D62常微分方程组的基本概念

1、常微分方程组的基本概念,第,6.2,节,一、常微分方程组的解,二、初值问题,三、解的存在唯一性定理,设,机动,目录,上页,下页,返回,结束,n,x,x,x,2,1,是,t,的函数，则称方程式,一、常微分方程组的解,2,1,2,1,2,2,2,1,1,1,t,x,x,x,f,dt,dx,t,x,x,x,f,dt,dx,t,x,x,x,f,dt,dx,n,n,n,n,n,为,n,元的规范形式的微分方程组,机动,目录,上页,下页,返回,结束,引进矢量符号,2,1,t,x,t,x,t,x,t,x,n,2,1,t,x,t,x,t,x,t,x,n,n,f,f,f,t,x,f,2,1,则微分方程可写成,t,

2、x,f,dt,t,dx,dt,f,dt,f,dt,f,dt,t,x,f,n,2,1,下面将讨论形如,2,2,1,1,2,2,2,22,1,21,2,1,1,2,12,1,11,1,t,f,t,x,t,a,t,x,t,a,t,x,t,a,dt,dx,t,f,t,x,t,a,t,x,t,a,t,x,t,a,dt,dx,t,f,t,x,t,a,t,x,t,a,t,x,t,a,dt,dx,n,n,nn,n,n,n,n,n,n,n,的微分方程，即,t,f,t,x,t,A,dt,t,dx,其中,A(t,称为系数矩阵,第二节,目录,上页,下页,返回,结束,向量函数,u(t,的导数存在且满足,t,f,t,u,

3、t,A,dt,t,du,则称函数,u(t,是,方程组,t,f,t,x,t,A,dt,t,dx,的解,例如,t,t,e,e,t,u,是方程组,0,1,1,0,t,x,dt,t,dx,的解,方程组,t,f,t,x,t,A,dt,t,dx,的满足一定条件,0,t,u,的解称为,初值问题的解,例如,t,t,e,e,t,u,是初值问题,1,1,0,0,1,1,0,x,t,x,dt,t,dx,的解,n,阶线性微分方程的初值问题,n,n,n,n,n,n,t,x,t,x,t,x,t,f,x,t,a,x,t,a,x,t,a,x,0,1,2,0,1,0,1,1,1,可以写成线性微分方程组的初值问题,0,0,0,1

4、,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,2,1,t,f,t,X,t,a,t,a,t,a,t,a,X,n,n,n,0,t,X,1,2,1,t,x,t,x,t,x,t,x,t,x,t,x,t,X,n,n,n,2,1,反之不然，例如,2,1,1,0,0,1,x,x,t,x,t,x,dt,t,dx,为了描述,n,维空间中向量之间的接近程度，下面引,进,范数,的概念（绝对值的推广,n,j,i,ij,n,i,i,a,A,x,t,x,1,1,定理,6.1,Cauchy-Piccard,设,f(x,t,在,I,D,上连续，并在点,x,0,t,0,D,I,的局部领域,则,Cauchy,问题,0,0,x,t,y,t,x,f,x,在,h,t,t,0,上存在唯一解,其中,max,min,1,t,x,f,M,M,b,a,h,I,R,I,D,a,t,t,b,x,x,t,x,I,R,0,0,1,满足局部李氏条件,2,1,2,1,x,x,N,t,x,f,t,x,f,证明与定理,3.1,类似,定理,6.2,若,A(t), B,t,在,I,a, b,上连续，则初值问题,0,0,x,t,x,t,B,t,x,t,A,dt,t,dx,在,I,a, b,上存在唯一解,证明,由于,2,1,2,1