梯度 散度 旋度的关系

1、 梯度 gradient ，在与其垂直距为w浓度等)设体系中某处的物理参数(如温度、速度、 ，也即该物理参数的，则称为该物理参数的梯度参数为w+dw离的dy处浓度梯速度梯变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称温度梯。标量场中某一点上向量在向量微积分中标量的梯度是一梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更某一点最佳的线性近似R的函数的梯度是格的说从欧氏空R在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况线性，或者，对于一实值函的情况，梯度只导在单变量，也就是线斜梯度一词有时用斜，也就是一曲沿着给定方向的倾斜程度可以通过取向量梯度和所研究的方向点来得到斜度。梯度的数值有也被

2、成为梯度在二元函数的情形设函z=f(x,y在平面区内具有一阶连偏，则对于每一P(x,y，都可以定出一个向(f/x)*i+(f/y)j这向量称为函z=f(x,y在P(x,y的梯度，记gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个(f/x)*i+(f/y)*j+(f/z)*k记gradf(x,y,z)梯度的汉语词义，用法现代汉语词典附：新词新梯1坡度2单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等变化的程度3依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西推进难易有考试命题要讲究题型有变化4依照一定次序分出的层次 散度 散度（divergence）的概念： 在矢量场F中的任一点M处作一个包

3、围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积V以任何方式趋近于0时，则比值FdS/V的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。 F=Fdiv 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中 的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有 利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 多元函数积分： 微积分学多元微积分 、 P + R(x,y,z)k 给出，其中 设某量场

4、由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j 处 (x,y,z) 在点是具有一阶连续偏导数， 是场内一有向曲面，n Q、R 向着指定侧的通 A 通过曲面AndS 叫做向量场 的单位法向量，则 div div A，即 P/x + Q/y + R/z 叫做向量场 A 的散度，记作量，而 = P/x + Q/y + R/z。A （partial derivative）符号。上述式子中的 为偏微分 散度（divergence）的运算法则： 为常数) div A+ div B (,div ( A + B ) = )为数性函数 div A+ A grad u (u div (u A

5、 ) =u旋度 设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 R/y - Q/z ， P/z - R/x ， Q/x - P/y 的向量叫做向量场A的旋度，记作 rot A或curl A ，即 rot A=(R/y - Q/z )i+(P/z - R/x )j+(Q/x - P/y)k 式中的 为偏微分（partial derivative）符号。 行列式记号 旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示： 若 A=Axi+Ayj ， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若 A=Axi+Ayj+Az k 则r

6、otA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量。 向量场A，数量场u 2=，算法不表示了，称为汉密尔顿算子，符号打不出来。=称为拉普拉斯算子。 梯度u 散度A 旋度A 首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。 梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。 散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为0说明这个场没有源头。 旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。 三者的关系：注意各自针对的对象不同。 1.梯度的旋度u=0 梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。例如重力场。 2u=u2.梯度的散度 3.散度的梯度(A) 4.旋度的散度(A)=0 旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。 2A=()-()=(5.旋度的旋度AAA)-A 旋度场的旋度 也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。 1.已知原向量场可