陕西省高中数学 第一章 计数原理 求展开式系数的六种常见类型拓展资料素材 北师大版选修23

1、 求展开式系数的六种常见类型本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展,求展开式中的系数是高考常考题型之一 开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。?n)(n?(a?b)N 型一 、 4610yx?2y)(x ）项的系数是（例1 的展开式中210 ）210 （D）840 （B）840 （C（A） r?rr10xC(?2y)?T 10)?2y(xr的展开式中，即得解析：在通项公式=4中令1?r10 4644yx2)C(? 。=840,项的系数为故选A10185)x?(x 。的系数为例2展开式中 x 313r?8 rrr8?rrx)C(?)?(?1T?Cx2r?8?5，则通项公式 ，由题意得解析：

2、818r? 2x225?28C(?1)x2?r。，故所求的系数为 8评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r的值。 nm?)Nm?(n,?b)?(c?d)(a型 二 、21834?()x(x?)?3例的展开式中整理后的常数项等于 . xx 22rrrr34?r?4r1243C?C(?(?)x(x?)T2)0?12?4r)(x?的通项公式为解析；，令, 4?41rxx12338342C?3r?)(x?(x)?的通项公式为的展开式中的常数项为,这时得=则32, 4xx11kk8?kk8?2k8x?x?TCC()4k?2k?0?8)x?(的展开式中的常数,则,令

3、这时得， 881k?xx214834C?32?70?38)(x)?(x。=70，故 的展开式中常数项等于项为 8xx653(1?x)?(1?x)x的项的系数是（ ）的展开式中，含 例4在?5?10 (D) 10 (A) (B) 5 (C) 5633333(1?x)?(1?x)?C?(?1)?C?xx20?10,解析：中的系数, 中的系数为651 653)x1?(1?x)?(x10 。的展开式中故选故的系数为D ,?mn)Nn,m?)?(c?d)(a?b的展开式中某一项的系数，可分别展开求型如评注： 两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。?nm)Nmc?d)?(n(a?b),( 型三 、7

4、2)2x?1)(x3x 项的系数是 例5的展开式中。 741633)?2(x)2(2)C?C(?xx，故和的展开式中的系数分别为、解析：777246133)2x(x?1)(C)(C?2(?2)x项的系数为=1008。+ 的展开式中778?5x1x?1?x 的展开式中）例6的系数是（ 28?2814?14 ）（D （B ） （C ） （A 8?85454)1(x?CCxx1x?1?x展开式中、,的系数分别为故的展开式中和略解： 8855414?CC?x 的系数为。,故选B88?nm)m?N)(c?d)(n,(a?b的展开式中某一项的系数，可分别展开两评注：求型如 个二项式，由多项式乘法求得所求项

5、的系数。?n)N(n?b?c)(a 型四 、1x5)?2( . 例7的展开式中整理后的常数项为 x2 5kx1x11x? kk5?5T?C2(?)2)?(?)2(?2, ，通项公式解法一：=? 5?1k2x2x2x?x1r?r5?k?r?(5?k?r)r5?2r?kk?r?5k5?2Cxx?T2C?x)?(,的通项公式为令 k5?1?rk?52xk?1,r?2k?3,r?1k?5,r?05k?0kr?225?r?。 ，则，可得或或 1152221? ?2CC22?1?,rk2；当 时，得展开式中项为452 ?131?2022?22CC1,3r?k；，得展开式中项为 时,当25 5C42?420

6、rk5?,?。当 时，得展开式中项为52 2631521x 5?2?42?20)(2?的展开式中整理后的常数项为综上，。 22x2?522102?2xx?2)2x?()(x?21x55()2(?，对于二项式=解法二：= 55x2x2)x(2)x(210rrr10?)(x?2)2?Cx(T5r?r?510。所以，常数中，即，要得到常数项需10?1r55)C?(226310? 。项为 52211xx 5(2)2)(?解法三：个三项式相乘。常数项的产生有三种情况：是5 xx2211xx 2)?(，在54个相乘的三项式个三项式中选一个取从其中一个取，从另外中， x22x1 3113220(2)?C?C

7、?C?；从其中两个取个三项式中取常数项相乘，可得从剩余的3 35421x个三项式中取常数项相乘，可得个三项式中选两个取，从剩余的1，从另外3 x21511x 2222?()?C?2C2)?(中取常数项相乘，可得个相乘的三项式；从5 3522x2 55242)C?( =。5 2263151x 5?20?2?42)?(?2的展开式中整理后的常数项为 综上，。 22x2解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。评注：这种解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理， 方法可以直接求展开式中的某特定项。?1nmm)?Nn,1?L?(a?b)m(

8、m(a?b)?(a?b),n? 五、型622)x?(1?x)?(1?x)?(1x（用数。 的展开式中， 例8在项的系数是 字作答）22222235?C?C?C?CCx 解析：由题意得项的系数为。6432538567xxxxx( ) )(1(1)的展开式中，含9例在(1(1)的项的系数是121 74 (D) (A) 74 (B) 121 (C) 9545)?xx?(1?(1?x)1?(1x)(18756?= xxxx)(1(1解析：(1)(1) x?(1?1x)3 954444126?(1?x)C(1?x)?5?Cxx121,中中的系数为，的系数为126+5= 95 故选D。2x评注：则从整体出

9、发，项的系数，然后再相加；例9例8的解法是先求出各展开式中5xx项和，用等比数列求和公式减)(1的等比数列的前)4，公比为(1把原式看作首相为的解答方法是求少项数，简化了运算。例8和例9?n?1mm)nmm,n?b)N?,1?L?(a?b)?(a?b)(?(a的展开式中某特定项系数的两种 常规方法。 、求展开式中若干项系数的和或差六 200422004x?xaxa?.(1?2x)?a?a)?R(x10例 若，2004012_)?(a?aa)?(a?)?(a?a)?(a?a) (则用数字作答。20042100300200422004x?.x?x1?2)a?a?ax?a(1?a0?x ，解析：在中

10、，令，则200412002004)1?a?(?1a?a?a?a?1?x，则 令20042103)?(a?aa)?(a?a)?(a?a)?(a? 故200400031022004?a?a?a?a?a?a +=2003。200421300 224342)a)a?(a?(a?ax?axa?xa?(2x3)x?a?a11例的，则3421043021 ）值为（1 (C) 0 (D) 2 (A) 1 (B) 4324x?a?ax?3)?aax?axx(2解析：在 中，431204)3(2?aa?a?a?a?1x? ，可得令403214)3(2?aa?a?aa1?x? ，可得令4210322)a?a?a)a?(a?)a?a?aa?(aa?a?aa)(a?所以， =342013032440112442?3)(2?3)?a?aa?a?)(a?a?(aaaa,故选=1=4312001234A。