《现代控制理论》课后习题答案

1、现代控制理论参考答案第一章答案1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。U (s)K Kps K1 1Kb+ +1+2-K s KJs J2sp s1 1-(s)Kns图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：Kp+x x x x x + K1 + + +1 K b6 5 3 2 1K K1+ J- - J-U(s) ( s)p1 2-x4K K1n Kp图1-30双输入-双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：?x1x2?x2KJb2x3?x3KpJ1x3KnJ1x41J1x5KpJ1x6?x4x3?x5K x1 3K1X6?x6KK1px1KK1px6K1

2、Kpu令 (s) y ，则yx1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为?x1?x2?x3?x4?x5?x600000 KK1p1000000KbJ2KpJ11K0100KnJ1000001J00000KpJ10K1KK1px1x2x3x4x 5x 600000K1Kpux1x2y 1 0 0 0 0 0x3x4x5x61-2 有电路如图 1-28 所示。 以电压 u(t ) 为输入量， 求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程， 和以电阻 R 2上的电压作为输出量的输出方程。R1 L1 L2i1 i2C-UcU R2-图1-28 电路图解：由图，令i1 x ,i x ,uc

3、x ，输出量 y R2x21 2 2 3?x1R1L1x11L1x31L1u ?有电路原理可知：R1L2x1?x2Lx1x21R2x3x3u既得?x2R2L2x21L2x3x1x2C?x3?x31Cx11Cx2yR x2 2写成矢量矩阵形式为：。x1。x2。x3R1L101C0R2L21C1L11L20x1x2x31L100ux1y 0R20x2x31-4 两输入 u1 ，u2 ，两输出 y1 ， y2 的系统，其模拟结构图如图 1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。u1b1+-a1a2y1a a651u2b2+-a3+a4y2图1-30双输入 -双输出系统模拟结构图解：系统的状态

4、空间表达式如下所示：x10 1 0 0x 010x2x3a21a1000a61x2x3b1000ux40a5a4a3x40b2x1y 1 0 1 0x2x3x4s 1 0 0(sI A)a21sa100sa610a5a4a31s 1 0 0 0 01Wux (s) (sI A) Ba21sa100sa61b10000a5a4a30b21s 1 0 0 0 01Wuy ( s) C(sI A) B 1 0 1 0a21s0a10sa61b10000a5a4a30b21-5 系统的动态特性由下列微分方程描述(2). . . .y 5 y 7 y 3y u 3u 2u列写其相应的状态空间表达式，并画

5、出相应的模拟结构图。解：令. .x1 y ， x y ， x y ，则有2 3。x1。x2。x3003107015x1x2x3001ux1y 2 3 1x2x3相应的模拟结构图如下：13+u y + +2 -x53x2x1736(s 1)1-6 （2）已知系统传递函数 2W (s) ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图s(s 2)( s 3)解：10 16( s 1) 4 3 3W 3( s)2 2s(s 2)( s 3) (s 3) s 3 s 2 sx13 1 0 0x10x2x300300200x2x311ux40 0 0 0x41x1y 4103313x2x3x41-

6、7 给定下列状态空间表达式x10 1 0x10x22 3 0x 12ux31 1 3x1x32y 0 0 1x2x3（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数解：s 1 0（2）W (s) (sI A) 2 s 3 01 1 s 3sI A s(s2 s s s s3) 2( 3) ( 3)( 2)(1)(sI A)11(s 3)( s 2)( s 1)2s 3 s 3 02(ss3)5s(s s3)1(s01) (s 2)1Wux (s) (sI A) B1(s 3)( s 2)(s 1)2s 3 s 3 0 02(s3)s(s3)01s5s1(s1)(s2)212)( s 1)(s3

7、)3)s( s(2s1)( s(s 3)(s 3)1Wuy ( s) C(sI A) B 0 0 1(ss(s(2s1) (3)3)s3)(s 3)( s12)( s 1)(2s 1)(s 2)( s 1)1-8 求下列矩阵的特征矢量0 1 0（3） A 3 0 212 7 61 03 2解：A 的特征方程 6 11 6 0I A 3 212 7 6解之得： 1, 2, 31 2 30 1 0p11p11当 11 时，3 0 2p21p2112 7 6p31p31p111解得：p21 p p 令 p11 1 得31 11P1p211p311p111（或令 1p ，得11P p 1 ）1 21p

8、3110 1 0p12p12当 21 时，3 0 2p222p2212 7 6p32p32解得：1p 2p , p p 令 p12 2 得22 212 32 12P2p12p22p32241p121（或令 1p ，得12P p 2 ）2 221p3220 1 0p13p13当 31 时，3 0 2p233p2312 7 6p33p33p131解得： p23 3p13 , p33 3 p13 令 p13 1 得P3p233p3331-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）x14 1 2x 311x21 0 2x 2 72u（2）x3y 1y 21 1 3120011x1x2x3x 5

9、334 1 22 解：A 的特征方程 ( 1)( 3) 0I A 1 21 1 33, 1 1,2 34 1 2p11p11当 31 时，1 0 2p213p211 1 3p31p31p111解之得 p21 p31 p11 令 p11 1 得P1p211p3114 1 2p11p111当 32 时，1 0 2p213p2111 1 3p31p311p121解之得p12 p 1, p p 令 p12 1 得22 22 32P2p220p3204 1 2p13p13当 13 时，1 0 2p23p231 1 3p33p33p130解之得 p13 0, p23 2 p33 令 1p 得33P3p23

10、2p3311 1 0 0 1 21T 1 0 2 T 1 1 21 0 1 0 1 10 1 2 3 1 8 1T 1 1 2 2 7 5 2 1B1B0 1 1 5 3 3 4CT102101111100021321043约旦标准型3 1 0 8 1x0 3 0x52u0 0 1 3 4y321043x1-10 已知两系统的传递函数分别为 W1(s)和 W2(s)1 1 1 1W (1s)s 10s ss212W2(s)ss13 s104试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结1 1 1 1W(s)W2( s)W (1s)ss131s 4 s 10

11、 0s ss21212s5s7(s 1)( s 3) (s 2)( s 3)( s 4)1 1(s21)(s1)(s2)（2）并联联结1 1 1 1W( s) W1(s) W1( s)s 1 0s ss212ss13 s1041-11 （第 3 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1、2 的传递函数阵分别为W1( s)s101s1s12W2( s)1001求系统的闭环传递函数解：W1( s)W21 (s)s101s1s121001s101s1s12IW ( s)W ( s)1Is101s1s121001ss021ss1s32 s 1 s 1s 3 1IW1( s)W2(s)1s

12、s13s 20sss21s 20s(s ss3)23s 3 1 1 1W1(s) I W ( s)W (s) W1(1 2s)ss13s 2 s s 1 s 20ss 1ss12s 3 1 1 s 1s 1(s 2)( s 1) s s 2 s(s 3) 1 1s 30 0 s 1 s 31-11（第 2 版教材） 已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1、2 的传递函数阵分别为W (1s)s121s1s12W2( s)1001求系统的闭环传递函数解：W (1s)W (1s)s121s1s121001s121s1s12IW(1s)W ( s1)s121s1s121001ss221ss1s

13、32s 3 1IW (1s)W ( s1)1s(2ss5s1)2s22sss21s 3 1 1 1W (s) IW1( s)W ( s)11W (1s)s(s1)2s5s2s22sss21ss2ss12s 3 2 s 3 1s( s1)2s5s2(s 2)222(ss 2)s(s 2) s( 2 1s2)s 2 s 1 s s 1(s21)(3s8)s1(s22)3s2(s26s5s6s2)2ss5s22(s 2)(2s5s2)2s5s21-12 已知差分方程为y(k 2) 3y( k 1) 2 y(k) 2u(k 1) 3u( k)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数 u 的系数 b

14、(即控制列阵 )为（1）b11解法 1：W(z)2z312 z z zz 3 2 112 1 0 1x(k 1) x(k) u(k) 0 2 1y(k ) 1 1 x(k)解法 2：x (k11)x (k)2x (k21)2x ( k)13x (k)2uy(k)3x (k1)2x (k2)x(k 1)0213x(k)01u(k)y(k) 3 2 x(k )求 T,使得1T 得1B1 11T 所以0 1T1011T1 AT1011021310114501CT 3 2101131所以，状态空间表达式为z(k 1)4501z(k)11u(k)y(k) 3 1 z(k )第二章习题答案2-4 用三种方

15、法计算以下矩阵指数函数Ate 。（2） A=1 14 1解：第一种方法： 令 I A 0则1 14 10，即21 4 0。求解得到 1 3， 2 1当 1 3 时，特征矢量p1p11p21由 Ap1 1 p1，得1 14 1p 3p11 11p 3p21 21即p p 3p11 21 114p p 3p11 21 21，可令p112当2 1时，特征矢量p2p12p22由Ap p ，得2 2 21 14 1p p12 12p p22 22即p p p12 22 124p p p12 22 22p，可令 2121 1则 1 1T ， 2 2T12 41 12 4Ate1 1 1 1 1 13t t

16、 3t t3te e e e1 1 0 2 4 2 2 4 4et2 2 1 1 1 1 0e3t t 3t te e e e2 4 2 2第二种方法，即拉氏反变换法：sI As1 14 s 1sI A1 1 s 1 1s 3 s 1 4 s 1s 1 1s 3 s 1 s 3 s 14 s 1s 3 s 1 s 3 s 11 1 1 1 1 12 s 3 s 1 4 s 3 s 11 1 1 1 1s 3 s 1 2 s 3 s 1At 1e L sI A11 1 1 13t t 3t t e e e e2 2 4 43t t 3t t1 1e e e e2 2第三种方法，即凯莱哈密顿定理由

17、第一种方法可知1 3， 2 101 3 1 33t te e1 3 3t t1 3 e 4 4 e 4 41t t1 1 e 1 1 e 1 13t te e4 4 4 41 1 1 13t t 3t te e e e1 0 1 11 3 1 3 2 2 4 4 At 3t t 3t te e e e e4 4 0 1 4 4 4 1 1 13t t 3t te e e e 2 22-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A 阵。（3）tt 2t 2t t2e e 2e 2et 2t 2t te e 2e e（4）t1 1t 3t t 3t e e e e2 41t

18、 3t t 3te e e e2解：（3）因为01 00 1I ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件&A tt 0t 2t 2t t2e 2e 4e 2et 2t 2t te 2e 4e et 00 21 3（4）因为01 00 1I ，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件&A tt 01 3 1 3t 3t t 3t e e e e2 2 4 41 11 3 4 1t 3t t 3te 3e e e 2 2t 02-6 求下列状态空间表达式的解： 0 1 0x& x u 0 0 1y 1, 0 x初始状态1x 0 u t1解：A0 10 0sI As01s1 1sI A112ss s s210 s

19、 10sAt 1 1 t1t e L sI A 0 1因为0B ， u t I t1tx t t x 0 t Bu d01 t 1 1 t 0t0 1 1 0 1 10dt 1 tt1 10d 1t 1 t 21t2122t t1t 112y 1 0 x t t 1 22-9 有系统如图 2.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为 T=0.1s 和 1s，而 u1和 u2 为分段常数。u2u1 x1 K/(s+1)-x yX 1/s 1 X+2图 2.2 系统结构图解：将此图化成模拟结构图u2u1K-x1x2 + yXX 1 X +2列出状态方程x& ku x1 1 1x& x

20、 u2 1 2y x2 2x11 0 k 0x x1 0 0 1u1u2y 2 1x1x2则离散时间状态空间表达式为x k 1 G T x k H T u ky k cx k Du k由AtG T e 和TAtH T e dtB 得：0A1 01 0Bk 00 1TC21T At1 1 s 1 0 e 01e L sI A LT1 s 1 e 1Tt Tk 1 e 0 e 0 k 0 1 e 0 k 0T At TH e dt dtT T T0 0 1 e 1 T 1 e T k T 1 e T0 1 0 1当 T=1 时1 1k 1 e 0e 0x k 1 x k u k1 11 e 1 k

21、e 1y k 1 2 1 x k当 T=0.1 时0.1k 1 e 00.1e 0x k 1 x k u k0.1 0.11 e 1 k e 0.9 0.1y k 1 2 1 x k第三章习题3-1 判断下列系统的状态能控性和能观测性。 系统中 a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关， 若有关， 其取值条件如何？（1）系统如图 3.16 所示：u x1+- ya+x x3+2+- -x4b c d -图3.16系统模拟结构图解：由图可得：?x1ax1u?x2bx2?x3cx3x2x1x1x2cx3?x4x3dx4yx3状态空间表达式为：?x1?x2?x3?x4a0100b1000c100

22、0dx1x2x3x41000uy 0 0 1 0 x由于?x 、2?x 、3?x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于 y 只与x3 有关，因而系统为不完全4能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：?x1?x2?x3100110002x1x2x32ab100uyc000d0x解：如状态方程与输出方程所示， A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵 b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为 0，故有 a 0,b 0 。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有 c 0,d 0 。3-2 时不变系统?X3113X1111uy1111X试用两种方法判别其能控性和能

23、观性。解：方法一：A3113,B1111,C1111M B AB1111-22-22rankM 1 2,系统不能控。1 1NCCA12124 4rankN 2,系统能观。方法二：将系统化为约旦标准形。I A311332102， 4 1 2则状态矢量：AP1 1P1 1P111AP2 2P2 2P21-1 1 1T ， 1 - 1T-11211212 2T-1AT121121-311- 3111- 1- 2 0-042 2T-1B1 21121111110102 2CT111-1111-12002-1 中有全为零的行，系统不可控。 CT 中没有全为 0 的列，系统可观。 T B3-3 确定使下列

24、系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数 i 和 i(1) A1 11 b C, ,0 1211解：构造能控阵：M b Ab11121要使系统完全能控，则1 1 ，即 1 2 1 02构造能观阵：NCCA11 112要使系统完全能观，则1 ，即 1 2 1 02 13-4 设系统的传递函数是y( s) s au( s)3 s s2s 10 2718（1）当 a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？（2）当 a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（3）当 a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1) 方法 1 ：W(s)y(s)u( s)(s 1)(ss

25、a3)(s 6)系统能控且能观的条件为 W(s)没有零极点对消。因此当 a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。方法 2：a -1 a 3 a - 6y (s) s a 10 6 15u(s) (s 1)( s 3)( s 6) s 1 s 3 s 61 2 3 31 ， ，6?X100300X11u0 0 6 1ya101a63a615X系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列。因此当 a=1,或 a=3 或 a=6时，系统为不能控或不能观。（2）当 a=1, a=3或a=6 时，系统可化为能控标准 I 型0 1 0 0x 0 0 1 x 0 u18 27 10

26、 1y a 1 0 x（3）根据对偶原理，当 a=1, a=2或 a=4 时，系统的能观标准 II 型为0 0 18 ax 1 0 27 x 1 u0 1 10 0y 0 0 1 x. .3-6 已知系统的微分方程为： y 6 y 11y 6y 6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解： 6 11 6 3 6a0 ，a ，a ，a ，b1 2 3 0系统的状态空间表达式为0 1 0 0x 0 0 1 x 0 u6 11 6 1y 6 0 0 x传递函数为-1W (s) C(sI - A) B 6 0 01s 1 0 006s11s16013s26s611s 6其对偶系统的状态空间表

27、达式为：0 0 6 6x 1 0 11 x 0 u0 1 6 0y 0 0 1 x传递函数为W (s)63 s s2s 6 1163-9 已知系统的传递函数为W( s)22ss6s4s83试求其能控标准型和能观标准型。解：W (s)2s2s6s4s8312s2s54s3系统的能控标准 I 型为x0- 31- 4x01uy 5 2 x u能观标准 II 型为x01-34x52uy 0 1x u3-10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。0 1 0 0x 2 3 0 x 1 u1 1 3 2y 0 0 1 x0 1 0 0解： 0 0 1 A 2 3 0 ，b 1 ， C1

28、 1 3 20 1 3M b Ab A 1 2 7 2b2b2 5 11rankM 2 3，系统为不能控系统， 不能变换为能控标准型 。C 0 0 1N CA 1 1 32CA 1 7 9rankN 3，系统为能观系统，可 以变换为能观标准型。3-11试将下列系统按能控性进行分解1 2 1 0（1） , 1 1 1A 0 1 0 ,b 0 C0 4 3 1解：0 1 4M b Ab A 0 0 0 rankM=23，系统不是完全能控的。2b1 3 90 1 0构造奇异变换阵 Rc ：R1 b 0 ，R Ab 0 ，R 1 ，其中 R3 是任意的，只要满足 Rc 满秩。2 31 3 00 1 0

29、 3 0 1即R 0 0 1 得cRc11 0 01 3 0 0 1 00 3 2 1A1Rc ARc142b Rc 0 c cRc 1 2 1 1b1b0 0 1 03-12 试将下列系统按能观性进行结构分解1 2 1 0（1） , 1 1 1A 0 1 0 ,b 0 C0 4 3 11 2 1 0解： 由已知得 , 1 1 1A 0 1 0 ,b 0 C0 4 3 1C 1 1 1则有 N CA 2 3 22 4 7 4CArank N=23，该系统不能观1 1 1构造非奇异变换矩阵1R ，有01R02 3 20 0 13 1 1则R02 1 00 0 10 1 0 1x %& R AR

30、x% R bu x% u2 3 0 21 1 0 0 07 3 2 1y cR0x% 1 0 0 x%3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1 0 0 1（1） , 1 1 2A 2 2 3 ,b 2 C2 0 1 21 1 1解：由已知得2M A Ab Ab2 12 262 0 2rank M=3，则系统能控c 1 1 2N cA 1 2 52cA7 4 11rank N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统1 1 1取T 2 2 12 26 ，则c2 0 21Tc21 734 417 32 1 534 40 0 2 1则 A 1 0 5 ，1B T b 0 ，c cTc

31、2 7 13 23c20 1 4 03-14 求下列传递函数阵的最小实现。（1）w s1s 11 11 1解：1 10 1，B0 ，1 1Ac1 00 11 0B ，c0 11 1C ，c1 1Dc0 00 0系统能控不能观取1 11R ，则00 1R01 10 1所以1 0? 1A R AR ，0 00 1? 1B R B0 c1 10 11 0?C C R ，c 01 0?D0 00 0所以最小实现为 A? 1， ? 1 1B ，m m 1?C ，m1?Dm0 00 0验证：1 1 1 1? ? ?C sI A B w sm m ms 1 1 13-15 设 1 和 2 是两个能控且能观的

32、系统：1A10314，b101， C12 1：2A22，b21，C21（1）试分析由1 和 2 所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试分析由1 和 2 所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（1） 1 和 2 串联当1 的输出 y1 是 2 的输入 u2 时， x&3 2x3 2x1 x20 1 0 0x& x u ，y 0 0 1 x3 4 0 12 1 2 00 1 42M b Ab A b1 4 130 1 4则rank M=23，所以系统不完全能控。1W(s) C(sI A) B(s 2)(ss23)(s4)2s17s12当 2 得输出 y2 是

33、 1 的输入 u1时0 1 1 0x& x u ， y 2 1 0 x3 4 1 00 0 2 10 0 1因为2M b Ab A b0 1 61 2 4rank M=3 则系统能控c 2 1 0因为N cA 3 2 12cA6 5 4rank N=23 则系统不能观1W (s) C(sI A) B2s17s12（2）1 和 2 并联0 1 0 0x& 3 4 0 x 1 u ，y 2 1 1 x0 0 2 10 1 42M A Ab Ab1 4 131 2 4因为 rank M=3，所以系统完全能控c 2 1 1N cA 3 2 22cA6 5 4因为 rank N=3，所以系统完全能观1w

34、 s C sI A B2 22 s 2 s 22 2s 1 s 2 s 3现代控制理论第四章习题答案4-1 判断下列二次型函数的符号性质：（1）2 2 2Q( x) x 3x 11x 2x x x x 2x x1 2 3 1 2 2 3 1 3（2）2 2 2v( x) x 4x x 2x x 6x x 2x x1 2 3 1 2 2 3 1 3解：（1）由已知得x11 1Q( x) x x x x 3x x x x 11x x1 2 3 1 2 3 1 2 3 22 2x31 1 1x11x x x 1 3 x1 2 3 22x131 1121 1 11 1 0 ， 21 11 32 0，3

35、1 711 3 02 411 112因此Q( x) 是负定的（2）由已知得x1Q( x) x x x x 4x 3x x 3x x x1 2 3 1 2 3 1 2 3 2x31 1 1x1x x x 1 4 3 x1 2 3 21 3 1x31 1 0 ， 21 11 43 0， 31 1 11 4 3 16 01 3 1因此Q( x) 不是正定的4-2 已知二阶系统的状态方程：a a11 12&x xa a21 22试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（ 1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足 A 的特征值均具有负实部。即：I Aa a11 12a a21 222(a a ) a a a a11 22 11 22 12 210有解，且解具有负实部。即：a11 a22 0且a11a22 a12a