第4章 2zxy 参数估计

1、第四节,2,?,实际工作：由样本推断总体,?,统计推断,：,根据样本提供的信息，以一定的,概率推断总体的性质。,统计推断,参数估计,假设检验,3,第四节：参数的区间估计与点估计,一、原理,三、两个总体平均数差数的区间估计与点估计,二、总体平均数的区间估计与点估计,四、总体频率、两个总体频率差数的区间估计与点估计,4,?,参数估计,点估计：结果出现的条件下该参数可能,性最大的取值。,区间估计：给出一个区间，并给出指定,参数落入这一区间的概率。,?,参数估计与假设检验所依据的统计,学理论相同，区别是以不同形式给,出结果。,5,区间估计,?,按一定的概率,(1-,?,),用一个区间估计总,体参数所在

2、范围。这种估计方法称为区间,估计。,6,?,区间估计是在一定概率保证下指出总体参数,的可能范围，所给出的可能范围叫,置信区间，,（称作置信度为,1-,?,的置信区间）,?,置信上、下限之差称为置信距，置信距越小，,估计的精确度就越高。,7,?,0,0.95,（接受区）,0.025,0.025,临界值,接受区,?,0,-1.96,?,x,?,0,+1.96,?,x,x,u,?,?,?,?,8,置信区间的两个要素,?,可靠性,反映为可信度,1-,?,的大小,?,精确性,用区间长度衡量,9,点估计,?,直接用样本统计量作为总体参数的估计值,方法简单，但未考虑抽样误差的大小,在实际问题中，总体参数往往

3、是未知的，但它们是固定的,值，并不是随机变量值。而样本统计量随样本的不同,而不同，属随机的。,10,一、参数区间估计与点估计的原理,理论基础,由中心极限定理和大数定律，只要抽样为大样本，,不论其总体是否为正态分布，其样本平均数都近似,服从正态分布N(，,2,/n),。,11,95,.,0,),96,.,1,96,.,1,(,?,?,?,?,?,x,x,x,P,?,?,?,?,99,.,0,),58,.,2,58,.,2,(,?,?,?,?,?,x,x,x,P,?,?,?,?,95,.,0,),96,.,1,96,.,1,(,?,?,?,?,?,x,x,x,x,P,?,?,?,99,.,0,),

4、58,.,2,58,.,2,(,?,?,?,?,?,x,x,x,x,P,?,?,?,12,区间估计的图示,?,95%,的样本,?,-1.96,?,x,?,+1.96,?,x,99%,的样本,?,-,2.58,?,x,?,+ 2.58,x,90%,的样本,?,-1.65,?,x,?,+1.65,?,x,x,?,x,u,x,?,?,?,2,?,?,x,13,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,),(,x,x,u,x,u,x,P,u,：正态分布下置信度,P=1-,时的,u,临界值,1-,：置信水平,1-,置信区间、置信距,),(,x,x,u,x,u,x,?,?,?,?,?,?,14,

5、),(,2,1,x,x,u,x,L,u,x,L,?,?,?,?,?,?,?,?,为样本平均数,x,对总体平均数,的置信度为,P=1-,的区间估计。,L,1,、,L,2,分别称为置信下限和置信上限,x,u,x,L,?,?,?,?,用样本平均数,x,对总体平均数,的置信度为,P=1-,的点估计。,15,一、参数区间估计与点估计的原理,无论区间估计还是点估计，都与概率显著水平,的大小联系在一起。,小，相应的置信区间就越大,用样本平均数对总体平均数估计的可靠程度高，,估计的精度降低。,在实际应用中，应合理选取概率显著水平的大,小，不能认为取值越小越好。,16,一、参数区间估计与点估计的原理,参数的区间

6、估计也可用于假设检验。,参数所进行的假设落在区间之外，就说明假设与真,实情况有本质的不同，否定零假设，接受备择假设。,参数所进行的假设落在区间内，说明假设与真实情,况相同，可以接受零假设。,17,?,例：,男性矽肺患者的血红蛋白（,g/dl,）的均数为,12.59,（,g/dl,），标准差为,1.63,（,g/dl,），已知男性健,康成人的血红蛋白正常值为,14.02,（,g/dl,），问,矽肺患者的血红蛋白是否与健康人不同。,参数区间估计与假设检验的一致性,18,?,假设检验,?,先假设,?,等于,?,0,，再判断样本提供的信,息是否支持这种假设，若不支持，则可,推断该样本并非来自已知均数的

7、总体。,?,区间估计,?,判断样本信息估计的总体均数,?,之可,信区间是否覆盖已知的总体均数,?,0,？,若不覆盖，则可推断该样本并非来自已,知均数的总体。,解决思路：,19,H,0,：,?,14.02,，矽肺患者的血红蛋白与健康人相同；,H,1,：,?,14.02,，矽肺患者的血红蛋白与健康人不同。,?,=0.05,t,t,0.05,9,=2.262,P,0.05,按,?,=0.05,的水准，拒绝,H,0,，接受,H,1,，差别有统计学意义。,认为矽肺患者的血红蛋白与健康人不同。,2.7743,10,1.63,14.02,12.59,n,s,X,t,0,?,?,?,?,?,20,10,例男性

8、矽肺患者的血红蛋白（,g/dl,）的均数为,12.59,（,g/dl,），标,准差为,1.63,（,g/dl,），已知男性健康成人的血红蛋白正常值为,14.02,（,g/dl,）,本例自由度,df,=10-1=9,，经查表得,t,0.05,9,=2.262,，则,矽肺患者的血红蛋白总体均数的,95%,置信区间为,:,(11.424,13.756)g/dl,，不包括男性健康成人的血红蛋白的总体,均数,14.02,（,mg/dl,），所以说矽肺患者的血红蛋白与健康人不,同。,),/,(,4240,.,11,10,/,63,.,1,262,.,2,59,.,12,9,05,.,0,dl,g,s,t,

9、X,X,?,?,?,?,?,?,dl),13.7560(g/,10,1.63/,2.262,12.59,s,X,?,?,?,?,?,?,9,05,.,0,t,X,21,二、总体平均数,的区间估计和点估计,1.,当为大样本时，不论总体方差,2,为,已知或未知，可以利用样本平均数,x,和总体方,差,2,作出置信度为,P,1-,的中体平均数的区,间估计为：,),(,2,1,x,x,u,x,L,u,x,L,?,?,?,?,?,?,?,?,22,x,u,x,L,?,?,?,?,1,x,u,x,L,?,?,?,?,2,其置信区间的下限,L,1,和上限,L,2,为,总体平均数的点估计,L,为,x,u,x,L

10、,?,?,?,?,23,2.,当样本为小样本且总体方差,2,未知时，,2,需由样本方差,s,2,来估计，于,是置信度为,P,1-,的总体平均数,的置,信区间可估计为,),(,x,x,s,t,x,s,t,x,?,?,?,?,24,其置信区间的下限,L,1,和上限,L,2,为：,),(,2,1,x,x,s,t,x,L,s,t,x,L,?,?,?,?,?,?,总体平均数的点估计,L,为：,x,s,t,x,L,?,?,?,t,为正态分布下置信度,P,1-,时的,t,临界值,25,?,25,个小麦样本平均蛋白含量,x,14.5,，,已知,2.5,，求,95,置信度下蛋白质含,量的点估计,98,.,0,5

11、,.,14,50,.,0,96,.,1,5,.,14,?,?,?,?,?,?,?,x,u,x,L,?,?,50,.,0,25,50,.,2,?,?,?,n,x,?,?,26,例题,从某渔场收对虾的总体中，随机取,20,尾,对虾，测的平均体长,x,120mm,，标准差,s,15mm,，试估计置信度为,99,的对虾总体平均,数,本例中，由于总体方差,2,未知，需用,s,2,估计,2,，,当,df,20,1,19,时，,t,0.01,2.861,。具体计算如,下,354,.,3,20,15,?,?,?,n,s,s,x,27,于是对虾体长的区间估计为,),(,6,.,129,354,.,3,861,.

12、,2,120,2,mm,s,t,x,L,x,?,?,?,?,?,?,?,),(,4,.,110,354,.,3,861,.,2,120,1,mm,s,t,x,L,x,?,?,?,?,?,?,?,对虾体长的点估计为：,),(,6,.,9,120,354,.,3,861,.,2,120,mm,s,t,x,L,x,?,?,?,?,?,?,?,?,说明对虾体长有,99,把握落在,110.4mm,129.6mm,区间里,28,三、两个总体平均数差数的区间估计与点估计,1.,两个总体方差,1,2,和,2,2,为已知，总体,方差,1,2,和,2,2,未知但为大样本时，在置信度为,P,1-,下，两个总体平均数

13、差数,1,-,2,的区间,估计为：,?,?,?,?,2,1,2,1,),(,2,1,2,1,x,x,x,x,u,x,x,u,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,29,?,?,2,1,2,1,x,x,u,x,x,L,?,?,?,?,?,?,两个总体平均数差数,1,-,2,的点估计为,其置信区间的下限,1,和上限,L,2,为：,?,?,?,?,2,1,2,1,),(,2,1,2,2,1,1,x,x,x,x,u,x,x,L,u,x,x,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,30,2.,两个样本为小样本，总体方差,1,2,和,2,2,未知，,当,两总体方差具有同质性,，即,1

14、,2,2,2,2,时，可由,两样本方差,s,1,2,和,s,2,2,估计总体方差,1,2,和,2,2,，,在置信度,为,P,1-,下，两总体平均数差数,1,-,2,的区间估计为：,?,?,?,?,2,1,2,1,),(,2,1,2,1,x,x,x,x,s,t,x,x,s,t,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,31,两个总体平均数差数,1,-,2,的点估计为：,?,?,2,1,2,1,x,x,s,t,x,x,L,?,?,?,?,?,其置信区间的下限,1,和上限,L,2,为：,?,?,?,?,2,1,2,1,),(,2,1,2,2,1,1,x,x,x,x,s,t,x,x,L,s,t,x,x,

15、L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,32,两个总体平均数差数,1,-,2,的点估计为：,?,?,2,1,2,1,x,x,df,s,t,x,x,L,?,?,?,?,?,t,，,df,为置信度为,P=1-,时自由度为,df,的,t,临界值。,33,用高蛋白和低蛋白两种饲料饲养一月龄大白鼠，在,三个月时，测定两组大白鼠的增重重量（,g,），两组,的数据分别为：,高蛋白组：,134,，,146,，,106,，,119,，,124,，,161, 107,，,83,，,113,，,129,，,97,，,123,，,低蛋白组：,70,，,118,，,101,，,85,，,107,，,132,，,94

16、,试进行置信度为,95,时两种蛋白饲料饲养的大白鼠,增重的差数区间估计和点估计。,例题,34,005,.,10,2,1,?,?,x,x,s,g,x,g,x,00,.,101,17,.,120,2,1,?,?,110,.,2,17,05,.,0,?,?,t,df,其置信度为,95,时两种蛋白饲料饲养的大白鼠,增重的差数区间估计为：,?,?,),(,94,.,1,005,.,10,110,.,2,),00,.,101,17,.,120,(,2,1,2,1,g,s,t,x,x,L,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,284,.,40,005,.,10,110,.,2,

17、),00,.,101,17,.,120,(,2,1,2,1,g,s,t,x,x,L,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,已算得,35,两种蛋白质饲料饲养的大白鼠增重的差数点估计为：,?,?,),(,11,.,21,17,.,19,005,.,10,110,.,2,),00,.,101,17,.,120,(,2,1,2,1,g,s,t,x,x,L,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,36,当两样本为成对资料时，在置信度为,P,1-,时，两总体平均数差数,1,-,2,的置信区间可估,计为：,其置信区间的下限,1,和上限,L2,为：,?,?,d,d,s,t,d,s,t,d

18、,?,?,?,?,?,?,d,d,s,t,d,L,s,t,d,L,?,?,?,?,?,?,2,1,两个总体平均数差数,1,-,2,的点估计为：,d,s,t,d,L,?,?,?,37,例,在研究饮食中缺乏,V,E,与,肝中,V,A,的关系时，将试,验动物按性别、体重等,配成,8,对，并将每对中,的两头试验动物用随机,分配法分配在正常饲料,组和,V,E,缺乏组，然后将,试验动物杀死，测定其,肝中,V,A,含量，并对其进,行置信度为,99,的区间,估计和点估计。,配对,正常饲料组,V,E,缺乏组,差数,d d,2,1 3550 2450 1100 1210000,2 2000 2400 -400 1

19、60000,3 3000 1800 1200 1440000,4 3950 3200 750 562500,5 3800 3250 550 302500,6 3750 2700 1050 1102500,7 3450 2500 950 902500,8 3050 1750 1300 1690000,合计,6500 7370000,38,于是，两种饲料饲养下动物肝脏中维生素,A,含量差数的区间,估计为：,),g,(IU,.,.,.,.,d,s,t,d,L,1,74,136,13,193,499,3,5,812,1,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,26,.,1488,13,.,193,49

20、9,.,3,5,.,812,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,g,IU,s,t,d,L,d,?,已算得,499,.,3,7,13,.,193,5,.,812,01,.,0,1,1,?,?,?,?,?,?,?,?,t,df,g,IU,s,g,IU,d,d,说明两种饲料饲养下动物肝脏中维生素,A,含量差数有,99,的,把握落在,136.74IU,g,-1,1488.26 IU,g,-1,的区间里。,39,两种饲料饲养下动物肝脏中维生素,A,含,量差数的点估计为：,),(,76,.,675,5,.,812,13,.,193,499,.,3,5,.,812,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?

21、,g,IU,s,t,d,L,d,?,40,四、总体频率、两总体频率差,数的区间估计和点估计,在置信度,1-,下，对一,个总体频率,P,的区间估计为：,?,?,p,p,u,p,u,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,41,总体频率,p,的点估计,L,为：,p,u,p,L,?,?,?,?,?,?,其置信区间的下限,1,和上限,L,2,为：,?,?,p,p,u,p,L,u,p,L,?,2,?,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,42,当样本容量较小或者,np,、,nq,远小于,30,时，,对总体频率,p,进行的区间估计和点估计，需,要做连续性校正，其校正公式为：,?,?,?,?,?,

22、?,?,?,?,?,?,?,n,u,p,L,n,u,p,L,p,p,5,.,0,?,5,.,0,?,?,2,?,1,?,?,?,?,总体频率,p,的点估计为：,n,u,p,L,p,5,.,0,?,?,?,?,?,?,?,43,在进行两个总体频率,p,1,-p,2,的,区间估计和点估计时，一般应明,确两个频率有显著差异才有意义。,在置信度为,P,1-,下，两总体,频率差数,p,1,-p,2,的区间估计为,),?,?,(,),?,?,(,2,1,2,1,?,?,2,1,?,?,2,1,p,p,p,p,u,p,p,u,p,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,44,其置信区间的下限,1,和上限

23、,L,2,为：,),?,?,(,),?,?,(,2,1,2,1,?,?,2,1,1,?,?,2,1,1,p,p,p,p,u,p,p,L,u,p,p,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,两总体频率差数,p,1,-p,2,的点估计,L,为：,2,1,?,?,2,1,),?,?,(,p,p,u,p,p,L,?,?,?,?,?,?,45,例,调查,100,株玉米,得到受玉米螟危害的为,20,株，即,p,0.2,或,np,20,。试进行置信度为,95,的玉米螟为害率的区间估,计和点估计。,04,.,0,100,),20,.,0,1,(,20,.,0,),1,(,?,?,?,?,?,?,?

24、,?,n,p,p,p,?,0.05,，,0.05,1.96,于是，置信度为,95,的玉米螟为害率的区间估计为：,1216,.,0,04,.,0,96,.,1,2,.,0,?,?,1,?,?,?,?,?,?,p,u,p,L,?,?,2784,.,0,04,.,0,96,.,1,2,.,0,?,?,2,?,?,?,?,?,?,p,u,p,L,?,?,46,玉米螟为害率的点估计为：,0784,.,0,2,.,0,04,.,0,96,.,1,2,.,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,p,u,p,L,?,?,47,试进行置信度为,99,的两块麦田锈病发病率差数的,区间估计和点估计。,计算得,790,.,0,?,905,.,0,?,2,1,?,?,p,p,026,.,0,2,1,?,?,?,?,p,p,s,由于,np,、,nq,均大于,30,，故可以用,2,1,2,1,?,?,?,?,p,p,p,p,s,?,?,?,估计,例,：研究地势对小麦锈病发病的影响,低洼地麦田,378,株，其中锈病株,342,株,高坡地麦田,396,株，其中锈病株,313,株,48,当,P,0.99,时，,0.01,，,u,0.01,2.58,两块麦田锈病发病率差数的区间估计为,0479,.,0,026,.,0,58,.,2,),790,.,0,905,