大学概率论与数理统计复习资料

1、第一章随机事件及其概率知识点：概率的性质事件运算古典概率事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公 式常用公式(1) P(A) = r/ n P(A) = L(A)/L(S)P(A B)二 P(A) P(B)- P(AB)(加法定理)nnP(U A)=E p(A)(设Al,4A两两互斥,有限可加性)i di =1nnP(u A)=1- 1-P(A)(A, 4,A相互独立时)i di =1(3) P(B/A) = P(AB)/P(A)(4) P(AB)二 P(A)P(B/A)二 P(B)P(A/B)P(AB)二 P(A)P(B)(A与B独立时)P(AB)二0(A, B互不相容时)(5) P(A-

2、Bp P(AB)二 P(A)- P(AB)P(A- B)二 P(AB)二 P(A) - P(B)(当B A时)n(6) P(B)八 P(Ai)P(B/Ai)(全概率公式)i=1(其中A, A厂 An为的一个划分,且P(Ai 0)(7) P(A /B) = nP(A)P(B/A)(逆概率公式)迟 P(Ai)P(B/A)应用举例1 已知事件 A,B 满足 P(AB)=P(AB),且 P(A)=0.6，则 P(B)二 ()。2、 已知事件 A,B 相互独立，P(Ak, P(B0.2, P(A B)=0.6 , 则 k =()。3、 已知事件 A, B 互不相容，P(A) = 0.3, P(B) =0

3、.5,则P(A B)= ()。4、若 P(A)=0.3, P(B) =0.4 , P(AB) = 0.5 , P(B A B) = () o5、 A,B,C是三个随机事件，C B，事件AUC -B与A的关 系是()。6、 5张数字卡片上分别写看1, 2, 3, 4，5,从中任 取3张，排成3位数，则排成 3位奇数的概率是。7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明:到家时 间5:305:40 5:405:50 5:506:00 6:00 以后乘地铁0.30.40.20.1乘汽车0.20.30.40.1某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。(1) 试求他在5:405:50到家的概率；(2) 结

4、果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的 概率。解(1)设Ai =他是乘地铁回家的， A2 =他是乘汽车 回家的， Bi =第i段时间到家的，i =1234分别对 应时间段 5:305:40 5:405:50 5:506:0Q 6:00 以后则由全概率公式有P(B2)= P(Ai)P(B2 I Al) P(A2)P(B2 I A2)由上表可知 P(B2|Ai)4 , P(B2|A2)=0.3 , P(AJ = P(A2)= 0.5P(B2) =0.5 0.40.3 0.5 =0.35(2)由贝叶斯公式P(B2)0.3578盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用， 比赛后仍放回盒中，求：

5、第三次比赛时取到 3个新球 的概率。看作业习题1:4, 9, 11, 15, 16第二章随机变量及其分布知识点：连续型(离散型)随机变量分布的性质连续型(离散型)随机变量分布(包括随机变 量函数的分布)常用分布重要内容1.分布函数的性质(1) F(x)单调递增，即X2- F(X1尸 F(X2)(2) F)二 lim F(x)二 0XT 亠 (3) F(x)右连续，即 F(x 0) = F(x)(4) 0 = F( x) - 1 x R2 分布律的性质(1) 非负性0Pi1,(i= 1,2)(2) 规范性Pi=1i3分布密度函数的性质(1) 非负性f(x)0 (x R)(2) 规范性.f(x)d

6、xT4.概率计算八P(X 三 a) = F(a)P(xX x2) = P(X = x2)- P(X x1)P(X = a) = F(a)- F(a- 0)X为连续型随机变量：P(X = a) = F(a)- F(a- 0) = 0aP(X ap f(x)dxQO-HoP(a Xp f(x)dxa X2P(E X x2) = f (x)dx5常用分布x1二项分布：P|- X - 和：1 二 2(1) -1 二 68.27%P| X -二|：2 订=2(2) -1 =95.45%P| X -T ：3 ；号=2 ：(3) -1 =99.73%记为XB (n, p)或Xb(n, p)P(X 二k)二

7、C：pkqn k,(k = 0,1,n)泊松分布 X二P(X 二0 )或XPC)k泊松定理 C：pk(1- P)nkke ,(二 np) k!k) e g 0,1，;0) k!均匀分布较大且(P很小(a, b) XX 0)0,其他正态分布 XNC / 2)“(XT21 2f(x)e,x (八、/2 兀a(1) ： (0厂 0.5(2) ； (- x) = 1 - : (x)P| X T = 68.27%P| X -I 2 = 95.45%P| X _| 3 = 99.73应用举例1、设f(xrkex .0)是某随机变量的密度函数，则 k =()。2、设随机变量X的概率密度为f(x)冷cosx贝

8、U P( 一1 ： X : 0) =() ox : 1,1 _ X ： e,则x亠e.0,3、设随机变量X的分布函数为F(x)=gx,J,P(X 2)= () o4、 设 XN(T2),满足 P(X -1) =P(X 1)的参数()o5、 离散型随机变量X的分布律为P(X二k) Jf (k=1,2,3),则c k!7c=()o6、土地粮食亩产量(单位：kg) X N(360,602).按亩产量 高低将土地分成等级.若亩产量高于420kg为一级，在 360420kg间为二级，在 315360kg间为三等，低于 315kg为四级.求等级丫的概率分布。 (：(0) =0.5,：(1) =0.8413

9、,(0.75) =0.7734 )解1420 X2 360 c X 兰 420Y =3 315 ：X 乞 3604 X -3157、110在长度为t的时间（单位：h）间隔内收到的紧急 呼救的次数x服从参数为；的泊松分布，而与时间间隔 的起点无关.求某一天中午12时至下午3时至少收到1 次呼救的概率。eM）k解X的分布律为P（X =k） 匚（k=0,12 ）k!中午12时到下午3时，表明t=3 求p（x _1）8批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从 中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品 总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次 数x的分布律。解X所有可能的取值为1,2,3A

10、=第i次取到正品 （，123）看作业习题 2:4，7, 17，20, 24，26, 27 28第三章多维随机变量及其分布知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质 二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分 布）随机变量的独立性二维常用分布内容提要1. 概率分布的性质离散型非负性pij - 0,i, j = 1,2,oO oo归一性 Pij = 1i =1 j =1-kc-Hc连续型归一性f（x, y）dxdy = 12二维概率计算P（X, Y） G=3边际密度函数计算+fx（x） = f （x, y）dy;4常用分布均匀分布f （x，y）二A10f (x, y)dxdyG+ocfY(

11、y)=f(x, y)dx cd（x，y） D其他二维正态分布(X,Y) NCt,2广;广)XN(n2),YNC2,。；)5. 随机变量的独立性F(x,y)= Fx(x) FY(y)Pij = Pi P j (i, j = 1,2,)f(x,y)= fx(x) fY(y)6. 正态分布的可加性设 iN( /j2) (i= 1,2|n) 且1, 2,n相互独立，则nn12 III nN(jr2)i =1i =1应用举例1、 设（X，Y 的密度函数则 k=（）。2、设离散型随机变量（x,Y）的联合分布律为(X,Y) (1,1) (1,2)(1,3) (2,1) (2,2) (2,3)P 1/61/9

12、1/181/3/.且X,Y相互独立，则（）。3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10件，现从中随机的抽取一件，记 其它i等品，2123求（1）X1和X2的联合分布律； 并求P（X1讥）。4、 设随机变量（X,Y）在曲线厂X，围成的区域D里 服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。5、设二维随机变量（X,Y）的概率密度为已x2y xlyd七f（x,y）= 4 求p（ycx）0 其它6、设随机变量X1,X2,X3相互独立，并且均服从正态分布3Xi N（叫，G2）,i =1,2,3，贝U X i.（aiXbi）（ ）。i=1看作业习题 3:1,2,3,4,5,6,7,9

13、,1011,12,13,18第四章 随机变量的数字特征知识点：随机变量的数学期望的性质与计算随机变量的方差(协方差、相关系数)的性质与计算 主要内容1、数学期望的计算(1)已知X的分布，求E(X).离散型连续型.E(X)=无 xPiE(X)二 f xf(x)dx_nOi2已知X的分布且丫 = g(X),求E(Y).离散型连续型.-E(Y)=送 g(x)p E(Y) = -g(x)f(x)dxi3 已知X,Y)的联合分布，且z-g(X,Y),求E(Z).离散型连续型E(Z) “ g(x$)Pj E(Z) = Mg(x,y)f(x,y)dxlyi jR2 已知(X,Y)的联合分布,求E(X)或E(

14、Y).离散型方法 1: E(X) = xp连续型E(X)二 xf (x, y)dxdyR2离散型E(Y) = yj Pj连续型E(Y)二 yf (x, y)dxdyiE(X)二、Xi Pi.E(X)二：xfx(x)dxR2方法2:先求出边际分布,则离散型连续型 :离散型E2、性质 a yjP.jE(Y) =yfY(y)dyE(XXn)二 E(Xi) E(X2)E(Xn)当随机变量相互独立时E(XY)= E(X) E(Y);E(X1Xj|Xnp E(XJ E(X2)|E(XJ3、方差的计算即D(X)二 E(X - EX)2易证 D(X)二 E(X2)- E(X)24,、方差性质(1) D(c)

15、= 0(2) D(aX b) = a2D(X) 特别地,D(aX)= a2D(X)(3) D(X - Y)二 D(X) D(Y)- 2EX- E(X)丫- E(Y)特别地,当X与丫独立时,D(X 丫)二D(X) D(Y)扌隹广：当Xi,X2“IXn相互独立时，有d(z XJY DXi5、协方差与相关系数iT1协方差的计算 Cov(X,Yp EX - E(X)Y - E(Y)COV (X , Y)二 EXY - EXEY COV (X ,Y) = xyJDXI dY相关系数的计算XYCOV(X,Y) DX DY应用举例1. 某农产品的需求量X(单位：吨)服从区间1200,3000 上的均匀分布。

16、若售出这种农产品1吨，可赚2万 元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润？解设每年准备该种产品k吨(1200k3000),则利润丫为2kXk (此时无库存)丫 S(X) ；2X-(k-X) X、n p(1 p)第六章数理统计的基本概念知识点：抽样分布内容提要1 基本概念样本 统计量(常用统计量)2、抽样分布定理(1) 设Xi N(0,1) (i = 1,2| n),且相互独立,称n2 = X； . X；.X；八 X2 2(n)i 二特别地：若X - N(0,1),则X2；(1)(2) 设XN (0,1),Y2(n),且X与丫相互独立,则称X2T

17、 二 Y/n t(n)T F(1, n)(3) 设叫)，丫2(n2)，且X与丫相互独立，则称X1 / rh1_FFg, n2)F(n2,njY/n2F(4) 设XX2厂Xr是从正态总体NC2中抽取的一个 简单随机样本，则对样本均值X及样本方差S2,有:X NC，- 2)nX - 1二 /nN(0,1)X _ 二t(n - 1)s/n(n - 1)S2222(n)CJ定理3设Xi,X2lllXn是来自 N(y 2),Y1,Y2HIY是来自N（J,二2）的两个独立样本 X, Y分别表示样本均值，s；, s；表示样本方差则统计量t(m n? - 2)(X Y) Ci_2)(叮1疔(叮1&(11)m

18、n? - 2n n2F(n 1,n； - 1)s24s；1.设总体X,Y相互独立，且都服从N（0,32）,而 （Xi,X2，X9）和（Y,Y2,，丫9）分别来自X和丫的样本，问：(1) X!X9服从什么分布？(2) 若C(Yj 丫22丫92)服从 2分布,C 二？X9 N(0,92) = 1,29解： X N(0,32) 二 1,29XX22Y N(0,3 )丫亠N(0,1)39 Y 22(9)送 (一21c=1/9则i =13第七章参数估计知识点：点估计 区间估计估计量的评价标准主要内容1、矩法矩估计法的具体步骤：(1) 求 出 Vr = E(Xr)= Vrjllls)r = 1,2,111 k1 n(2) A = j Xirr,2,|,kn日令V厂a这是一个包含k个未知参数：1/,2l/k的方程组.(4) 解出其中用气？,111，叫表示.(5) 用方程组的解叫，呵,111,分别作为。1 2,III, k 的估计量,这个估计量称为矩估计量.2、极大似然估计法n(1构造似然函数：L 二 L(SjllPk)7 f(X/1F2II 户