高中数学 第二章 随机变量及其分布 24 正态分布

1、第二章,随机变量及其分布,2,4,正态分布,学习目标,1,利用实际问题的直方图，了解正态曲,线的特点及正态曲线所表示的意义,重点,2,能借助正,态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义,重点,3,会,利用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率,难,点,1,正态曲线及其性质,1,正态曲线,函数,x,1,2,e,x,2,2,2,x,其中实数,0,为参数，我们称,x,的图象为正,态分布密度曲线，简称正态曲线,2,正态曲线的性质,曲线位于,x,轴,上方,与,x,轴不相交,曲线是单峰的，它关于直线,x,对称,曲线在,x,处达到峰值,_,曲线与,x,轴之间的面积为,1,1,2,当,一定时，曲线随着,的变化而

2、沿,x,轴平移,如图所示,当,一定时,曲线的形状由,确定,越小,曲线,越“瘦高,表示总体的分布越集中,越大,曲线越“矮,胖”，表示总体的分布越分散，如图所示,图,图,2,正态分布,一般地，如果对于任何实数,a,b,a,b,随机变量,X,满足,P,a,X,b,b,a,x,d,x,则称随机变量,X,服从正,态分布,normal distribution,正态分布完全由参数,和,确定，因此正态分布常记作,N,2,如果随机变量,X,服从正态分布，则记为,X,N,2,3,正态总体在三个特殊区间内取值的概率,1,P,X,0.682 6,2,P,2,X,2,0.954 4,3,P,3,X,3,0.997 4

3、,4,3,原则,通常服从正态分布,N,2,的随机变量,X,只取,3,3,之间的值,1,思考判断,正确的打“”，错误的打“,1,正态密度曲线,y,x,关于直线,x,0,对,称,2,正态总体,N,3,4,的标准差为,4.,3,在正态分布中参数,是反映随机变量取值的平均,水平的特征数,可以用样本均值去估计,是衡量随机变,量,总,体,波,动,大,小,的,特,征,数,可,以,用,样,本,标,准,差,去,估,计,解析,1,错正态曲线关于直线,x,对称,2,错由,2,4,0,知,2,3,对由正态分布的概念知,3,正确,答案,1,2,3,2,已知随机变量,X,服从正态分布,N,2,2,则,P,X,2,等于,A

4、,1,5,B,1,4,C,1,3,D,1,2,解析,由题意知的,X,均值为,2,因此,P,X,2,1,2,答案,D,3,已知随机变量,X,服从正态分布,N,3,1,且,P,2,X,4,0.682 6,则,P,X,4,A,0.158 8,B,0.158 7,C,0.158 6,D,0.158 5,解析,P,3,X,4,1,2,P,2,X,4,0.341 3,P,X,4,0.5,P,3,X,4,0.5,0.341 3,0.158 7,答案,B,4,正,态,分,布,的,概,率,密,度,函,数,P,x,1,2,2,e,x,5,2,8,在,3,7,内取值的概率为,_,解析,由题意可知,X,N,5,4,且

5、,5,2,所以,P,3,X,7,P,X,0.682 6,答案,0.682 6,5,设随机变量,服从正态分布,N,2,9,若,P,c,1,P,c,1,则,c,_,解析,由正态分布的性质及条件,P,c,1,P,c,1,得,c,1,c,1,2,2,所以,c,2,答案,2,类型,1,正态曲线及其性质,自主研析,典例,1,下面是关于正态曲线性质的叙述,曲线关于直线,x,对称,这条曲线在,x,轴的上方,曲线关于直线,x,对称，这条曲线只有当,x,时才在,x,轴的上方,曲线关于,y,轴对称,因为曲线对应的正态分布密度,函数是一个偶函数,曲线在,x,时位于最高点，由这一点向左、右两,边延伸时，曲线逐渐降低,曲

6、线的位置由,确定，曲线的形状由,确定,越大,曲线越,矮胖,越小,曲线越,瘦高,其中正确的是,A,只有,B,只有,C,只有,D,只有,解析,正态曲线是一条关于直线,x,对称,当,x,时处于最高点,由该点向左,右两边无限延伸并逐渐降低,的曲线，该曲线总是位于,x,轴的上方，曲线的位置由,确定，曲线的形状由,确定,越大，曲线越,矮胖,越小，曲线越,瘦高,故应选,A,答案,A,归纳升华,利用正态曲线的性质可以求参数,1,正态曲线是单峰的，它关于直线,x,对称，由此,性质结合图象求,2,正态曲线在,x,处达到峰值,1,2,由此性质结合,图象可求,3,由,的大小区分曲线的胖瘦,变式训练,若一个正态分布的概

7、率密度函数是一,个偶函数,且该函数的最大值为,1,4,2,则该正态分布的概,率密度函数的解析式是,_,解析,由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函,数，所以其图象关于,y,轴对称，即,0,由,1,2,1,4,2,得,4,故该正态分布的概率密度函数是,x,1,4,2,e,x,2,32,x,答案,x,1,4,2,e,x,2,32,x,类型,2,利用正态曲线的对称性求概率,典例,2,在一次测试中，测量结果,X,服从正态分布,N,2,2,0,若,X,在,0,2,内取值的概率为,0.2,求,1,X,在,0,4,内取值的概率,2,P,X,4,解,1,由于,X,N,2,2,对称轴,x,2,画出示意图,因为,

8、P,0,X,2,P,2,x,4,所以,P,0,X,4,2,P,0,X,2,2,0.2,0.4,2,P,X,4,1,2,1,P,0,X,4,1,2,1,0.4,0.3,归纳升华,1,充分利用正态曲线的对称性和曲线与,x,轴之间面积,为,1,2,熟记,P,X,P,2,X,2,P,3,X,3,的值,3,注意概率值的求解转化,1,P,X,a,1,P,X,a,2,P,X,a,P,X,a,3,若,b,则,P,X,b,1,P,b,X,b,2,变式训练,若随机变量,服从正态分布,N,0,1,已知,P,1.96,0.025,求,P,1.96,解,由随机变量,服从正态分布,N,0,1,得,P,1.96,1,P,1

9、.96,所以,P,1.96,P,1.96,1.96,P,1.96,P,1.96,1,2,P,1.96,1,2,P,1.96,1,2,0.025,0.950,类型,3,正态分布的应用,典例,3,在某次数学考试中，考生的成绩,X,服从一,个正态分布，即,X,N,90,100,1,试求考试成绩,X,位于区间,70,110,上的概率,2,若这次考试共有,2 000,名考生,试估计考试成绩在,80,100,间的考生大约有多少人,解,因为,X,N,90,100,所以,90,100,10,1,由于,X,在区间,2,2,内取值的概率是,0.954 4,而该正态分布中,2,90,2,10,70,2,90,2,1

10、0,100,于是考试成绩,X,位于区间,70,110,内的概率就是,0.954 4,2,由,90,10,得,80,100,由于变量,X,在区间,内取值的概率是,0.682,6,所以考试成绩,X,位于区间,80,100,内的概率是,0.682 6,所以估计考试成绩在,80,100,间的考生大约有,2,000,0.682 6,1 365,人,归纳升华,解答此类题目的关键在于将待求的问题向,2,2,3,3,这三个区间进行,转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程,中依然会用到化归思想及数形结合思想,变式训练,某年级的一次信息技术测验成绩近似,服从正态分布,N,70,10,2,如果规定低于,

11、60,分为不及格,求,1,成绩不及格的人数占总人数的比例,2,成绩在,80,90,分内的学生占总人数的比例,解,1,设学生的得分为随机变量,X,X,N,70,10,2,则,70,10,分数在,60,80,之间的学生的比例为,P,70,10,X,70,10,0.682 6,所以不及格的学生的比例为,1,2,1,0.682,6,0.158,7,即成绩不及格的学生占总人数的,15.87,2,成绩在,80,90,分内的学生的比例为,1,2,P,70,2,10,X,70,2,10,1,2,P,70,10,X,70,10,1,2,0.954 4,0.682 6,0.135 9,即成绩在,80,90,内的学生占