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文档简介
1、概率论与数理统计,第三讲 概率的运算法则,经济数学基础,第三节 概率的运算法则,一、概率的加法公式 二、条件概率 三、概率的乘法公式,一.概率的加法法则,性质1,性质2(有限可加性,性质3,性质4,性质3,证明,证明 性质3,证明,证明 性质4,例1 设有一批产品共100件,其中5件是次品,任取3件,求:至少有一件是次品的概率,解 法一,设A表示“任取三件至少有一件次品”,Bi表示“任取,三件恰好有i件次品”,则,法二,表示“任取三件全是正品”,而,定理1(加法公式,证明,因为,且,故,若A,B互不相容,有,一般地,定理1可以推广到多个事件的情形,推论1,若A1, A2, A3为任意三个事件,
2、则,例2 设 、 为两事件,且设 , 求,解,而,所以,于是,二、条件概率,解,而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生的概率(即甲车间生产的合格品率),由于甲车间产品有60件,而其中合格品有54件,所以,同理,同理,3,可以验证,条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理,定义1,为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,1 非负性,2 规范性,3 可列可加性,概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系,联系:事件A,B都发生了,区别,1)在P(B|A)中,事件A,B发生有时间上的差异, A先B后;在P(AB)中,事件A,B同时发生,2)样本空间不同,在P(B|A)中,事件
3、A成为样本 空间;在P(AB)中,样本空间仍为,因而有,例4 一袋中有10 个球,其中3个黑球,7个白球,依次从袋中不放回取两球。试求:已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率,解,记,因为,所以,例5 考虑恰有两个小孩的家庭,若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能,于是得,所求的两个条件概率为,三、概率的乘法公式,定理1 (乘法公式,则由归纳法可得,则由,可得,例6 关于某产品的检验方案为从100件中任取一件,无放回,如为次品,认为不合格;如为正品,再抽一件;如此连续至多4次,如连续抽取4件正品,则认为这批产品合格,现假定这批产品中5%是次品,问产品被拒收的概率,解,设,则,因此,例7 在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现,上、下两学期成绩均优的学生占5%,仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9,1) 已知某学生上学期得优,求下学期得优的概率,2) 已知某学生上
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