2021年秋高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修4

1、2021年秋高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修41.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题(重点)2实际问题抽象为三角函数模型(难点)自 主 预 习探 新 知1三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型 2解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论基础自测1思考辨析(1)函数y |sin x 12|的周期为.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为

2、5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I 5sin ? ?100t 3，则当t 1200 s 时，电流强度I 为52A ( )解析 (1)错误函数y |sin x 12|的周期为2.(2)错误一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为2020.4100(cm)(3)正确答案 (1) (2) (3)2如图1-6-1为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s 往返一次 图1-6-108 观察图象可知此简谐运动的周期T 0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次3如图1-6-2所示的图象显示的是相对于

3、平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为_ 图1-6-2y 6sin 6x 设y 与x 的函数关系式为y A sin(x )(A 0，0)则A 6， T 212，6. 当x 9时，y max 6.故 6922k ，k Z . 取k 1得，即y 6sin 6x .合 作 探 究攻 重 难 (1) A B C D (2)作出函数y |cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】思路探究 (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断(2)依据y |cos x |?cos x

4、，cos x 0cos x ，cos x 0画图，并判断此函数的性质(1)C (1)y x sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y |cos x |图象如图所示 由图象可知：T ；y |cos x |是偶函数；单调递增区间为?2k ，k ，k Z ， 单调递减区间为?k ，2k ，k Z .规律方法一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：由函数y f x 的图象要得到y |f x的图象，只需将y f x 的图象在

5、x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.由函数y f x 的图象要得到y fx 的图象，应保留y f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.跟踪训练 1函数f (x )2sin x(x ，)的图象大致为( ) A B C D A f ()2sin()201，f ? ?22sin ? ?2210.5，f (0)2sin 0201，f ? ?22sin 22，f ()2sin 201.由此知选项A 符合要求 t (s)的变化规律为s 4sin ?2t 3，t 0，)用“五点法”作出

6、这个函数的简图，并回答下列问题(1)小球在开始振动(t 0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】思路探究 确定函数y A sin(x )中的参数A ，的物理意义是解题关键 解 列表如下： (1)将t 0代入s 4sin ? ?2t 3，得s 4sin 323，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和4 cm. (3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s. 规律方法 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y A

7、x 表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T 2为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f 1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.跟踪训练2交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E 2203sin ? ?100t 6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解 (1)当t 0时，E 1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T 2100150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100t 62，即

8、t 1300s 时第一次取得最大值 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0t 24，记yf (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00

9、到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】思路探究 (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求. (2)解不等式y 1，确定有多少时间可供冲浪者活动解 (1)由表中数据可知，T 12，6.又t 0时，y 1.5，A b 1.5；t3时，y 1.0，得b 1.0，所以振幅为12，函数解析式为y 12cos 6t 1(0t 24)(2)y 1时，才对冲浪爱好者开放，y 12cos 6t 11，cos 6t 0,2k 26t 2k 2，即12k 3t 12k 3，(k Z )又0t 24，所以0t 3或9t 15或21t 24，所以在规定时间内只有6个小时

10、冲浪爱好者可以进行活动，即9t 15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ 解 由y 12cos 6t 11.25得cos 6t 12，2k 36t 2k 3，k Z ，即12k 2t 12k 2，k Z .又0t 24，所以0t 2或10t 14或22t 24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10t 14.2若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：解 函数y A sin t b 在一个周期内由最大变到最小需936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h ，因此212，6.又当t 0时，y 10；

11、当t 3时，y max 13， b 10，A 13103，所求函数的解析式为y 3sin 6t 10(0t 24)规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤 提醒：关注实际意义求准定义域当 堂 达 标固 双 基1与图1-6-3中曲线对应的函数解析式是( ) 图1-6-3A y |sin x |B y sin |x |C y sin |x |D y |sin x |C 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x (0，)时，sin |x |0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.2在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动已知它们在时间t (s)离开平衡位

12、置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 15sin ?2t 6，s 210cos 2t 确定，则当t 23s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A s 1s 2B s 1s 2C s 1s 2D 不能确定C 当t 23时，s 15sin ? ?4365sin 325，当t 23时，s 210cos 4310? ?125，故s 1s 2.3如图1-6-4表示电流强度I 与时间t 的关系为I A sin(x )(A 0，0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为() 图1-6-4A I 300sin ? ?50t 3B I 300sin ? ?50t 3C I

13、300sin ? ?100t 3D I 300sin ? ?100t 3 C A 300，T 2?11501300150，2T 100，I 300sin(100t )代入点? ?1300，0，得100? ?13000，得3，I 300sin ?100t 3.4一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s 3cos ? ?g l t 3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l _cm.g42由已知得2gl1，所以g l 2，g l 42，l g 42. 5如图1-6-5，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化 图1-6-5(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】解 (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y