第3章 第7节 正弦定理余弦定理应用举例 Word版含答案

1、 正弦定理、余弦定理应用举例 第7节第3章 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 考纲传真 仰角和俯角1 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角 7-1)(如图3- 图3-7-1 2方位角和方向角 1)(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 (如图3-7- (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等 “”)“”，错误的打1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打 ) 的关系为A处的俯角为，则，180.( 从(1)A处望B处的仰角为，从B处望?，

2、0俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( ) (2) ?2) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( ) 2，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算( 如图(4)3-7- AB10 n mile，从A望C60视角，和B成2海面上有A，B，C三个灯塔，) 等于BC( C和A成75视角，则从B望 2图3-7-610n mile 5 C52 n mile 6 A103 n mile B n mile D 3) ，且ACBC，则点A在点B的(A3若点在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60 10C北偏东10 D北偏西北偏西A北偏东15 B15 ，要

3、测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙4如图3-7-3 两观测点在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平 ，甲、面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120) 乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( B400 m A1002 m 500 m D C2003 m A B两点分别在河的两岸，某测量者在点，已知A，5如图3-7-4 7-3图3- ，ACB45所在的河岸边另选定一点C，测得AC50 m， 4图3-7-) 两点的距离为( CAB105，则A，Bm 25B3 A 503 m m 2 50 D25C2 m 测量距离问题 3- 7-5ABC如图上测得正前方的河流的两

4、岸的俯角分别为，从气球 673046 mBC_m(用四约等于，此时气球的高是，则河流的宽度 sin 670.92cos 670.39sin 370.60，舍五入法将结果精确到个位参考数据：， 1.73)cos 370.803， ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水江岸边有一炮台高30 m变式训练1 60，而且两条船与炮台底部连线成平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和图3-7-5 _m. 30角，则两条船相距 测量高度问题 3-7-A如处时，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 B600 mD30处，测在西偏北后到达的方向上，行驶测得公路北侧一山顶_m. 7530CD的方向上，仰角为，则此

5、山的高度得此山顶在西偏北 1第页 67-3-图 A处，测得塔顶的仰角为7，从某电视塔CO的正东方向的变式训练2 如图3-7- 米，AB间的距离为3560，在电视塔的南偏西60的B处测得塔顶的仰角为45 米则这个电视塔的高度为_ 7图3-7- 测量角度问题 A(31)BA45A处北偏西海里的方向、距离在海岸 处处，发现北偏东处有一艘走私船；在/2C10375A小时的速度追截走私船同时，走私船正以海里的海里处处的缉私船奉命以方向、距离3010/B问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长处向北偏东海里小时的速度从方向逃窜， 时间？ 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海变式训练3 如图3-

6、7-8，位于A 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏B里的 前往西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB 的值B处救援，求cos 8图3-7- 课时分层训练(二十三) 正弦定理、余弦定理应用举例 基础达标A组 ) 分钟(建议用时：30 一、选择题 所示，已知两座灯塔A和C的距离都等于a kmB与海洋观察站1，如图3-7-9A C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔灯塔A在观察站 图93-7- ) ( 与灯塔B的距离为 km a2 D3 Ba km C.2a km Aa km 在观察站南偏与海岸观察站C的距离相等，灯塔A2如图3-7

7、-10，两座灯塔A和B) 的( 西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B D南偏西80 B北偏西10 南偏东 C80 A北偏东10 海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，3一艘海轮从A处出发，以每小时40 3-7-10图 处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东30分钟后到达B处，在C ) ，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是( 70 B103海里 A 102海里 D202海里 3C20海里 A 7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km4，一艘客船从码头如图3- AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从出发匀速驶往河对岸的码头B.已知

8、 图3-7-11) ( 码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 km/h B62 A8 km/h 10 km/h D C234 km/h 3-7-12，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、5如图50 m， 127-3-图 页2第 ) ( 为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为BD 75 D60 B45 C30A 二、填空题 米DA行走10在地上画一个BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边6 上的一点，我们将该点BDA的另一边BD后，拐弯往另一方向行走14米正好到达 13图3-7- 米_ 之间的距离为 _记为点B，则B与D B

9、，使C在塔底7-13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C7如图3- 方向走10米到位置的仰角为60，再由点C沿北偏东15的正东方向上，测得点A _米. 45，则塔AB的高是，测得DBDC 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，3-7-14所示，一艘海轮从A8如图 分钟后到达C处，B处，海轮按北偏西60的方向航行了30与海轮相距20海里的 7-14图3- 分钟海里/又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_ 三、解答题，A采用如下办法：在岸边设置两个观察点9某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，秒后，航模直线航行2030，经过105和BACCB，且AB长为80

10、米，当航模在处时，测得ABC) 答案可保留根号请你根据以上条件求出航模的速度(ABD45.到D处，测得BAD90和 15图3-7- 12 相距方向的B处，且与岛屿A如图3-7-16，渔船甲位于岛屿A的南偏西6010 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从海里/小时的速度从岛屿A海里，渔船乙以10 小时追上的方向追赶渔船乙，刚好用2B处出发沿北偏东 的值求sin (2)(1)求渔船甲的速度； 16图3-7- 能力提升B组 ) 分钟(建议用时：15一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方1点测得水柱顶端的B到达点B，在A向北偏东30前进100 m向的点A

11、测得水柱顶端的仰角为45，沿点 ) 30仰角为，则水柱的高度是 ( 150 m D B100 m C120 m A50 m 为测量观测点，选择A和另一座山的山顶C如图23-7-17，为测量山高MN ；MAC75，C点的仰角CAB45以及点的仰角从A点测得MMAN60_m. ，则山高MN60.已知山高BC100 m从C点测得MCA A，两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶已知在东西方向上有3M，N 的正南方向200米，一测量车在小山M100B的海拔高度分别为AM米和BN 17图3-7-1003 ，该测量车向北偏西60方向行驶了P的点处测得发射塔顶A的仰角为30米后到达点Q，在点Q处测得发射塔

12、顶B处的仰角为，且BQA，经测量 B，之间的距离2tan ，求两发射塔顶A 187-3-图 页3第 正弦定理、余弦定理应用举例节第3章 第7 (4)(3)(2) 答案 (1) 110BC，45，C60，B75D 如图，在ABC中，AB10，A， 2 sin 45sin 606. 5BC 30，CBA45，而 B如图所示，ACB90，又ACBC3. 的北偏西15在点15，点AB904530 x m，BD，由余弦定理可得3D 设塔高为x m，则由已知可得BCx m4222222 x，解得x3xx500500(m)BDBCCD5002BCCDcos BCD，即AB50ACAB，.由正弦定理可知，即4

13、5，CAB105，所以B305D 因为ACB sin 45sin 30Bsin sin C 502 m解得AB 测量距离问题 ADC.60AADCBCBDRt中， 且交 在如图所示，过的延长线于作 ACB30AC92 m.ABCBAC673037AD46 m，得由在，中，BCAC 92 m113ACABC18067 ，由正弦定理BACsin sin ABC92sin 37BCBC9292 60(m)BC 得，即，解得sin 67sin 37sin 37sin 67sin 113 3 30变式训练1 103AO 如图，OM10tan 4530(m)，ONAOtan 303(m)，3 3 3003

14、010310在MON3(m)中，由余弦定理得，MN90030022 测量高度问题 4575BAC30105ABC180ACB. 1006ABC，由题意，在，故 中， BC600m. 3002 600 m，故由正弦定理得，解得又ABBC sin 30sin 45 3 6(m)3002100在RtBCD中，CDBCtan 303 45，AB35米 变式训练2 521如图，可知CAO60，AOB150，OBC3 中，由余弦定理，x米在ABO设OCx米，则OAOBx米，32x32222222 ，5cos OBAOB，即35x21xcos 150，整理得x得ABOAOB2OA 33 米521所以此电视塔

15、的高度是 测量角度问题 . 10CD tDt103tBD处追上走私船，则有设缉私船， 小时后在解 1，AC2，120BAC分.3ABC在中，AB322 根据余弦定理，可得36， BC32 2AC23 45，ABC由正弦定理，得sinABCsinBAC，2BC26 BCD因此BC与正北方向垂直.7分于是CBD120.中，由正弦定理，得在CBDBDsinBCCDsin 1201t10 ，又BCDsin，BCD30 sin 30sin 120CD2t1036103t6即小时 .12分，得6t.当缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船，最少要花1010322212020，BAC，由余弦定理得，BCA

16、BACAC40ABABC在3变式训练 解 中， 20BC2 800120cos ACAB2 ?7.4分 页4第21ABABBCACB?sin由正弦定理，得分BAC .8sin 7BCBACACBsinsin72. cosACB由BAC120，知ACB为锐角，则721 cos 30cosACB .12 sin 30sincos(30，得cos ACB30)ACB分由ACB14 正弦定理、余弦定理应用举例(二十三) 课时分层训练 基础达标 A组22222. aAB3，ABaa3aa2，cos 120a1B 在ABC中，ACBC，ACB120 30，又BCD60，所以CBD2D 由条件及题图可知，A

17、B40. 南偏西8010，因此灯塔A在灯塔B所以DBA 30，ACB45，A 如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB3ABBC BC102(海里)根据正弦定理得，解得 sin 45sin 3030.6cos ，由题意知，sin ，从而4B 设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h 5111441?2222v2. 1，解得12v，所以由余弦定理得62 ?10105510 中，由余弦定理得50(m)，所以在2010(m)30，ACACD5(m)，又 5BCD依题意可得AD222222 5020ADCD10305AC 26 000 ，cosCAD2AD2AC2106 00

18、0202305. 45CD的张角为CAD180，所以CAD，所以从顶端45A看建筑物又0222 cos 60，10x210xBD616 如图所示，设x m，则142 )x16，x16(米整理得x10x960，x6(舍去)， 30，1590105，DBC7106 在BCD中，CD10，BDC45，BCDABCDsin 45BCCD 米)BCtan 601010，BC2.在RtABC中，6(tan 60，AB BCsin 45sin 30sin 30AB6AC ，45，B60，由正弦定理得8 由已知得ACB B3sin ACBsin6sin 6010AB6sin B20 )/，所以海轮航行的速度为(海里分钟所以AC106 3sin 4530ACBsin 分802.380，BD解 在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB9180 2sin 30BCABAB 中，BC分40在2.6ABC sin 45sin 45sin 30221222229 600. (402)402DC80DB2BCDB2BCcos 60(802)2在DBC中， 2640 分米/秒. 122DC406，航模的速度v620 ，BCA.3分2依题意知，BAC120，AB12，AC102010解 (1)