2018中考数学专题突破导学练第8讲分式方程及其应用试题

1、第 8 讲 分式方程及其应用【知识梳理】知识点一：分式方程及其解法1分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程2解分式方程的基本思想 去分母把分式方程转化为整式方程，即分式方程 转化整式方程3解分式方程的步骤(1) 去分母，转化为整式方程； (2) 解整式方程，得根； (3) 检验根是否有意义； （4）确定方程的根。4增根在方程变形时， 有时可能产生不适合原方程的根， 这种根叫做方程的增根 解分式方程时，有可能产生增根 ( 使方程中有的分母为零的根 ) ，因此解分式方程要验根 ( 其方法是代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是 ) 重点：把握分式方程的概念难点：掌握解分式方程的基本思想

2、知识点二：与增根有关的问题1分式方程的增根必须同时满足两个条件(1) 是由分式方程化成的整式方程的根；(2) 使最简公分母为零2增根在含未知数的分式方程中的应用：由增根求未知数的值解答思路为： (1) 将原方程化为整式方程； (2) 确定增根； (3) 将增根代入变形后的整式方程，求出未知数的值重点：进行验根的方法（代入到最简公分母之中判断是否为零） 。难点：确定是否是增根。知识点三：列分式方程解应用题1列分式方程解应用题和其他列方程解应用题的思路基本一样不同之处是列出的方程是分式方程2应用问题中常用的数量关系及题型(1) 数字问题 ( 包括日历中的数字规律 )设个位数字为 c，十位数字为 b

3、，百位数字为 a，则这个三位数是 100a10bc ；日历中前后两日差 1，上下两日差 7.(2) 体积变化问题(3) 打折销售问题利润售价成本；利润率利润100%.成本(4) 行程问题路程速度时间若用 v 表示轮船的速度，用 v顺、 v 逆、v水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度，在下列式子中填空v顺vv 水 v 逆vvv顺v逆水 v2v水v顺v逆2在轮船航行问题中，如果知道 v顺、v 逆、v、v水中的任何两个量，总能求出其他的量(5) 教育储蓄问题利息本金利率期数；本息和本金利息本金 (1 利率期数 ) ；利息税利息利息税率；贷款利息贷款数额利率期数重点：把握各种题型的公式难点：灵活运用各

4、种类型的公式特别是工程问题和流水问题。【考点解析】类型一： 分式方程的解（2017 黑龙江鹤岗） 若关于 x 的分式方程 的解为非负数，则a 的取值范围是 （ ）Aa 1 B a1 Ca 1 且 a4 Da1 且 a4【考点】 B2：分式方程的解【分析】 分式方程去分母转化为整式方程， 表示出整式方程的解， 根据解为非负数及分式方程分母不为0 求出 a 的范围即可【解答】解：去分母得： 2（2xa）=x2，解得： x= ，由题意得： 0 且 2，解得： a 1 且 a 4，故选： C类型二 ：分式方程的解法2（2017 湖北随州） 解分式方程： +1= 【考点】 B3：解分式方程【分析】 分式

5、方程去分母转化为整式方程， 求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得： 3+x 2x=x2x=x2，解得： x=3，经检验x=3 是分式方程的解类型三： 分式方程的应用（2017 内蒙古赤峰 ）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗， 已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2 元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是 3500 元和 2500 元（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100 棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000 元，根据（ 1）中两种树苗的单价，求梨树

6、苗至少购买多少棵【考点】 B7：分式方程的应用； C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）设梨树苗的单价为x 元，则苹果树苗的单价为（ x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗 a 棵，苹果树苗则购买棵， 根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可【解答】解： （1）设梨树苗的单价为x 元，则苹果树苗的单价为（ x+2）元，依题意得： = ，解得 x=5经检验x=5 是原方程的解，且符合题意答：梨树苗的单价是 5 元；（2）设购买梨树苗种树苗 a 棵，苹果树苗则购买棵，依题意得：（ 5+2） +5a 6000，解得 a 850答

7、：梨树苗至少购买850 棵【中考热点】3（2017绥化） 甲、乙两个工程队计划修建一条长15 千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路 0.5 千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的 1.5 倍（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5 万元，乙工程队每天的修路费用为0.4 万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2 万元，甲工程队至少修路多少天？【考点】 B7：分式方程的应用； C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）可设甲每天修路 x 千米，则乙每天修路（ x0.5 ）千米，则可表示出修路所用的时间，可

8、列分式方程，求解即可；（2）设甲修路 a 天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可【解答】解：（1）设甲每天修路 x 千米，则乙每天修路（ x0.5 ）千米，根据题意，可列方程： 1.5 = ，解得 x=1.5 ，经检验x=1.5 是原方程的解，且 x0.5=1 ，答：甲每天修路 1.5 千米，则乙每天修路 1 千米；（2）设甲修路 a 天，则乙需要修（ 151.5a ）千米，乙需要修路 =151.5a （天），由题意可得 0.5a+0.4 （151.5a ） 5.2 ，解得 a 8，答：甲工程队至少修路 8 天【达标检测】1. 已知 A，B两

9、地相距 160km，一辆汽车从 A 地到 B地的速度比原来提高了 25%，结果比原来提前 0.4h 到达，这辆汽车原来的速度是 80 km/h【考点】分式方程的应用【分析】设这辆汽车原来的速度是 xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出 x 的值即可【解答】解：设这辆汽车原来的速度是 xkm/h，由题意列方程得：4，解得： x=80经检验， x=80 是原方程的解，所以这辆汽车原来的速度是 80km/h故答案为： 802. （2016 浙江省湖州市 4 分）方程 =1 的根是 x= 2 【考点】分式方程的解【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入 x3 进行检验即可【解答】

10、解：两边都乘以 x3，得： 2x1=x3，解得： x=2，检验：当 x=2 时，x3=50，故方程的解为 x=2，故答案为： 23. 关于 x 的分式方程 =3 的解是正数，则字母 m的取值范围是（ ）Am3 Bm 3 Cm3 Dm3【考点】分式方程的解【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出 m的范围即可【解答】解：分式方程去分母得： 2xm=3x+3，解得： x=m3，由分式方程的解为正数，得到 m30，且 m3 1，解得： m3，故选 D4. （2016 贵州毕节 3 分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植， 现在平均每天比原计划多植树

11、 30 棵，现在植树 400 棵所需时间与原计划植树 300棵所需时间相同，设现在平均每天植树 x 棵，则列出的方程为（ ）A B C D【考点】由实际问题抽象出分式方程5【分析】设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树（ x30）棵，根据：现在植树 400棵所需时间 =原计划植树 300 棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可【解答】解：设现在平均每天植树 x 棵，则原计划每天植树（ x30）棵，根据题意，可列方程： = ，故选： A5. （2017 毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少 4 元，且用 30 元买这种本子的数量

12、与用 50 元买这种笔的数量相同（1）求这种笔和本子的单价；（2）该同学打算用自己的 100 元压岁钱购买这种笔和本子，计划 100 元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案【考点】 B7：分式方程的应用； 95：二元一次方程的应用【分析】（1）首先设这种笔单价为 x 元，则本子单价为 （x4）元， 根据题意可得等量关系：30 元买这种本子的数量 =50 元买这种笔的数量， 由等量关系可得方程 = ，再解方程可得答案；（2）设恰好用完 100 元，可购买这种笔 m支和购买本子 n 本，根据题意可得这种笔的单价 这种笔的支数 m+本子的单价 本子的本数 n=1000，再求出整数解即可【解答】解： （1）设这种笔单价为 x 元，则本子单价为（ x4）元，由题意得：= ，解得： x=10，经检验： x=10 是原分式方程的解，则 x4=6答