数学思想方法复习专题

1、数学思想方法复习专题董元平一、考点，热点分析：深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：将所面临的问题转化为方程问题；解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；将所得出的结论再返回到原问题中去。分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。二、知识点归纳：常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数

2、来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。2数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。3分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论

3、；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。常用的数学方法 主要有换元法、配方法和待定系数法三种。三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：(x+1)- -=2解：设x1y，则原方程化为y-=2去分母，得y2-2y-3=0解这个方程，得y1=-1,y2=3当y1时，x11，所以x2；当y3时，x13，所以x2经检验，x2和x2均为原方程的解点拨解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。

4、【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为 。806040200654321x(元)y(万件)解析函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,b=-4a 将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4 25a+5b+c=0.解得a=-,b=2,c=.故抛物线的解析式为y=-x2+2x+.点拨利用待定系数法可求函数的解析式、代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含

5、进价）总计120 万元在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系求y关于x的函数关系式；试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利年销售额一年销售产品总进价一年总开支）当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？解：设y=kx+b ，它过点(60，5)，(80，4) 解得 y=-x+8, z=yx-40y-120=（-x+8）（x-40）-120=-

6、x210x-440;当x=100元时，最大年获得为60万元O406010012080x(元)y(万元)令z=40，得40=-x210x-440，整理得：x2-200x9600=0解得：x1=80,x2=120， 由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间(8分)又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元点拨解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）【例4】（2007年福建漳州）如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使

7、顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H（1）求PEF的边长；（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；（3）若PEF的边EF在线段BC上移动试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论解 （1）过P作PQBC于Q矩形ABCDB=90，即ABBC，又ADBCPQ=AB=PEF是等边三角形1234PFQ=60在RtPQF中Sin60=,PF=2PEF的边长为2（2）正确找出一对相似三角形12345678正确说明理由ABCCDA理由：矩形ABCD,ABBC,1=2B=D ABCCDA（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1证：在Rt

8、ABC中，AB=,BC=3tan1=,1=30PEF是等边三角形2=60,PF=PE=2,2=1+3 3=301=3 FC=FHPH+FH=2, BE+EF+FC=3PH-BE=1点评本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占一席之地，预计2008年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的探究能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。四、【能力测试】(一)、选择题若a的值使得x2+4x+a=（x+2）2-1成立，则a的值为（ ） A5 B4 C3 D2（

9、2005.杭州市）在右图的几何体中,上下底面都是平行四边形,各个侧面都是梯形,那么图中和下底面平行的直线有: （ ）(A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)8条方程2x-x2=的正根的个数为（ ） A0 B1 C2 D3以下四个图案中,既是轴对称又是中心对称图形的有（ ）A个B个C个D个 （2005. 河南省）下列各数中，适合方程的一个近似值（精确到0.1）是 （ ） A 1.5 B 1.6 C1 D1.8若点p（m,n）在第二象限，则点Q（-m,-n）在（ ）象限 A第一 B第二 C第三 D第四（2005. 山西省）8抛物线 的对称轴是x=2，且经过点P(3,0)。则 的值为（ ） A、-

10、1 B、0 C、1 D、2在直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有( )(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠10%），仍可获利20%，若该商品的标价为每件28元，则该商品的进价为（ ）.（A）21元 （B）19.8元（C）22.4元 （D）25.2元（2005.武汉市）已知O的半径为8cm，如果一条直线和圆心O的距离为8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相离(二)、填空题已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的

11、值为 。y如图，在ABC中，ACB=90，AC=2，斜边在x轴上，点A的坐标为（2，0），则直角边BC所在的直线解析式为 。Cx把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴AOB的两个交点之间的距离是 .如图，用长度相等的火柴棒拼成由三角形组成的图形，第n个图形需要火柴棒的根数是 。把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成两个面积为1/4的矩形，再把面积为1/4的矩形等分成两个面积为1/8的矩形，如此进行下去，试利用如下图揭示的规律计算 + + + + + + + =。 图1图2（2006年河南省）要拼出和图1 中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（

12、如图2）需要图1中的菱形的个数为_(三)、计算题:如图，线段AB4，点O是线段AB上的点，点C、D是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得CD=2他在反思过程中突发奇想：若点O运动到线段AB的延长线上或直线AB外，原有的结论“CD=2”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由（2005年梅州市）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到p（件）50049048047050 51 52 53 x（元/件）数据如下表：卖出价格x（元/件）50515253销售量p（件）500490480470 （1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的

13、点，观察连结各点所得的图形，判断p与x的函数关系式； （2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入买入支出）； （3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？如图，为正方形边上的任意一点（不与A、B两点重合），是延长线上的一点，且交的平分线所在直线于（1）求证：；（2）若将上述条件中的“为边上的任意一点（不与A、B两点重合）”改为“为直线上任意一点（不与A、B两点重合）”，其余条件不变，则结论“”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由如图1，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边

14、重合，点在第二象限内，点，点在轴的负半轴上，（1）求点的坐标；（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）（3）在（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式ABCO11xy图1ACO11xyGFE图2如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，A、C分别在直线和上.若点A在直线上运动，求B点所在直线的解析式. 已知：半径为1的O1与轴交于两点，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点，其顶点为（1）求的值及二次函数顶点的坐标； （2）写出将二次函数的图象向下平移1

15、个单位，再向左平移2个单位的图象的函数表达式； （3）若经过原点的直线与O1相切，求直线的函数表达式 如图,以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B. P为线段AB上一动点，作直线PCPO,交直线x=1于点C. 过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N.（1） 当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式；（2） S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.附加题：当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使PBC成

16、为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由.参考答案：一、 选择题1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.B二、填空题112 12.y=x+4 13. ；14.2n+1 15. 16.121三、计算题：17（略）18解：（1）p与x成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则 解得：k=10，b=1000 ， p=10x+1000 经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式所求的函数关系为p=10x+1000 （2）依题意得：y=px40p=(10x+1000)x40(10x+1000) y=10x2+1400

17、x40000 (3)由y=10x2+1400x40000 可知，当时，y有最大值 卖出价格为70元时，能花得最大利润。19证明：（1）在上截取，连结，又，（2）分两种情况点M在射线BE上. 延长AD到点P，使DP=BM，连接PM.点M在线段BA的延长线上. 延长DA到点P，使AP=AM，连接PM.综上可知，“为直线上任意一点（不与A、B两点重合）”，其余条件不变，结论“”仍成立.20解：（1）在中，点的坐标为（2），ACO11xyGF图1M（3）如图1，过点作于点，在中，ACO1xyF图2点的坐标为设直线的函数表达式为，则 解得同理，如图2所示，点的坐标为设直线的函数表达式为，则 解得21解：

18、设点A的横坐标为a. 点A在直线上， 设点C的横坐标为b 22解：（1）由已知得： 由题意：解得： ，顶点（2）（3）设经过原点的直线与O1相切于点.则，设点的坐标为则 ，得，由圆的对称性，另一条直线的解析式是23解：（1）OMBN，MNOB，AOB=900，四边形OBNM为矩形。MN=OB=1,PMO=CNP=900，AO=BO=1， AM=PM OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PMOM=PN OPC=900 OPM+CPN=900又OPM+POM=900 CPN=POM OPMPCNAM=PM=APsin450= NC=PM=BN=OM=PN=1- BC=BN-NC=1-

19、= （2）存在最大值. 附加题：解：PBC可能为等腰三角形当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）当点C在第四象限，且PB=CB时，有BN=PN=1BC=PB=PN=-m NC=BN+BC=1+-m由知：NC=PM= 1+-m= m=1PM=，BN=1=1 P（,1）使PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（,1）As of Microsoft Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and transitions. Yo

20、u can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filters and transitions with basic scripting, you can crea

21、te visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an object and the objects background. Procedural surfaces define each pixels RGB color and alpha values dynamically. Only the procedure used to compute the surface is stored in memory. The content of an object with a procedural surface applied is not affec