。,18,定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).,逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,如上图, PA=PB(已知), 点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).,知识点五：线段垂直平分线,19,定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三

8、个顶点的距离相等.,如图,在ABC中, c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线, c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).,20,2.如图,在ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,BCE的周长等于50,求BC的长.,练一练,3.如图所示，在ABC中，B22.5,AB的垂直平分线交BC于点D，DFAC于点F,并与BC边上的高AE交于G. 求证：EGEC.,1如图S11，在ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A30，ACB80，则BCE_.,50,21,知识点六：角平分线,定理：角平分

9、线上的点到这个角的两边距离相等., OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. PD=PE.,逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,如图, PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知), 点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,22,定理: 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。,如图,AN,CM,BO分别是ABC的角平分线 PDAB,PEBC,PFAC, AN,BO,CM交于P点, PD=PE=PF.,23,1、如图S18，ADBC

10、，点E在线段AB上，ADECDE，DCEECB. 求证：CDADBC.,图S18,练一练,解析 结论是CDADBC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CFCB，只要再证DFDA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的,24,图S19,证明：在CD上截取CFBC，如图S19， 在FCE与BCE中， FCEBCE(SAS)， 21. ADBC，ADC+BCD180. 又ADECDE，,DCECDE90， 2390，1490， 34. 在FDE与ADE中， FDEADE(ASA)，DFDA. CDDF+CF，CDAD+BC.,25,2、如图，在ABC中，AC=BC，C=900，AD是 ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD。,3、如图所示，ABCD，B=90，E是 BC的中点，DE平分AD