常用微分公式[基础教育]

1、1-3 微分公式(甲)基本函数的微分公式(1)=nxn-1，nN 。 (2)。 (3)=0，其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx (5)(cosx)/=-sinx另一种表示： (xn)/=nxn-1 = (c)/=0证明：(2)设a为f(x)=定义域中的任意点， 则f /(a)= = =()= ()(4)设a为任意实数，f(x)=sinx = = 计算f /(a)= =()=cosa。(1)(3)(5)自证(乙)导数的四则运算(1)f(x)与g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。 且(f(x)+g(x)= (f(x)+ (g(x)成立。 另一种表示：(f(x)+g(

2、x)/=f /(x)+g/(x) 证明：令h(x)=f(x)+g(x)，设a为h(x)定义域中的任一点 h/(a)= = =( + )=()+() =f /(a)+g/(a)例：求？推论：(f1(x)+f2(x)+.+fn(x) = (2)设f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。 且(cf(x)=c，特别c= -1时，(-f(x)=-。 (3)，另一种表示：(f(x)-g(x)/=f /(x)-g/(x)(4) (c1f1(x)+c2f2(x)+.+cnfn(x)= c1(f1(x)+c2(f2(x)+.+cn(fn(x)例如：(1) (anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0

3、) (2)(3x5-2x3+4)/ =？(5)f(x)，g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。 且 (f(x)g(x)= (f(x)g(x)+f(x) (g(x) 另一种表示：(f(x)g(x)/=f /(x)g(x)+f(x)g/(x) 证明：例如：试求下面我们要推导例2的一般情形：(a)=(b)(逐次轮流微分)(c)如果，则可得例如：试求的导数。例題1 证明。(6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且， 则。 因此可得： 若f(x)=1，则()/= 例如：试求的导函数。例如：求()/=？例如：设为负有理数，证明。结论：若设r为有理数，则。例題2 求下列各函数的导函数：(

4、1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x-2)3(x2-1) (3)(x2+x+1)(4x3+x-4)(x+3)(3) (4)Ans：(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x-2)2(5x2-4x-3) (3)(2x+1)(4x3+x-4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x-4) (4) (5)例題3 请利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=-sinx的结果证明：(tanx)/=sec2x，(secx)/=secxtanx(練習1.) 试求下列的导函数：(1)x3-6x2+7x-11 (2)(x3+3x)2(2x+1

5、) (3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1) (4)(2x3+x+1)5Ans：(1)3x2-12x+7 (2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x) (3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2)(6x+1) (4) 5(2x3+x+1)4(6x2+1)(練習2.) 求下列各函数的导函数。(1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)= (4)f(x)=Ans：(1) (2) (3) (12x2+6x+2) (4)(練習3.) 证明，(丙)连锁法则(1)合成函数：(a)设，则。 ， 所以为x的函数

6、。(b)(2)连锁法则：既然为x的函数，我们就可以讨论例： 设，则 利用，可得 = 上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。定理：(连锁法则 Chain Rule) 若f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数亦可微分， 而且。例題4 求？一般情形：，f(x)可微分，求=?例題5 求f(x)=sin2x的导函数。Ans：2sinxcosx例題6 求下列函数的导函数：(1)(2)(3)Ans：(1)3tan2xsec2x (2)-5csc5xcot5x (3)(練習4.) 设n为正整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x)n的导函数。Ans：n(f(x)n-1f /(x)(練習5.

7、) 求(=？Ans： (4x3+6x-1)(練習6.) Ans：(練習7.) 求下列各小题y/ (1) (2) (3)(4) (5) Ans：(1) (2) (3) (4) (5)(練習8.) 计算下列各小题：(1)(x)/=？ Ans：(2) ()=？ Ans：(3)求f(x)=的导函数。 Ans：f /(x) = (練習9.) 设可微函数f(x)满足f()=x，则f /(0)=？ Ans：2例題7 试求？(練習10.) 试求的导函数。 Ans：(練習11.) 求f(x)=的导函数。 Ans：f /(x)= (練習12.) ，求f /(3)=？ (練習13.) 设y=(x+)10，试求=？

8、Ans：(x+)10例題8 求斜率为2，而与曲线y=f(x)=x3-x2+ 相切之直线方程式。Ans：4x-2y+3=0，2x-y-3=0(練習14.) 求过曲线y=f(x)=x3+x2-2的点，而斜率最小的切线方程式。Ans：y+=(-1)(x+1)(練習15.) 求通过y=x3-3x2-4x-1上x=1处之切线与法线方程式。Ans：7x+y=0，x-7y-50=0(練習16.) 函数f(x)=的图形上以(0,-1)为切点的切线斜率为 。Ans：1例題9 设拋物线y=ax2+bx+c与直线7x-y-8=0相切于点(2,6)，而与直线x-y+1=0相切，求a,b,c之值。 Ans：a=3,b=

9、-5,c=4 (85 日大 自然)例題10 直角坐标上，给定一曲线G：y=x3-3x2，自点P(2,-5)向G所作的切线方程式。Ans：3x+y-1=0，15x-4y-50=0(練習17.) 过原点且与曲线y=x3-3x2-1相切之直线方程式。Ans：y=-3x，y=。(練習18.) 设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1)，且与直线x-y=3相切于(2,-1)。求a,b,c 之值Ans：a=3，b=-11，c=9例題11 设a,b,c为实数，已知二曲线y=x2+ax+b与y=-x3+c在点A(1,-2)处相切，L为两曲线在A点的公切线，试求(1)a,b,c (2)求L的方程式。Ans：(1

10、)a=-5，b=2，c=-1 (2)3x+y-1=0(練習19.) 拋物线G：y=p(x)的对称轴平行于y轴，且G与x轴交于点(2,0)，并在x=1时与函数y=x4+1的图形相切，试求p(x)=？ Ans：p(x)=-6x2+16x-8(練習20.) 求y=x3-3x，y=x3-3x+32两曲线的公切线方程式。Ans：9x-y+16=0综合练习1. (1) ，求=? (2)，求f /()=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求f /(x) Ans：(1) (2) (3) 2. 求下列各函数的导函数：(1) (2) (3)Ans：(1)(2) (3)3. 试求下列个函数的导函数：(1) (2)(3) (4)(5) (6) (7) (8)Ans：(1)(2)(3)(4) (5) (6)0 (7) (8)4. (1)设，若f /(1)=2，则a=? (2)设，则f /(2) =? Ans：(1)2 (2)5. 设，求=? Ans：6. 求在(1,0)的切线方程式与法线方程式。Ans：y=0,x=17. 曲线在x= -1处之切线方程式。Ans：2