数学人教新资料知识点学练考-双曲线

1、数学人教新资料知识点学练考- 双曲线【教法探析】【一】双曲线标准方程一复习提问1. 椭圆的定义是什么？平面内与两定点f1、f2 的距离的和等于常数大于|f1f2| 的点的轨迹叫做椭圆 . 教师要强调条件：1平面内；2到两定点 f1、f2 的距离的和等于常数；3常数 2a|f1f2| 。2. 椭圆的标准方程是什么？二双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？它的方程是怎么样的呢？简单实验如图 2-23 ，定点 f1、f2 是两个按钉， mn是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点m移动时， |mf1|-|mf2| 是常数，如此就画出曲线的一支；由|m

2、f2|-|mf1| 是同一常数，能够画出另一支。注意：常数要小于 |f1f2| ，否那么作不出图形 . 如此作出的曲线就叫做双曲线 .2. 设问问题 1：定点 f1、f2 与动点 m不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能 . 强调“在平面内”。问题 2：|mf1| 与|mf2| 哪个大？请学生回答，不定：当m在双曲线右支上时， |mf1| |mf2| ；当点 m在双曲线左支上时， |mf1| |mf2| 。问题 3：点 m与定点 f1、f2 距离的差是否确实是 |mf1|-|mf2| ？请学生回答，不一定，也能够是|mf2|-|mf1|.正确表示为|mf2|-|mf1|。问题 4：那个常

3、数是否会大于等于|f1f2| ？请学生回答， 应小于 |f1f2| 且大于零 . 当常数 =|f1f2| 时，轨迹是以 f1、f2 为端点的两条射线；当常数 |f1f2| 时，无轨迹。3. 定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点f1、f2 的距离的差的绝对值是常数小于|f1f2| 的点的轨迹叫做双曲线 . 这两个定点 f1、f2 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.教师指出：双曲线的定义能够与椭圆相对比来经历，不要死记。三双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程 . 我们能够类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程 . 这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要

4、求学生回答， 要紧引起学生思考， 随即引导学生给出双曲线的方程的推导。标准方程的推导： 1建系设点取过焦点 f1、f2 的直线为 x 轴，线段 f1f2 的垂直平分线为 y 轴如图 2-24 建立直角坐标系 .设 mx，y为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是 2cc0，那么 f1、f2 的坐标分别是 -c ，0、c，0. 又设点 m与 f1、f2 的距离的差的绝对值等于常数。 2点的集合由定义可知，双曲线确实是集合：p=m|mf1|-|mf2|=2a=m|mf1|-|mf2|=2a 。 3代数方程 4化简方程由学生演板将那个方程移项，两边平方得：化简两边再平方，整理得： c2-a2 x2-a2y

5、2=a2 c2-a2 。以上推导完全能够仿照椭圆方程的推导 . 由双曲线定义， 2c2a 即 ca，因此 c2-a2 0.设 c2-a2=b2b0，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2.这确实是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较引导学生归纳：教师指出： 1双曲线标准方程中， a0，b0，但 a 不一定大于 b； 2假如 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；假如 y2 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 . 注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上。 3双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c2=a2+b2，不同于椭圆方程中 c2=a2-b2.小结1. 定义：平面

6、内与两定点 f1、f2 的距离的差的绝对值等于常数小于 |f1f2| 的点的轨迹。3. 图形见图 2-25 ：4. 焦点： f1-c ，0、f2c，0；f10，-c 、f20，c。5.a 、b、c 的关系： c2=a2+b2；c=a2+b2。【二】双曲线的性质1. 范围：双曲线在不等式xa 与 x a 所表示的区域内 .2. 对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称， 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心， 双曲线的对称中心叫双曲线中心。3. 顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点a1 a,0 、a2a,0 ，它们叫做双曲线的顶点。线段 a1a2叫双曲线的实轴，它的长等于 2a,a

7、 叫做双曲线的实半轴长；线段 b1b2叫双曲线的虚轴， 它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。4. 渐近线我们把两条直线y= b x 叫做双曲线的渐近线；a从图 816 能够看出，双曲线 x2y21的各支向外延伸时，22ab与直线 y= b x 逐渐接近。a“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明，这一部分的方程可写为y= bx 2a2 ( x a.a设 mx,y 是它上面的点，直线 y= b x 上与 m有相同横坐标ay=b x 。a y= bx2a 2b x 1 ( a )2aaxnx,y 是的点，那么b x ya mny yb (xx 2a 2 )ab ( xx2a

8、2 )( xx 2a2 )axx2a2abxx2a 2设 mq 是点 m到直线 y= b x 的距离，那么 mq a0 可得 e1；双曲线的离心率越大，它的开口越阔。【学法导引】例 1 点 mx,y 与定点 fc,o 的距离和它到定直线 l:x=a2的c距离的比是常数 c (c a0), 求点 m的轨迹。a解：设 d 是点 m到直线 l 的距离 . 依照题意，所求轨迹是集合mfc ,p= mda由此得(x c)2y 2ca 2a 。xc化简得 c2a2x2-a2y2=a2c2a2。设 c2a2=b2，就可化为：x2y21(a 0, b 0).a2b 2这是双曲线的标准方程， 因此点 m的轨迹是

9、实轴长、 虚轴长分别为 2a、2b 的双曲线。例 2 求双曲线 9y216x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。解：把方程化为标准方程。y2x21 。4232由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长 b=3。ca2b242325 。焦点的坐标是 0， 5，0，5。离心率 ec5 。a43 y ，即 y4 x 。渐近线方程为 x43【模拟练习】1. 过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线22的通径，那么双曲线16y - x9=1 的通径的长是 _。2. 双曲线 16x2-9y2=144 上一点 px0,y0 x00到左焦点距离为 4，那么 x0=。223. 双

10、曲线xy1(bn )的左、右焦点分别为f1， f2，为双曲线上4b2p一点，假设 pf1pf2f1f22 且 pf24 ，求双曲线的方程。4. 如图，某农场在 m 处有一堆肥料沿道路 ma 或 mb 送到大田 abcd中去， ma 6， mb 8 ，且 ad bc ， amb 90，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿 mb 送肥料较近？假设能，请建立适当坐标系求出这条界线方程。参考答案1.922.2153. 解设|pf1|=r1 ，|pf2|=r2 ，半焦距为 c. 由题设知，双曲线实半轴长 a=2，且 c2=4+b2，因此 |r1-r2|=4，但 r2 4，故 r1 r2.因此因为

11、|pf1| |pf2|=|f1f2|2 ，故因为 0r2 4，那么 0 4+r2 r2 32，因此又 bn，因此 b=1.4. 解题思路：大田 abcd中的点分成三类：第一类沿 ma送肥较近，第二类沿 pb送肥较近，第三类沿 pa和 pb送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以 ab所在直线为 x 轴， ab的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，设 p 为界线所在曲线上的一点，那么满足 pa+am=pb+bm, 因此 pa- pb=mb- ma=2。可知 m点的轨迹是以 a、b 为焦点的双曲2线一支其方程可求得为x2y1在矩形中的一段。24【真题再现】221. 2

12、018 年高考湖南理双曲线 c: x2- y2=1 的焦距为 10,ab点 p2,1 在 c的渐近线上 , 那么 c的方程为a. x2- y2=1 b. x2- y2=1 c. x2- y2=1 d. x2- y2=120552080202080【答案】 a22【解析】设双曲线 c: x2 -y2=1 的半焦距为 c , 那么 2c 10, c5 。ab又 c的渐近线为 yb x, 点 p2,1 在 c的渐近线上 , 1b2 ,aa即 a 2b 。又 c2a2b2 , a25,b5 ,c 的方程为 x2-y2=1。205【点评】此题考查双曲线的方程、 双曲线的渐近线方程等基础知识, 考查了数形结合的思想和差不多运算能力, 是近年来常考题型。2. 2018 年高考上海春此题共有 2 个小题 , 第 1 小题总分值 6 分, 第 2 小题总分值 8 分。2y双曲线 c1 : x21. 1求与双曲线 c1 有相同的焦点 , 且过点 p(4, 3) 的双曲线 c2 的标准方程； 2直线 l : y x m 分别交双曲线 c1 的两条渐近线于 a、 b 两点 .当 oa ob 3 时, 求实数 m 的值。解1双曲线 c1 的焦点坐标为 (5,0),(5,0), 设双曲线 c2 的标