点集拓扑学练习题第二章答案

1、 练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( ) 4.T、T是X的两个拓扑，则TUT是一个拓扑.( ) 22115.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ ） 6.从（X，T）到（X，T）的恒同映射必是连续的。（ ） 217从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 8设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( ) TTT?T,XX2 2 11 ）9.从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ Y

2、X? ） （ 10.设为离散拓扑空间的任意子集，则 ?AdAX? ） 设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则 （11.?AdAXX? （ ）为平庸空间12.设的任何一个多于两点的子集，则 Xd?AAX) 每空格二填空题：(3分 ,其中Z,T=Z1、X=ZZn+1,2, Z=n,n+1,n+2,nZZZ, 的所有开集为 则包含3321 /,.Z,ZZ,Z 3包含的所有闭集为 6514 Z?,Z,ZZ1 3的所有邻域为 包含3213 1,2,3,4,5 1,2,3,4 的导集为AA=1,2,3,4,5 设则A，的闭包为 ）=2、设X为度量空间,xX,则d（x? QR_ R _. 3、在实数空间的

3、导集是中，有理数集 ; 有4、当且仅当对于的每一邻域)(Ax?dxU 答案：?)?xU?(A= ; 中的一个无限子集，则5、设是有限补空间= ; A)Ad(AX 答案：；XX= ; 6、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ; A)d(AAX ；答案：XX的内部 则的子集7、设,的拓扑,?2?1,2,3?T?X,A,2,2,31,XXX ; 为 2 答案： 2分）三、单项选择题（每题. （下列集族中， ）是上的拓扑、已知1,ec,d,X?a,b,X ?e,X,c,aa,b,aT? ?e,cba,d,a,bT?X,ab,c ?bT?X,a,a, 答案： ?,adbecT?X,2、已知，拓扑,则

4、=（ ） ?bba,c,d?TX,a,?X 答案： db,bc,X3、已知，拓扑,则=（ ） ?ab,a,c,dT?X,X?a 答案： d,c,bb,aX的既开又闭的非空真子集的，拓扑则,4、设?db,dcT?X,a,X?a,b,c,X ）个数为（ 答案： 3 4 1 2 ， ）拓扑设,则的既开又闭的子集的个数为（5、?,bab?X,?X,TX 答案： 3 0 1 2 ）是（ 6、在实数空间中，有理数集的内部 QQ R QQR 答案： - ? ）7、在实数空间中，有理数集的边界是（)(QQ?R R QQ -答案： ? ）、在实数空间中，整数集的内部是（8 ZZ R RZ -答案： ?Z ）的边

5、界是（ 9、在实数空间中，整数集)?(ZZR ZR 答案：- ?Z ）的边界是（ 10、在实数空间中，区间0,1) 答案： ?(0,1)0,10,1BA ）是的子集,11、设是一个拓扑空间，,则下列关系中错误的是（ XX B?A?A?B)d(B)?B)d(A?Ad( 答案: AA?)B?d()?Ad(?B)d(AA是的子集,、已知是一个离散拓扑空间，则下列结论中正确的是12XX（ ） ?A?A(dA)?)Xd( 答案： X?)A(dA?)A(dA则下列结论中不正确的是的子集13、已知是一个平庸拓扑空间，,是XX ）（ 则, 若则 若,?xAAd(A)A)?A?X?d(0 则 若, 则 答案：

6、若A=,xx,Xd(A)?Xd(A)?X?A21 ）上的拓扑是令,则由产生的（14、设，Bdc,?B,abc,X?abcd,Xccdcbda , ,?XXdccd , ,?cabc , ?Xbcbddbcd , ,答案：, ,?X15、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案： 16、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案： 17、实数空间中的任一单点集是 ( ) R 开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案： 111A R ）的子集=1, ,则18、实数空间（ A 432A AR 答案： 0 R 中，下列集合是闭集的是（19、在实数空间）?

7、 答案： 整数集 有理数集 无理数集 b,aR ）中，下列集合是开集的是（ 、在实数空间20Z 有理数集整数集 Z 的补集整数集 无理数集 答案： ?Z 21、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（ ） ?,X?1,2,3?TX,1 1 2 3 4 答案： 22、已知,则上的所有可能的拓扑有（ ） b,X?aX 1个 2个 3个 4个 答案： 23、在实数下限拓扑空间中，区间是（ ） ),baR 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案： ） ,且满足则是（ 是一个拓扑空间，24、设Ad(AX)?B?BA,?BX 答案： 非开非闭 开集 闭集 既是开集又是闭集 四): 证明题.(52分nT?,

8、.T,TT?. 有拓扑设1. X也是拓扑i?12ni1 : 证 nT?,?2,.n,?X)?X,?T,i?1,(1iii1?nT,?A,B?T,i?A,B?1.n.(2)i?1iinT?B?n,?A?A?B?T,i?1.?i1i?in(3)?T?T,?T?T,i?1.n,iii?1n?A?T,i?1.n,?A?Ti?1iiA?TA?TnA?T,i?1.A?T?n,?i?i1iA?TA?T n?T也是拓扑所以. ii?12.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. x?x,limx?ylimx有：中序列 证:设度量空间XiiZi?i?i?i?y?x. )/3)=(x , y)/3)若B(y, 则B(x,(x , y 对于B(x , (x , y)/3),存在0,当i 时 NN11x? B(x , (x , y有)/3) iNN时 当i (x , y)/3),存在0,B(对于y , 22 x? B(y , 有(x , y)/3) iN,则当i =max,N时 取NN21 x? B(x , (x , y)/3)B(y , (x , y有)/3) i?. 矛盾 (x , y)/3)=y , x , yB(与x , ()/3)B(BBB 处的一个邻x是点B则, 是一个拓扑空间设3.X,是一个基xX, x|=Bx域基. 见P.82 定理2.6.7