概率论与数理统计习题及答案 第一章

1、 概率论与数理统计习题及答案 第 一 章 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： A?出现奇数点； （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A?B?第，两次点数之和为10 （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. 一次的点数，比第二次的点数大2； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时A?球的最小号码为13只球，观察其结果，； 取出a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， （4）将A?甲盒中至少有一球； A?通过汽车不足55）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，台， （B?通过的汽车不少于3台。 i,e,e,e?e,e,e

2、S?ei?1,2,?,6，出现）其中 点（ 解 1643251iA?e,e,e。 513S?(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) （2） (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)； A?(4,6),(5,5),(6,4)； B?(3,1),(4,2

3、),(5,3),(6,4)。 S?(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) 3 （）(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5) A?(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5) S?(ab,?,?),(?,ab,?),(?,?,ab),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?), （ 4）?),a?,b?(,a,b,),(b,?,a),表示空盒； ，其中 A?(ab,?,?),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?),(b,?,a)。 S?0,1,2,?,A?0

4、,1,2,3,4,B?3,4,?。5 （） EA,B,BC,C,A表示下列事件： 是随机试验的三个事件，试用 设 2 1 A发生； 1）仅 （A,B,C中至少有两个发生；） （2A,B,C中不多于两个发生；） （3A,B,C中恰有两个发生；） （4A,B,C中至多有一个发生。） （5 ABC ） （1 解 BC?AC?ABABC?ABC?ABC?ABC；或（2） CABC?ABC?A?B?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC；或 ） （3 ABC?ABC?ABC；4） （ BCABC?ABC?ABC?AB?AC?ABC；或 （5 ）i,2,3)1(i?A件产品是正品，试3一个工人生产了三件产

5、品，以表示第 iA表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（用2）至少有一件产品是次品；i（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 AAA?AAA?AAAAAA?AA?A；）（ （1）3（2；） 解 332123211311232AA?AA?AA。 4）（331122 4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 A?任取一电话号码后四个数字全不相同，则 设 解 4P12610?)?0.504P(A 410250 5一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 A?5只全是好的1）设，则 解

6、 （5C37P(A)?0.662； 5C40B?5只中有两只坏的，则（ 2）设 32CC373P(B)?0.0354. 5C40 6袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 （1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. A?最小号码为5，则）设（ 解 1 2 2C15P(A)?； 3C1210B?最大号码为5，则 （2）设2C14P(B)?. 3C2010r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （1）教室里有 7 （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. A?他们的生日都不相同）设，则 解 （1 rP365P(A)?； r365B?至少

7、有两个人的生日在同一个月，则 （2）设 21222321CCP?CC?CP?C411141212412124P(B)? ； 41296或 4P4112 P(B)?1?P(B)?1?. 41296 8设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率. A?生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天设，则 解 26?2)C(27P(A)?0.01107. 67C,C,E,E,I,N,S等79将个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单 词SCIENCE的概率是多少？ A?恰好排成SCIENCE 设 解 1 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有

8、的排法： 2ECC在余下的5种占法，字母在7个位置中占两个位置，共有个位 字母72I,N,CC剩下的3种占法，字母置中占两个位置，共有个位置上全排列的方法522A12603!?C?C?中的基本事件只有一个，！种，故基本事件总数为3，而共57故 11?A)?P( ； 22C?C?3!126057EC，把七个字母排成一排，称为不尽相异，两个 解 七个字母中有两个2nn个，第二种元素元素的全排列。一般地，设有个元素，其中第一种元素有1 3 nkn)?n?n(n?n?n个元素排成一排个，第种元素有有，将这个2k21k称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为 n!， n!n!?n!k12 对于本题有

9、141?)?P(A. 7!7!1260 2!2!10,9?0,1,2,个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事等 10从A?A?A?，或，5件的概率：三个数字中不含0三个数字中不含0和5123三个数字中含0但不含5. 3C78P(A)?. 解 13C1510333CCC14899P(A)?， 2333CCC15101010或 1C14 8P(A)?1?P(A)?1?， 223C15102C78P(A)?. 33C3010nnA?每求事件堆， 11将每堆两只，双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆各成一双的概率. (2n)!(2n)!nn?不同的分法共双鞋子随机地分成堆属分组问题， 解 n(2!

10、)2!2!2!?!n 每堆各成一双共有种情况，故n?n2!P(A)? (2n)! BA0.3P()B?AB)P(A)?0.4,P(与互不相容，与 12设事件，求 P(A?B) P(AB)?1?P(?AB)?1?P(A?)P(B?)0.3 解 A?BBA,，于是不相容，所以 因为 P(A?B)?P(A)?0.6 P(A)?PP(B)?ABP()PAB(. 若 13且，求 4 P(AB)?1?P(?AB)?1?P(A?)P(B?)ABP() 解 )P(AB)?P(AB 由得P(B)?1?P(A)?1?p B?AP(A?B)P(ABB,Ar,p,q 及及的概率分别为 14设事件，求 P(AB)?P(

11、A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?1?P(B)?P(A)?P(AB) ?1?q?p?q?r?1?p?r. P(A)?P(B)?0.7A,BA,B都发仅发生一个的概率为，且15设0.5，求 生的概率。 解 由题意有 1 0.5?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.7?2P(AB)， 所以 P(AB)?0.1. A?B?ABBA,，故 仅发生一个可表示为 解 20.5?P(A?B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB), 所以 P(AB)?0.1. P(0.2AB)

12、(B?0.3,?A?)PBP(A)?0.7,P(A?)P(AB. ，求与 16设?P(A?B)?P(A?)P(AB?)0.?7PA(B0.3 解 ， 所以0.4?(PAB) ， 故 0.6ABP()? ； 0.4)AB?P()?B?P0.2?(B)P(. 所以0.6BP()? 0.1(?BAP?1?(?)?1PA(?)PAB)?BP)?()(PAB CAB?1?CP)(?AP()PB?() ，试证明17设CAB? ，所以 证 因为P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1 5 故 P(A)?P(B)?P(C)?1. 证毕. A,B,C，试证 18对任意三事件

13、 P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A). P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC) 证 ?P(AB?AC)?PA(B?C)?P(A). 证毕. 1C,BA0?BC)?P(P(C)?,P(ABP(A)?P(B)?，是三个事件，且 19设 41P(AC)?A,B,C至少有一个发生的概率。 ，求 8P(A?B?C)?P(A)?P(B?)P(?C)P(A?)B(P?A)C(P?B)C(PABC 解 )?0?P(ABCP(AB)?0P(ABC)?0，于是，所以因为 315P(A?B?C)? 488 2ax?2ax0?y为正常数）内掷一点，点落在园随机地向半圆 20

14、（x轴的夹角小于内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与?/4的概率. 解：半圆域如图 y?x?A4/ 轴夹角小于 设 原点与该点连线与 x 由几何概率的定义 1122?a?aA的面积11 42?P(A)? ?/41 ?2半园的面积2?x aa 0 2ya的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率把长为. 21 A?x,y,a?x?y，三段可构成三角形， 解 设又三段的长分别为1Sa?x?yy?a,0?0?x?a,0?. ，不等式构成平面域则 aaa,0?y?,?x?y?a?0?x?A发生 a 222S /2 aAS ，所以 不等式确定的子域 A A的面积1?A)?P( 0

15、a a/2 S的面积40?x?a,0?y?a,0?z?azxy,且 解 ，则设三段长分别为 2 6 Saz?y?x. ，不等式确定了三维空间上的有界平面域 z A?x?y?z 发 x?z?y y?z?x Ay SA，所以不等式确定 的子 A的面积1?P(A). 4的面积Sx xxy与，这两个数中的每一个都不超过和1 22随机地取两个正数，试求y之和不超过1，积不小于0.09的概率. S0?x?1,0?y?1，不等式确定平面域 解 . y A?A0.09?,xy?y?1x发生的 则 10?x?y?1,1?xy?0.09不充要条件为 S AS，故的子域 等式确定了 A A的面积0.90.9?dx)?(1?x?P(A) x的面积S0.1y 00.1 0.910.20.4?0.18ln3? 0)a(