《简单曲线的极坐标方程》教学设计

1、1.3简单曲线的极坐标方程（谷杨华）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程， 体会极坐标 下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力.（二）学习目标1 通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.3 能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当 坐标系的意义.（三）学习重点1 掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程.2 进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化.（四）学习难点1 求曲线的极坐标方程.2.对不同位置的直线和圆的极

2、坐标方程的理解.二、教学设计（一）课前设计1. 预习任务（1）读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C上任意一点的极坐标中 至少有一个满足方程f（D=o，并且坐标适合方程f（D=o的点都在曲线C上，那么方程f（）=o叫做曲线C的极坐标方程.2. 预习自测（1）下列点不在曲线二COST上的是（）B.GD.(i，【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D不满足方程【思路点拨】由极坐标方程定义可得【答案】D.(2) 极坐标系中，圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程为()A. 2B. 4C.cos ： - 2D. ：?sin v -1【知识

3、点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为(几，依题意=2- R,所以选A【思路点拨】根据题意寻找的等量关系式【答案】A.(3) 将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： 射线 y 二-3x(x 乞 0);圆 x2 y2 2 = 0 .【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】因为x =cosv , y = ：?sin代入可得sinv - 3cosv,tanv - . 34 n又因为x0，所以射线在第三象限，故取A(pA0 ) 将 x=Pcos& , y = Psin& 代入 x2+y2+2x=0 整理得 P = -2cos6【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得4 n【答案】

4、0= 3( p 0 )-2 cos.(4) 极坐标系下，直线，cos( )2与圆p= .2的公共点个数是 .4【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程 pos( ) = . 2，即-： ( cos-sin“ = . 2，422所以直角坐标方程为x+ y-2 = 0.圆的方程p=,2,即p = 2,所以直角坐标方程为x2 + y2= 2. 因为圆心到直线的距离为d= I。+总2| = = r，所以直线与圆相切，即公共点个数是 1.【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理【答案】1(二)课堂设计1 知识回顾(1) 极坐标系的建立：在平面内取一个定点 0,叫做极点；自极

5、点0引一条射线Ox，叫做极 轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样 就建立了一个极坐标系.(2) 极坐标系内一点的极坐标的规定：设 M是平面内一点，极点0与点M的距离0M叫做 点M的极径，记为；-;以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角xOM叫做点M的极角，记为. 有序数对(厂)叫做点M的极坐标，记为M ( ：). 一般地，不作特殊说明时，我们认为_0，可取任意实数.(3) 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单 位长度设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x, y)，极坐标是(订旳，贝x -cos v， y

6、=sin v:2 = x2 y2， tan-y (x = 0)x2 问题探究探究一结合实例，类比认识极坐标方程活动 类比推理概念在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x,y)=O表示.曲线与方程满足如下关系:(1) 曲线C上点的坐标都是方程f (x, y) = 0的解；(2) 以方程f(x,y)=O的解为坐标的点都在曲线C上.那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f(J) =0表示呢？我们先看一个例子半径为a的圆的圆心坐标为C(a,O)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(几旳满 足的条件吗？类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如 右图所示，设圆经过极点 0,圆与极轴

7、的另一个交点为 A，则 OA =2a，设MC)为圆上除0,A以外的任意一点，则OM _ AM，所以在 Rt. AMO 中，OM 二 OA cos MOA,即 =2a cost经验证，点O(O,1), A(2a,0)的坐标满足上式.于是上述等式为圆上任意一点的极坐标(匚旳2满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f()=o，并且坐标适合方程f()=o的点都在曲线C上，那么方程fd叫做曲 线C的极坐标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点

8、的极坐标有多组表示形式， 所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程.则这个点在曲线上【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念， 体会概念的提炼、抽象过程. 活动 归纳梳理、理解提升分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似， 就是把曲线看作适合某 种条件的点的集合或轨迹.将已知条件用曲线上的点的极坐标 =的关系式f(c) = 0表示出 来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1) 建立适当的极坐标系，设 M (门)是曲线上任意一点.(2)连接OM，根据几何条件建立关于极径和极角二之间的关系式.(3) 将列出的关系

9、式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程.检验并确认所得方程即为所求.若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证 明可以省略.【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识.探究二探究直线的极坐标方程活动互动交流、初步实践组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程 的步骤，我们动手求解：直线I经过极点，从极轴到直线I的角 为一的直线的极坐标方程3如右图，以极点O为分界点，直线I上的点的极坐标分成射线OM,射线OM 两个部分，射线OM上任意一点的极角都为丄,所以射线0M的极坐标方程为:3（- 0）；3而射线0M 上任意一点的极角都是，所以射线0M的极坐标方程为：二兰（

10、r _ 0）3 3综上：直线I的极坐标方程可以用（_ 0）和二二兰（二0）表示3 3现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？我们定义：若:：: 0，则0，我们规定点M（D 与P（-J）关于极点对称这样就可以将的取值范围推广到全体实数.于是在允许L R，那么上述直线I的极坐标方程就可以写为：；(L R)或 v - 4 ( L R)33【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点. 探究三 探究极坐标方程与直角坐标方程的联系活动 巩固理解，加深认识在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为A（l/ ）,半径为41的圆的极坐标方程是多少呢？

11、如右图所示，设P（门）为圆上任一点，当O,代P三点不共线是，在 OPA中利用余弦定理可得22応2OA2 OP2_2OAOPcosC _）=AP242n.1：_2 ：、cos（）=14即= 2 cos（ ）4当O,代P三点共线时，点P的坐标为（0,）或（2,二），这两点的坐标满足上式，所以上式4 4为所求的圆的极坐标方程在找平面曲线的极坐标方程时，就要找极径p和极角9之间的关系式，常用解三角形（正弦 定理，余弦定理）的知识以及利用三角形的面积相等来建立 p、9之间的关系.【设计意图】巩固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备.活动强化提升、灵活应用还有没有其它方法 来求解様

12、小标力用吨?x轴的正半轴作根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即A佇,今），半径F，所以圆的直角坐标方程为:（一尹5 一尹=1，整理得:x1 2 y2 = . 2x . 2y，因为 x= co，化简得：-2cos(4)y = Psin&，代入直角坐标方程得 P2 =V2PcosT + j2Psine = 2Pcos(T=)【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系.活动巩固基础，检查反馈例1极坐标方程表示（）2A.直线B .射线C.圆【知识点】曲线与极坐标方程.D .

13、椭圆【解题过程】，話2x2所以曲线表示的是圆.由于圆心在极坐标系下为A（1,4），则在直角坐标系下圆心【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断.【答案】C同类训练极坐标方程sin 1（厂2R）表示的曲线是（A .两条相交直线B.两条射线C. 一条直线D. 条射线【知识点】曲线与极坐标方程.【解题过程】：sin二=-22k二(k Z)或二65 二2k二(k Z),又 tr，6(1) 2x _3y _1 =0(2) x2 y2 2y =02 2(3) x - y =10【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程.【解题过程】(1 )由x = Pcos日,y = PsinT ,代入直角坐标方程2x3y-1

14、 = 0得, 2PcosB3Psin&1=0 即 P(2cos8-3sin 8)_1=0(2) 由上同理可得：-2sinr(3)专cos2 JO【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解.【答案】(1) r(2cos3si n 旳一仁 0 ；( 2)亍二-2si ” ; (3)-2 cos -10同类训练把下列极坐标方程化为直角坐标方程.(1) ?si nv-2(2)亍=2cosv-4si nr【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化.【解题过程】(1)由X -COST ,y =“si nr，代入极坐标方程s in - 2得，y = 2，即y - 2 = 0(2) 由：2cosn -4si n

15、r，等式两边同乘以 得 专=2 cos4 2 nr ,所以 x2 y2 =2x-4y , 即：(x -1)2 (y 2)2 =5【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如sinv，亍cost， 2的形式，进行整体代换.【答案】(1) y-2=0 ;(2) (x-1)2 (y 2)2=5.【设计意图】巩固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化.活动4强化提升、灵活应用例3已知直线的极坐标方程为 、n(2)二亍，求点代2,)到这条直线的距离.【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离.【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线

16、的极坐标/-TC* q方程sin() -化为直角坐标方程，得：x y=1.4 2把点A的极坐标(2,匚-)化为直角坐标，得：C2,2)4所以点A(2, 7)到直线、曲匸诗的距离为子-在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A到直线的距离d二【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题.【答案】 同类训练 求极点到直线(sinv -cost) =2的距离.【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离.【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标 方程r(sin r -cosr) =2化为直角坐标方程，得：y-x=2.把极点的极坐标(0,0)化为直

17、角坐标，得：(0,0)在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A到直线的距离d = 0一一22，所以42极点到直线(Sin V -cost) =2的距离为 2 .【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题.【答案】2 .3. 课堂总结知识梳理(1) 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(厂)=0，并且坐标适合方程f(，门)=0的点都在曲线C上，那么方程f()= 0叫做曲线 C的极坐标方程.(2) 求曲线的极坐标方程的一般步骤： 建立适当的极坐标系，设 ML,是曲线上任意一点. 连接OM，根据几何条件建立关于极径丫和极角之间的关系式. 将列出的关

18、系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程. 检验并确认所得方程即为所求.若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略.（3）若0,贝则.0,我们规定点M（T）与P）关于极点对称.重难点归纳（1） 求解平面曲线的极坐标方程时，就要找极径p和极角B之间的关系式,常用解三角形（正弦 定理，余弦定理）的知识以及利用三角形的面积相等来建立 p、9之间的关系.（2） 极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如pcos 9 pin 9 p2的形式，进行整 体代换其中方程的两边同乘以（或同除以）p及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进 行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.

19、（三）课后作业基础型自主突破1 经过极点，从极轴到直线l的夹角是一的直线I的极坐标方程是（）4jiA. 一_（匸 _0）4【知识点】极坐标方程.TtP =4TtD.( r R)4【解题过程】将直线丨画在极坐标系中,易得选项D正确.【思路点拨】根据根据图像进行判断.【答案】D.2.直线*x y= 0的极坐标方程（限定p 0是(7B. 6n7A 7n【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化.【解题过程】由_33xy= 0，得 fcos psin 0= 0，即tan 0= 33，a 0= 和9= 7兀又p0因此直线的方程可以用0= 6和 =舟冗表示【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化.【答案】C3

20、. 极坐标方程cos 0= - （p （表示的曲线是（）.2A 余弦曲线B.两条相交直线C 两条射线D 一条射线【知识点】极坐标方程的求解.【解题过程】T cos 0= 2 , - 0= + 2knK Z).又p0二cos 0=表示两条射线.242【思路点拨】利用三角函数图像可得.【答案】C.4. 圆的极坐标方程p= cos0- 2sin 0对应的直角坐标方程为()1 2251 225A.(x 二)2 (y 1)2B.(x-：)2 (y 1)2 :2 4241 2251 225C.(x -；) (y -1)D.(x 二)(y -1)：424【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化.【解题过程】；

21、t =cos -2sin, t2 二 Tcosv -2?sin，所以 X y2 = x-2y即(x -I)2 ( y 1)2 = 5，所以选 B.2 4【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解.【答案】B.5. 极坐标系内，点(1导)到直线pcos 0= 2的距离是.【知识点】极坐标与直角坐标的转化.【解题过程】点(1,-)的直角坐标为(0, 1),直线pcos 0= 2的直角坐标方程为x= 2,故点(0,21)到直线x= 2的距离是d = 2.【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解.【答案】2.6. 在极坐标系中，A, B分别是直线3 pcos 4 psin 0+ 5 = 0和圆

22、 尸2cos 0上的动点，贝U A,B两点之间距离的最小值是 .【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为 3x-4y+ 5= 0,圆的普通方程为(x- 1)2+ y2二1,则圆心(1, 0)到直线的距离d=|3洙三詈55所以A，B两点之间距离的最小值3 一 5-8 一 5-r-d为【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解.3【答案】5能力型师生共研7. 在极坐标系中，圆p= 2sin B的圆心的极坐标是()3 二A. (1,二)B.(1=)2 2C. (1,0)D. (1,二)【知识点】极坐标与直角坐标互化

23、、圆的标准方程.【解题过程】由 尸2sin B得p= 2 psin 0,化成直角坐标方程为x2 + y2= 2y,化成标准方 程为x2+ (y+ 1)2= 1,圆心坐标为(0, 1),其对应的极坐标为(1, ).2【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解.【答案】B.8 .在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程 为cosC )，M , N分别为C与x轴，y轴的交点.3(1)写出C的直角坐标方程，并求 M , N的极坐标；设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【知识点】极坐标与直角坐标互化、极坐标方程.【解题过程】(1)由cos( )=1，得

24、:(cos 3sin)=13 2 2又 x= pcos 0 y= pin 0,曲线c的直角坐标方程为|+寻=1, 即 x+ 3y2 = 0.当 0= 0 时，尸2, 点 M(2,0).2 由知，M点的坐标（2,0），点N的坐标（0,、3）.3又P为MN的中点，二点卩（1,工），则点P的极坐标为（仝,丄）.336n所以直线OP的极坐标方程为 A 6（ p R）.【思路点拨】把极坐标化为直角坐标求解.【答案】（1）M（2,0），N（2 .、3,=） ； （2） An（ p R）326探究型多维突破9.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线I

25、的极坐标方程为：、cos（ ）=2. 2，曲线C的极坐标方程为4IL2，求直线I与曲线C的交点的极坐标.【知识点】极坐标方程的应用.【数学思想】分类讨论的思想.P = 4sin 日- 得: sin Jcosr【解题过程】由T）L4sin2 二 T，即:sin vcosr - cos2(1)当 COST -0 时，即时，： =42(2)当 cosv0 时，即JT:一时，此时 si- cost，23T交点极坐标为（4,）2【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解.TT【答案】（4,-）.2 210.已知椭圆的中心在坐标原点 O,椭圆的方程为:笃 占=1，a,b分别为椭圆上的两点, a b且 OA

26、 _ OB.1 1求证：斎荷为定值；求”OB面积的最大值和最小值.【知识点】极坐标方程的应用.【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得 a2b2b2cos2 . _2coc2 9，由于 0A丄0B，可设 A（p，9）， Bb cos 9+ a cos 92 2釘 b2sin29 + a2coV 9于是IQaI2+ QBT= P+P=(pcos 9) 2( psin 2 刖 2孑 +b2= X 即 P =n 2a2b2込 & + 2，则社 b2cos2 d + a2sin2 91，2 2 2 2 2 2 2b cos2 0 + a sin 0i + b sin 0i+ a cos 0i

27、帝=2 2a + b11討.所以丽+ lOB2为疋值.1 1(2)解析：依题意得到 Sa AQB = 2|QA|QB| = 2PP =2 21 a2b212 (b2cos2 0i + a2sin2 0i)( b2sin2 d + a2cos 91)22b2ab . 2c，当且仅当 / 2-2 2Sin 2 9 . Z 2(a -b ) + a babSAQB有最大值为ab.2. 2 a b sin 2 9= 1，Saqb有最小值为 22；当 sin 29 = 0，a + b【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解.11a2 + b2a2b2【答案】(1) |QA|

28、2 + |QB= a2b2 ； ( 2) SaAQB有最小值为 孑二$， SAQB有最大值为 学.自助餐1.过点A（2,）且平行于极轴的直线的极坐标方程是（4A.：?sin v - 2 B .sin - - 2 C. cos)- 、 2一【知识点】极坐标方程的求解.如图所示， 在直线 I上任意取点M （ p， 9）（ p 0），过x轴于H.【解题过程】如图所示，Ae在直线I上任意取点 M（），过M作MH-x轴于A(2,) . MH 二 2sin 2，44Rt QMH , MH=OM |sin 日，二 Psin 日=J2,所以，选B【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找门的关系式.【答案】B.

29、2. 极坐标方程分别是尸cosB和psin B的两个圆的圆心距是（）B.2C.1D. 2【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系.【解题过程】：将方程化为直角坐标方程因为p不恒为零,可以用p分别乘方程两边，得p=posB 和p2= pin （bi x2+y2=x和x2+y2=y.它们的圆心分别是（丄,0）、（0,丄），圆心距是上.2 2 2【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解.【答案】A.2 n n3. 在极坐标系中，曲线C:尸2sin （上的两点A, B对应的极角分别为 空，3，则弦长|AB|=【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离.【解题过程】A, B两点的极坐标分别为（.3，空）3二），化为直角坐标为（一三,3）,（二丄）.332222故 AB =、（一 3 一 3）2 （3 一3）2 二 3V 222 2【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解.【答案】3 .n4. 曲线0= 0,0和 尸4所围成图形的面积是 .【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积.【数学思想】数形结合的思想【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线y = 0, y =3x（x 一 0），圆x2 y2 =16，他们围成的是一个圆心角为，半径为4的扇形，所以S|-|r2二