湖南省新田一中高中数学 121 任意角的三角函数课件 新人教版必修41

1、1,2,任意角的三角函数,1,2.1,任意角的三角函数,第一章,三角函数,学习导航,学习目标,实例,理解,任意角的三角,函数的定义,掌握,三角函数值在,各象限的符号,了解,单位圆中的,三角函数线,重点难点,重点：三角函数的定义及三角函数值在各象限,的符号,难点,利用三角函数的定义求三角函数值,新知初探思维启动,1,任意角的三角函数的定义,在单位圆中,是任意一个角，它的终边与单位圆交于,点,P,x,y,如图所示,1,y,叫做,的正弦，记作,_,即,sin,y,2,x,叫做,的余弦，记作,_,即,cos,x,3,y,x,叫做,的正切，记作,_,即,tan,y,x,x,0,所以，正弦、余弦、正切都是

2、以角为自变量，以单位圆上,的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统,称为,_,sin,cos,tan,三角函数,想一想,1.sin,是不是,sin,与,的乘积,提示,不是,sin,是一个整体，不是,sin,与,的乘积,就如,f,x,表示自变量为,x,的函数一样，离开自变量的,sin,是没有意义的,做一做,1,若角,的终边与单位圆相交于点,2,2,2,2,则,sin,_,tan,_,答案,2,2,1,2,三角函数值的符号,如图所示,正弦,_,象限正,_,象限负,余弦,_,象限正,_,象限负,正切,_,象限正,_,象限负,简记口诀：一全正，二正弦、三正切、四余弦,一二,三四,一四,二三,

3、一三,二四,做一做,2,下列函数值为正的是,_,sin 171,cos,4,5,tan,91,解析,171,是第二象限角，所以,sin 171,0,4,5,是第二象限角，所以,cos,4,5,0,91,是第三象限角，所以,tan,91,0,答案,3,诱导公式,终边相同的角的同一三角函数的值,_,即,sin,k,2,_,cos,k,2,_,tan,k,2,_,其中,k,Z,相等,sin,cos,tan,做一做,3.sin,390,_,cos,765,_,解析,sin 390,sin (30,360,sin 30,1,2,cos 765,cos(2,360,45,cos 45,2,2,答案,1,2

4、,2,2,4,三角函数线,已知角,的终边位置，角,的三条三角函数线如图所示,则,sin,_,cos,_,tan,_,MP,OM,AT,想一想,2,三角函数线的长度和方向各表示什么,提示,长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函,数值的正负,典题例证技法归纳,题型一,用三角函数的定义求三角函数值,题型探究,例,1,已知点,M,是圆,x,2,y,2,1,上的点，以射线,OM,为终,边的角,的正弦值为,2,2,求,cos,和,tan,的值,解,设点,M,的坐标为,x,1,y,1,由题意可知,sin,2,2,即,y,1,2,2,点,M,在圆,x,2,y,2,1,上,x,2,1,y,2,1,1,即,x

5、,2,1,2,2,2,1,解得,x,1,2,2,或,x,1,2,2,cos,2,2,tan,1,或,cos,2,2,tan,1,名师点评,利用三角函数的定义，求一个角的三角,函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点,的点,P,的横坐标,x,纵坐标,y,和点,P,到原点的距离,r,特别注,意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论,跟踪训练,1,角,的终边上有一点,P,a,4,且,tan,4,3,求,3sin,2cos,的值,解,tan,4,a,4,3,a,3,r,3,2,4,2,5,sin,4,5,cos,3,5,3sin,2cos,12,5,6,5,6,5,例,2,题型二,三角函数值的符号

6、,确定下列各式的符号,1)sin 105,cos 230,2)sin,7,8,tan,7,8,3)cos 6,tan 6,解,1,105,230,分别为第二、第三象限角,sin 105,0,cos 230,0,于是,sin 105,cos 230,0,2,2,7,8,7,8,是第二象限角，则,sin,7,8,0,tan,7,8,0,sin,7,8,tan,7,8,0,名师点评,1,对于用已知角,的终边所在象限来判断角,的相应函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利,用口诀,一全正，二正弦，三正切，四余弦,来处理,2,由三角函数符号确定,角的终边所在象限问题，应首先依,据题目中所有三角函数值

7、的符号来确定角,的终边所在的象,限，则它们的公共象限即为所求,3,3,2,62,6,是第四象限角,cos 60,tan 60,则,cos 6,tan 60,跟踪训练,2,确定下列式子的符号,1)tan 125,sin 273,2)sin,5,4,cos,4,5,tan,11,6,3)tan 191,cos 191,解,1,125,是第二象限角,tan,125,0,273,是第四象限角,sin,273,0,tan,125,sin,273,0,式子符号为正,2,5,4,是第三象限角,4,5,是第二象限角,11,6,是第四象限角,sin,5,4,0,cos,4,5,0,tan,11,6,0,从而,s

8、in,5,4,cos,4,5,tan,11,6,0,式子符号为负,3,191,为第三象限角,tan 191,0,cos 191,0,tan 191,cos 191,0,式子符号为正,题型三,诱导公式一的应用,例,3,求值,1)tan 405,sin 450,cos 750,2)sin,7,3,cos,23,6,tan,15,4,cos,13,3,解,1,原式,tan(360,45,sin(360,90,cos(2,360,30,tan 45,sin 90,cos 30,1,1,3,2,3,2,名师点评,由三角函数的定义可知，三角函数值的大小,是由角的终边位置确定的终边相同的角的同一三角函数值,

9、相等，而与角,终边相同的角总可以表示为,2,k,为弧度,k,Z,或,k,360,为角度,k,Z,的形式,2,原式,sin(2,3,cos,4,6,tan,4,4,cos(4,3,sin,3,cos,6,tan,4,cos,3,3,2,3,2,1,1,2,5,4,跟踪训练,3,求下列各式的值,1)cos,25,3,tan,15,4,2)sin 810,tan 765,cos 360,解,1,原式,cos(8,3,tan,4,4,cos,3,tan,4,1,2,1,3,2,2,原式,sin(90,2,360,tan(45,2,360,cos,360,sin,90,tan,45,1,1,1,1,1,

10、题型四,三角函数线的应用,利用三角函数线，求满足下列条件的角,的集合,1)sin,1,2,2)cos,3,2,解,1,如图所示，过点,A,0,1,2,作,x,轴的平行线,与单位圆交于,P,P,点，则,sin,xOP,sin,xOP,1,2,所以,xOP,6,xOP,5,6,所以满足条件的所有角,的,集合是,6,2,k,或,5,6,2,k,k,Z,例,4,2,如图所示，过点,B,3,2,0,作,x,轴的垂线，与单位,圆交于点,P,P,则,cos,xOP,cos,xOP,3,2,所以,xOP,6,xOP,6,所以满足条件的所有角,的集合是,6,2,k,6,2,k,k,Z,名师点评,用单位圆中的三角

11、函数线求解简单的,三角不等式，应注意以下几点,1,熟悉角,的正弦线,余弦线、正切线,2,先找到,正值,区间，即,0,2,间满足条件的角,的范围，然后再加上周期,3,注意,区间是开区间还是闭区间,跟踪训练,4,已知,4,2,试比较,tan,sin,cos,的大小,解：作出角,的三角函数线如图所示,sin,MP,cos,OM,tan,AT,因为,4,2,显然有,OM,MP,AT,则有,cos,sin,tan,1,三角函数定义的理解,1,三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义,域是使比值有意义的角的范围,2,三角函数是一个实数，这个实数的大小与点,P,x,y,在终边上的位置无关，只由角,的终边

12、位置决定，即,三角函数值的大小只与角有关,方法感悟,2,公式一的理解,1,公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等，即角,的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现,了三角函数特有的,周而复始,的变化规律,2,公式一的结构特征,左、右为同一三角函数,公式左边的角为,k,2,右边的角为,3,三角函数线四注意,1,位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外,2,方向：正弦线由垂足指向,的终边与单位圆的交点；余弦线由,原点指向垂足；正切线由切点指向切线与,的终边,或其延长线,的交点,3,正负：三条有向线段中与,x,轴或,y,轴同向的为正值，与,x,轴或,y,轴反向的为负值,4,

13、书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后,精彩推荐典例展示,三角函数的定义应用中易误点,例,5,易错警示,常见错误,1,在解答过程中,未考虑,m,是参数,想当然认为,m,0,而把,OP,的化简结果错误地写成,10,m,只按照,m,0,一种情况求得,的正弦、余弦、正切值,2,在解题过程中，若对角,的正切值的定义,y,x,把握不准确，则出现,x,y,已知角,的终边过点,P,3,m,m,m,0,求,的,正弦、余弦、正切值,解,由题意可得,OP,3,m,2,m,2,10,m,1,当,m,0,时,OP,10,m,10,m,则,sin,m,10,m,10,10,cos,3,m,10,m,3,10,10,tan,m,3,m,1,3,2,当,m,0,时,OP,10,m,10,m,则,sin,10,10,cos,3,10,10,tan,1,3,失误防范,1,含有字母参数的在化简过程中要注意符,号,2,对字母参数要注意分类讨论，做到不重不漏,3,对三角函数的定义要把握准确尤其是比值问题一定要