刚体的角动量[教学课堂]

1、1,四、力矩作的功,在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位 移, 那么该力矩也作了功,因为dsi = ri d, 并且cosi = sini , 所以,在刚体转动中, 外力 所作的元功为,mi,1,优质教资,2,式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩,在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的 总功为,式中 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力 矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz,2,优质教资,3,如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为,力矩的瞬时功率可以表示为,式中是刚体绕转轴的角速度,3,优质教资,4,五、动能定理

2、 (theorem of kinetic energy,积分,定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理,4,优质教资,刚体的重力势能,一个质元,整个刚体,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能,5,优质教资,系统- 刚体 + 地球,刚体势能用质心势能表示,机械能守恒的条件仍为,刚体机械能守恒,6,优质教资,7,1) 从开始制动到停止, 飞轮转过的角度,2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功,解：为了求得飞轮从制 动到停止所转过的角度 和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩 和飞轮的角加速度,例4：一个转动惯

3、量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求,7,优质教资,8,闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积,方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦力矩, 所以,摩擦力矩的方向沿z轴的负方向, 故取负值。根据 转动定理 , 可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角 加速度，为,8,优质教资,9,1) 对于匀变速转动, 从开始制动到停止, 飞轮转过 的角度 可由下式求得,所以,2) 摩擦力矩所作的功,9,优质教资,10,另外，还有另外一种求解方法

4、。根据动能定理,10,优质教资,11,例 5：质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面上 , 用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为 M ,半径为r 的圆盘, 轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间的绳子的张力 、滑轮与 m2 之间的绳子的张力 以及物体运动的加速度,M,11,优质教资,12,解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示,解以上四个联立方程式, 可得,12,优质教资,13,此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落 了高度h时, 可以列出下面的能量关系,5,13,优质教资,14,

5、式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率, 是此时滑轮的角速度,因为 , , 所以得,由此解得,6,14,优质教资,15,将 v 2 = 2 a h 代入 (6) 式, 可以求得两个物体的加速度,根据 , 立即可以求得张力T1,6,15,优质教资,16,以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握,如果忽略滑轮的质量，则有,16,优质教资,17,解：（1）要求转动动能Ek，必须求出均匀细棒相对于通过过端点轴的转动惯量J,17,优质教资,18,棒通过平衡位置时低端的线速度为v，则棒此时角速度为,此时棒的转动动能为,2）假设棒处于平衡位置的重力势能为零，当它摆动到最到偏

6、角时，质心位置升高了h，则,18,优质教资,19,根据机械能守恒定律，当棒达到最大偏角时应有,将J和h代入上式，可以得最大偏角,3）在从平衡位置达到最大偏角的过程中，棒受到由自身重力引起的力矩的作用，此力矩与棒的偏角有关，可表示为,19,优质教资,20,棒的角加速度 就是由该力矩引起的。所以，根据转动定理有,解得棒的角加速度为,角加速度的方向与力矩的方向同向，他们都与角速度的方向相反,20,优质教资,21,例题7 一根长度为L、质量为m的均匀棒放置在水平桌面上，其一端固定，在外力矩作用下此棒可绕此固定点沿桌面转动。在某时刻将外力矩撤去，此时棒的角速度为 0 ，由于棒与桌面之间存在摩擦，经过一段

7、时间棒停止运动。若棒与桌面之间的滑动系数为 ，试求从外力矩撤去到棒停止转动，棒转过的转数和摩擦力矩所作的功,解：由于摩擦力矩的作用，棒的转动状态不断改变，最后停止，因此，此题的关键是求摩擦力矩。求得摩擦力矩后，根据转动定理求角加速度，然后根据力矩作功求摩擦力矩所作的功,21,优质教资,22,1）求摩擦力矩,摩擦力矩是由桌面对棒的摩擦力引起的。由于棒上各处到固定点的距离不同，产生的力矩不同。将棒分成若干棒元，棒元长度为dl, 质量为,在距固定端l处的棒元所受桌面的摩擦力,此摩擦力对棒提供的力矩为,22,优质教资,23,若取z轴垂直桌面向上，棒的角速度沿z轴向上，为正值，而摩擦力矩的方向必定沿轴的

8、负方向，故取负值。则摩擦力矩为,2）求角加速度,根据转动定律,其中，棒相对一端的转动惯量,角加速度为负值，表示为减速转动,23,优质教资,24,3）求外力矩撤去后棒转过的转数,选求转过的总角度。根据匀变速定轴转动规律,将 代入上式,转动的转数为,4）求摩擦力矩所作的功,24,优质教资,25,另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理,将转动惯量 代入上式即可,25,优质教资,26,设刚体绕z轴作定轴转动， 体元mi对轴的角动量,lzi = ri mi vi,整个刚体对转轴的角动量,Lz等于转动惯量与角速度的乘积,一、刚体对转轴的角动量 (Angular momentum,5-3 定轴转动刚体的角

9、动量守恒定律,26,优质教资,27,注意,2. 在刚体对转轴的角动量的表达式中， 所涉及的三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢量式,3. 对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量L必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢量式,1. 与质点动量表达式对比,27,优质教资,28,二、刚体对转轴的角动量定理,由上式得到,刚体对转轴的角动量定理 作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩,28,优质教资,29,对上式积分得到角动量定理的积分形式,该式表示：动量的增量等于力矩对定轴转动刚体的时间累积效应,29,优质

10、教资,30,刚体对转轴的角动量守恒定律 当定轴转动的 刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一 转轴的角动量不随时间变化,刚体组绕同一转轴作定轴转动时 , 系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改 , 角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变,三、刚体对转轴的角动量守恒定律,30,优质教资,31,注意,1. 该定律的应用条件，是刚体或刚体组必须满足所受外力的合力矩为零,2. 角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴,3. 若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚体之间可以发生相对运动，但是它们必须是相对于同一转轴在转动,31,优质

11、教资,32,刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ，如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作, 都利用了对转轴的角动量守恒定律,32,优质教资,33,花样滑冰中常见的例子,花 样 滑 冰,33,优质教资,34,34,优质教资,35,例1: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有 一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置，求由此下摆 角时的角加速 度和角速度,解: 棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O的力矩。 重力作用在棒的重心 , 当 棒处在下摆 角时，重力 矩为,35,优质教资,36,棒处于角时的角加速度为,由角加速度的定义,重力对整个棒

12、的合力矩与全部重力集中作用在质 心所产生的力矩一样。因为棒绕轴O的转动惯量为,36,优质教资,37,作如下变换,将上式两边积分,角速度为,37,优质教资,38,例题2 一个质量为100kg的圆盘状平台，以1.05rad s-1的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边缘站着一个质量为60kg的人。问当人从平台边缘走到盘的中心时，平台的转速时多少,解：因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩的作用。若把人和平台看成一个系统，应满足角动量守恒定律，则,当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为,38,优质教资,39,当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等于平台本身的转动惯量，即,将J1和J2代入

13、角动量守恒定律,39,优质教资,如图所示，细杆（l，m）可绕端点O的水平轴转动，从水平位置自由释放，在竖直位置与物体M相碰，物体与地面摩擦系数为，相撞后，物体沿水平地面滑行一段s 后停止,例3,求：碰后杆质心C离地最大高度，并说明杆向左右摆的条件,解,1） 自由下落过程,E守恒,2） 杆物相碰,L守恒,40,优质教资,3） 碰后物体滑动,动能定理,杆向右摆,杆向左摆,4） 碰后杆摆动,E守恒,41,优质教资,二、基本特征 回转仪 绕对称轴高速旋转 陀螺 1)对称轴 高速 2)定点 外力对定点求力矩 对称轴绕定点旋转,三、解释 1）必须具有对称轴 2）高速旋转,重力对定点O 的力矩,每瞬时外力矩

14、只改变角动量的方向不改变角动量的大小,一、进动现象,已经自转的物体在外力矩的作用下，自转轴绕另一轴转动的现象称为进动,刚体的定点运动 进动,42,优质教资,陀螺的自旋角动量为,当,时,则,只改变方向，不改变大小（进动,角动量定理,43,优质教资,进动角速度,而且,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,角动量定理,44,优质教资,不受外力矩作用高速旋转的陀螺，由于角动量守恒，因而其转动轴的方向不变,自由陀螺的定向特性在航天、航空等领域中具有重要的意义,45,优质教资,46,一、固体在外力作用下的一般情形,形变 固体受外力作用所发生的形状变化，分为弹 性形变和塑性形变,应力 固体横截面单位面积 上

15、内力的改变量。应力是固体 在单位横截面上产生的弹性力,应变 固体在外力作用下所 发生的相对形变量,固体受力作用而被拉伸的整 个过程如图所示,5-4 固体的形变和弹性,46,优质教资,47,曲线OP为直线，应力 与应变成正比，点P的应力是满足比例关系的最大应力，称比例极限（ P）。点E的应力E是发生弹性形变的最大应力，称弹性极限。当应力 E时，发生塑性形变,点C 对应的应力为 C，若 把外力撤除，固体的应力与 应变的关系沿O C变化，留下一定的剩余形变OO,当应力达到点 B 对应的应力 B时，固体就断裂， B称强度极限,47,优质教资,48,有些固体的弹性极限与强度极限十分接近，因 而塑性形变很

16、小，称为脆体；有些固体的弹性极 限与强度极限相距较远，可以产生很大的塑性形 变，称为可塑体,实验发现，固体发生塑性形变后的硬度增大了， 若再要使它发生塑性形变，需要的外力比先前要 大。称为加工硬化,二、固体的弹性形变 (Elastic deformation,弹性形变有多种，最简单的是长变和剪切,长变 固体在外力作用下沿纵向拉伸或压缩,48,优质教资,49,设有一均匀棒，如图所示,拉力规定为正力，形变L也 是正的，固体被拉伸，如图 (a,压力规定为负力，形变L也 是负的，固体被压缩，如图 (b),在长变的情况下，固体的拉 伸应变n为,固体受到力Fn发生长变，在任一横截面上出现的 应力 n为,4

17、9,优质教资,50,比例系数Y 称为材料的长变弹性模量，或杨氏模 量，它决定于固体材料自身的性质,剪切 当固体受到大小 相等、方向相反、相距很 近的两个平行力作用时， 在两力间的固体各横截面 将沿外力方向发生相对错 动。物体错动的角度称为 剪切角 ，如图所示,50,优质教资,51,固体的剪应变 t为,根据胡克定律，应有 t = G t,比例系数G称为固体材料的剪切模量，简称剪模量,若横截面的面积为S，则剪应力,由于外力 与作用面是平行的，故固体横截面上 产生的应力都与该截面相切，因而称为剪应力，如 图所示,51,优质教资,52,对于一定物体，外界物体对它的作用力就是外力;物体内部各部分之间的相

18、互作用属于内力。对于固体而言，组成固体的物质粒子之间存在强烈的相互作用，这种相互作用就是内力的来源,当物体受外力作用而形变时，组成固体的物质粒子之间将发生相对移动，致使内力改变。这种内力的改变就是弹性回复力的来源，当外力撤出后，固体在弹性回复力的作用下，恢复形变,52,优质教资,53,固体横截面单位面积上内力的改变量就是应力，或者说，固体横截面单位面积上所产生的弹性回复力就是应力,53,优质教资,刚体力学小结,一、运动学,描写刚体转动的物理量,1. 角量,线量,微积分关系,2. 角量与线量的关系,3. 方向： 右手螺旋法,4. 匀角加速转动公式,54,优质教资,二、动力学,1. 基本概念,力矩,转动惯量,转动动能,转动角动量,定轴转动,定点、定轴,定点,2. 基本定理,转动定律,定轴转动中力矩的瞬时作用规律,55,优质教资,转动动能定理,角动量定理,力矩的持续作用规律,功能原理,