数学ⅴ北师大版1.3第3课时等比数列的前n项和学案+练习

1、数学北师大版1.3 第 3 课时等比数列的前n 项和学案 +练习知能目标解读1. 掌握等比数列的前 n 和公式的推 方法 - 位相减法， 并能用其思想方法求某 特 数列的前 n 和 .2. 掌握等比数列前n 和公式以及性 ，并能 用公式解决有关等比数列前n 的 . 在 用 ，特 要注意q=1 和 q1 两种情况 .3. 能 利用等比数列的前n 和公式解决有关的 用 .重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前 点：研究等比数列的 构特点，推 等比数列的前n 和公式解决有关 .n 和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1. 等比数列的前 n 和公式1 等比数列 an ，其首 a1，

2、公比 q，那么其前n 和公式 na1.( q=1)n=sa1(1qn )( q 1)1q也确 是 ， 公比 q 的等比数列的前n 和公式是q 的分段函数的一系列函数 ，分段的界限是在q=1 处 . 因此，使用等比数列的前n 和公式，必 要弄清公比q 是可能等于 1 依旧不等于1，假如 q 可能等于 1，那么需分 q=1 和 q 1 行 .2等比数列 an 中，当 a1, q( q 1) ， n ，用公式 sn= a1 (1qn ) ，当 a1, q( q 1) ，an ，1q用公式 sn= a1anq .1 q2. 等比数列前 n 和公式的推 除 本上用 位相减法推 求和公式外， 能 用下面的

3、方法推 .(1) 合比定理法由等比数列的定 知：= = .a2a3anqa1a2an 1当 q 1 ， a2a3an=q, 即 sna1 =q.a1a2an 1snan故 s = a1an q = a1 (1 qn ) .n1q1 q当 q=1 ， sn=na1.(2) 拆 法sn=a1 +a1q+a1q2+ +a1qn- 1=a1+q( a1 +a1q+ +a1qn- 2)= a1+qsn- 1=a1+q( sn- an)当 q 1 ， s= a1an q = a1 (1 qn ) .n1q1 q当 q=1 ， sn=na1.(3) 利用关系式 sn- sn- 1=an( n 2)当 n 2

4、 ， sn=a1+a2+a3+ +an=a1+q( a1+a2+ +an- 1)= a1+qsn- 1s =a +q( s - a )n1nnn即(1- q) sn=a1(1- q )当 1 ，有n=(1n,qsa1q)1q当 q=1 ， sn=na1.注意：(1) 位相减法，合比定理法，拆 法及 an 与 sn 的关系的 用，在今后解 中要 常用到，要 会 些技巧 .(2) 位相减法适用于 n 等差数列， n 等比数列，求 n n 的前n 和 .aba b3. 等比数列前 n 和公式的 用1衡量等比数列的量共有五个：a1 , q,n,a n, sn. 由方程 知 可知，解决等比数列 ， 五个

5、量中只要其中的任何三个，就能 求出其他两个量.2公比 q 是否 1 是考 等比数列 的重要因素，在求和 ， 注意分 q=1 和 q1 的 论.4. 等比数列前 n 和公式与函数的关系(1) 当公比 q 1 ，令 a=a1，那么等比数列的前n 和公式可写成sn =- aqn+a 的形式 .1q由此可 ，特 数列的等比数列的前n 和n 是由关于n的一个指数式与一个常数的和构s成的，而指数式的系数与常数 互 相反数.当公比q=1 ，因 1 0，因此s=1 是n的正比例函数常数 0 的一次函数 .anan(2) 当 q 1 ，数列 s1, s2,s 3, , sn, 的 像是函数y=- aqx+a 像

6、上的一群孤立的点 . 当 q=1 ，数列 s1, s2 , s3, , sn, 的 像是正比例函数y=a1x 像上的一群孤立的点.知能自主梳理1. 等比数列前 n 和公式1等比数列 an 的前n 和 n, 当公比q 1 ，n=; 当 q=1ss ， s=.n(2) 推 等比数列前n 和公式的方法是.2. 公式特点n的前nnq 0, q 1 ，那么数列n 1 假 数列 a n 和 s=p(1- q )( p 常数 ) ，且 a 为.2在等比数列的前n 和公式中共有 a1, an, n,q,s n 五个量，在 五个量中知求.答案1. 1 a1(1qn )a1anqna1 (2) 位相减法1q1q2

7、. 1等比数列 2三二思路方法技巧例 1设数列 an是等比数列，其前n 项和为 sn,且 s3=3a3, 求此数列的公比 q.分析应用等比数列前n 项和公式时，注意对公比q 的讨论 .解析当 q=1 时， s=3a =3a , 符合题目条件；31312当 q 1 时， a1 (1 q3) =3a q ,1q因为 a1 0, 因此 1 q3=3q2(1-q),2q3 -3 q2+1=0,( q-1) 2(2 q+1)=0,解得 q=- 1 .2综上所述，公比q 的值是 1 或 1 .2说明 1在等比数列中， 关于a1,n,q,n,sn 五个量， 其中三个量， 能够求得其余两个量.a2等比数列前n

8、 项和问题，必须注意q 是否等于 1，假如不确定，应分q=1 或 q1 两种情况讨论 .3等比数列前n项和公式中，当 1 时，假设 1,q,n利用n=n)来求；假设1,an,qas a1(1qaq1q利用n=a1an q来求 .s1q变式应用 1在等比数列 an 中 , s3= 7 , s6=63 , 求 an.22解析 s6= 63 , s3= 7 ,22s6 2s3， q 1.a1 (1q3 ) = 7 1q2a1(1q6 ) = 63 1q2得1+q3=9, q=2.将 q=2 代入，得a1= 1 ,2 an=a1qn- 1=2n- 2.命题方向等比数列前n 项的性质例2在等比数列 an

9、 中， sn=48, s2n=60, 求s3 n.分析利用等比数列前n 项的性质求解.解析 an 为等比数列，sn, s2n- sn, s3n- s2n 也成等比数列， ( s2n- sn) 2=sn( s3n- s2n)s =( s2nsn )2+s =(6048)2+60=63.3n2nsn48说明等比数列连续等段的和假设不为零时，那么连续等段的和仍成等比数列.变式应用2 等比数列 an 中， s2=7，s6=91, 求 s4.解析解法一： an 为等比数列，s2 ，s4- s2， s6- s4 也为等比数列，2 s4-7 =7 91- s4，解得 s4=28 或 -21.s4=a1+a2

10、+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =s2+s2q2=s2(1+ q2)0,s4=28.解法二： s2=7, s6=91, q 1.2=7a1 (1q )a1 (1q6 ) =911 q 得 q4+q2-12=0, q2=3, q= 3 .当 q=3 时， a1= 7( 3 1) ,2s4= a1(1q4 ) =28.1q当 q=-3时， a =- 7( 3 1) ,12 4=q4=28.s a1(1)1q探究延拓创新命题方向等比数列前 n 项和在实际问题中的应用例 3某公司实行股份制，一投资人年初入股a 万元，年利率为 25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x

11、 万元 .1分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；2写出第 n 年年底，此投资人的本利之和bn 与 n 的关系式不必证明 ；3 第20 年年底此投 人的本利和关于原始投 a=395, 那么 x 的 多少 ?( 在 算中可使用lg2 0.3)a万元恰好翻两番的目 ，假 解析 (1) 第一年年底本利和 a+a25%=1.25a,2223第三年年底本利和 1.25 a-1.25 x-x +(1.25a-1.25 x-x )25%=1.25 a-(1.252+1.25)x.(2) 第 n 年年底本利和 nnn- 1n- 2+ +1.25)x.b =1.25a-(1.

12、25+1.25(3) 依 意，有395 1.25 20-(1.2519+1.25 18+ +1.25) x=4 395, x=20395(1.254)1.251= 0.25 395 (1.2520 4) . 1.2520 1.2520设 1.25=t , lg t =20lg 10 =20(1-3lg2)=2.8t =100, 代入解得x=96. 式 用3 某大学 教授年初向 行 款2 万元用于 房， 行 款的年利息 10，按复利 算 即本年的利息 入次年的本金生息. 假 笔款要分10 年等 清， 每年年初 一次，同 以 款后次年年初开始 ， 每年 多少元？解析第 1 次 款 x 元之后到第

13、2 次 款之日欠 行20000 110 x=20000 1.1 x,第 2 次 款 x 元后到第 3 次 款之日欠 行 20000(1+10%)- x (1+10%)- x=20000 1.1 2-1.1 x-x ,第 10 次 款 x 元后， 欠 行 200001.1 10 1.1 9x-1.1 8x- - x,依 意得，第10 次 款后，欠款全部 清，故可得20000 1.1 10 1.1 9 1.1 8 1x=0,解得 x= 20000 1.1100.1 3255( 元).1.1101名师辨误做答例 4求数列1， a+a2, a3+a4+a5, a6+a7+a8 +a9, 的前 n 和

14、. 解所求数列的前n 和 sn=1+a+a2+a3+a n(n 1)12=n(n 1) .1 a21a辨析所 数列除首 外，每一 都与a 有关， 而条件中没有a 的范 ， 故 a 行 论.正解由于所 数列是在数列1, a,a 2, a3, 中依次取出1 ， 2 ， 3 ， 4 ，的和所 成的数列. 因而所求数列的前n 和中共含有原数列的前1+2+ + . 因此nn( n1)1) . 当 a 0 且 a1 ，sn=1+a+a2+ +a 21 . 当 a=0 ， sn=1. 当 a=1 ， sn= n(n2n=n (n 1) .s21 a1a课堂巩固训练【一】 1. 等比数列 an 的公比 q=2

15、，前 n 和 sn，那么 s4 =a2a.2b.4c. 15d. 1722答案 c解析由 意得s4= a1 (224 ) =15. 应选 c.12a22a122. 等比数列 n 的前 3 和等于首 的3 倍，那么 等比数列的公比 aa.-2b.1c.-2 或 1d.2 或 -1答案 c解析由 意可得，a1+a1q+a1q2=3a1, q2+q-2=0, q=1 或 q=-2.3. 等比数列 2 n 的前 n 和 sn=a.2 n- 1b.2 n-2c.2 n+1-1d.2 n+1-2答案 d解析等比数列2n的首 2，公比 2.sn=n+1应选 d.n)2(12n)=2-2,a1(1q1q12【

16、二】填空 4. 假 数列 a 足： a=1, an+1=2a nn ，那么 a =; 前 8 的和 s =n1n+58. 用数字作答答案 16255解析考 等比数列的通 公式和前n 和公式 .4q= an 1 =2, a5=a1 q =16,ans8= a1 (1q8 ) =28-1=255.1q5. 在等比数列 an 中， sn 表示前 n 和，假 a3=2s2+1, a4=2s3+1, 那么公比 q=.答案 3解析 a3=2s2+1, a4=2s3+1,两式相减，得a3- a4=-2 a3, a4=3a3, q=3.【三】解答题6. 在等比数列 an 中， a6- a4=24， a3 a5

17、=64，求数列 an 的前 8 项和 .解析解法一：设数列 an 的公比为 q，依照通项公式an=a1qn- 1，由条件得a6- a4 =a1q3( q2-1)=24,a3a5=( a1q3) 2=64, a1q3= 8.将 a1q3=-8 代入式，得 q2=-2, 没有实数 q 满足此式，故舍去 .将 a1q3=8 代入式，得 q2=4, q=2.当 =2 时，得a1=1, 因此8=255;qsa1(1q8 )1q当 q=-2时，得 a1=-1 ，因此 s8= a1(1q8 ) =85.1q解法二：因为 an 是等比数列，因此依题意得a24=a3a5=64,a4= 8, a6=24+a4=2

18、4 8.因为 an 是实数列，因此a6 0,a4故舍去 a4=-8, 而 a4=8， a6=32，从而 a5= 16.a4a6公比 q 的值为 q= a5=2,a4当 q=2 时， a1=1, a9=a6q3=256, 8=a1=255;sa91 q当 q=-2 时， a1=-1 ， a9=a6q3=-256,s8= a1a9=85.1q课后强化作业【一】选择题1. 等比数列 an 中， a2=9, a5=243, 那么 an 的前 4 项和为a.81b.120c.168d.192答案 b3解析公式q = a5 = 243 =27, q=3, a1= a2 =3,a29qs4= 3(134 )

19、 =120.1 32. 等比数列的前 n 和 sn=4n+a，那么 a=a.-4b.-1c.0d.1答案 b解析 等比数列 an，由得 a1=s1=4+a,a 2=s2- s1=12,2a3=s3 - s2=48, a 2=a1a3,即 144=(4+ a) 48， a=-1.3. 等比数列的公比 2，且前 5 和 1，那么前 10 和等于a.31b.33c.35d.37答案 b解析解法一：s515)= a (125 ) =1a (1q11q12a1= 131s = a1 (1q10 ) =(12 ) =33, 应选 b.101101q3112解法二： a1+a2+a3+a4+a5=1 a6+

20、a7+a8+a9+a10=( a1+a2+a3+a4+a5) q5=1 25 32s10 a1+a2+ +a9+a10 =1+32=33.4. 等比数列 a 中，公比q是整数，14=18,2+ 3=12, 那么此数列的前8 和 a +aa ana.514b.513c.512d.510答案 d1+ 1 3=18a a q解析由得，a1q+a1q2=12解得 q=2 或 1 .2q 整数， q=2. a1=2.s8= 2(128 ) =29-2=510.1 25. 设 an 是由正数 成的等比数列， sn 其前 n 和， a2a4=1, s3=7，那么 s5=a. 15b. 31c. 33d. 1

21、72442答案 b2解析设公比为q, 那么 q0, 且 a 3=1,即 a3=1. s3=7, a1+a2+a3= 1 + 1 +1=7,q2q即 6q2- q-1=0, q= 1 或 q=- 1 ( 舍去 ) ，2 3 a1= 1 =4.q2 5=8 1- = .s1 ）1314（1254251126. 在等比数列 an n n+中，假设 a1=1, a4= 1 , 那么该数列的前 10 项和为8a.2 1b.2 1c.2 1d.2 12829210211答案 b解析 a1=1, a4= 1 ,8q3= a4= 1 , q= 1 .a182s10 =1 10=2 1- 1 10 =2-1 ,

22、 应选 b.11 （2 ）2291127. 等比数列 an的前 n 项和为 sn, s3=3, s6=27, 那么此等比数列的公比q 等于a.2b.-2c. 1d.-122答案 a3=q3 )=3, sa1 (11q解析s6= a1 (1q6 ) =27, 1 q 得6 =9, 解得 q3=8.1q1q3q=2, 应选 a.8. 正 等比数列an 足 a2a4=1, s3=13, bn=log 3an, 那么数列 bn的前 10 和是a.65b.-65c.25d.-25答案 d解析 an 正 等比数列，a2a4=1, a3=1, 又 s3=13, 公比 q 1.又 s3= a1 (1q3 )

23、=13, a3=a1q2,1q解得 q= 1 .3n3 n- 31 )n- 33- na =a q=(=3 ,3 bn=log 3an=3- n. b1=2, b10=-7.s10 =10(b1b10 ) = 10 ( 5) 25.22【二】填空 9. 等比数列1 ， -1 ， 3，的前10 和 .3答案 -147623解析 s =1( 3) =-14762 .10110331310. 2017北京文， 12在等比数列 an中，假 a1= 1, a4=4, 那么公比 q=2; a1+a2+ +an=.答案 2,2 n- 1- 12解析此 要 考 等比数列的差不多知 ，利用等比数列的前n 和公式

24、可解得.3a4 =q =8，因此 q=2，因此4a1122n- 1( n 正奇数 )11. 数列 an 中， an=，那么 a9=12n=1nn- 1- 1 .a+a + +a2(1 2 ) =2122.2n-1 n 正偶数 数列 an 的前 n 和 sn，那么 s9=.答案 256377解析 a9=28=256，9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.s12. 在等比数列 an 中，关于任意n222n n+, 有 a1+a2+ +an=2 -1,那么 a1+a 2+ +a n=.答案 1 4n- 133解析 a1+a2+ +an=2n-1,n- 1a1+a2+ +an-1 =2-1( n 2),两式相减，得an=2n-1-2 n- 1+1=2n - 2n- 1=2n- 1,a2=(2n- 1)22n-2=4n- 1,n=22+2+ +2n=n.a12a14=1 4 -1an1433【三】解答 13. 在等比数列 an 中， a3=1 1 ， s3=4 1 ，求 a1 与 q.22s3 = a1 (1q3 ) =4 11q2解析 1假 q 1, 那么，2a3=a1q =1 12从而解得 q=1 或 q=- 1 .q=-212 q 1, .a1=6s3=3a1=4 1 q