圆锥曲线的第三定义资料

1、圆锥曲线的第三定义及运用 一、 椭圆和双曲线的第三定义 1. 椭圆 22yx?0ff?1baC：在椭圆中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一 22ab2b2点，若?1=k=ek?k、k 存在，则有： PBPAPBPA2a2b2，边所对的中位线MO证明：构造PAB的PA?1=e?k?k=kk?由点差法结论：， MOPAPBMO2a 知此结论成立。 双曲线2.22yx1?C：在双曲线k、k若是椭圆上异于A、B的一点，PA中，、B是关于原点对称的两点， PBPA22ba2b2存在，则有：1=?e?kk= PBPA2a 22证明：只需将椭圆中的bb? 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论

2、。全部换成 与角度有关的问题 二、 22yx3?例题一：0fb?1fC：a?e已知椭圆是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲B的离心率A、， 22ba222?yxcos1?= 线，则?APB=?，?PAB=的一个交点，令 ?2cos87 . 解答：1?=PBx?2?，由椭圆第三定义可知：令?tan1=etan? 4?cos?cossintansintan1?3cos?cos?=? ?5cos?2?costantan?coscos?sinsin1 点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把

3、正余弦转化为正切。题 目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点。 变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业） 22已知双曲线2015?：x?yCAPB?PAB=4，求的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且?PAB= . 解答： ?0=?，?PAB?令?，?0?PBA=5 ，则，由双曲线的第三定义知：? 22?2?1=1=tan=?tantan5?tane ?1? 则：=?=tan5tan5=? ?2122tan5? 点评：即表示sin1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1与例题?的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试两角互余，则可解出

4、，=coscos=sin 概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。 与均值定理有关的问题三、 22yx?：2例题是椭圆B已知A、0fafb?1轴对称的两是椭圆上关于xM、N 长轴的两个端点， 22ba 的斜率分别为点，直线AM、BNk?k0kk?k、k . 且， 。，若的最小值为1则椭圆的离心率为 212121 解答一（第三定义+均值）： 由题意可作图如下： 22bb2，由椭圆的第三定义可知：连接MB=k1=?k?k=e?k?kk? ，而 BNBM2BMAM122aa 3b12b =e?=1?=?k?k2k?k 212122aa ：解答二（特殊值法）1?这道题由于表达式=kk=1k

5、?k? 非常对称，时可取最值，则可直接猜特殊点求解。 21212min 3b1分别为短轴的两端点。此时：、N则M =?ekk 。 2122a 点评：的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者、N对于常规解法，合理利用M表、b，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a斜率的关系联系起来，既构造了“一正” 。当然将1示出最值kk、前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解212-1变式 法相同，即。 22yx?：变式2-1是椭圆B已知A、0f1baf?轴对称的是椭圆上关于x长轴的两个端点，M、N 22ba 的斜率分别为AM、BN两点，直线0?kkk、kk

6、222k? ，则椭圆的离。若，且1的最小值为212121 . 心率为 解答： 22bb2，由椭圆的第三定义可知：MB连接=kk1=?k=ke?kk? ，而 BNBM2AMBM122aa 4bb115 =1=?=?e=?2k22k?4k?k 2211aa44 22?yx2?：变式2-2是椭圆A、B已知0faf?1b?AQB? ，使长轴的两个端点，若椭圆上存在Q， 22ab3则椭圆的离心率的取值范围为 . 解答一（正切+均值）： ?0?的倾斜角为轴上方，则直线QAQ令在x，? 。，直线QB的倾斜角为? 22?tantan? ?tan?AQB?tan，AQB?，? ?tantan1?2?22bb?由

7、椭圆的第三定义：=tan?=tan?tan ，则 22?tanaa2?b2b?tan?tan? 2?tana?tantan? 2?tana带入可得： = 22?bbtan?tan11?1? 22aa 2b?2b?tan2?2abb 2?tanaatan?（取等条件： ?=? ，即Q为上顶点） 2222bbba?a1?1? 22aa? ?26?在而tanxAQB?，1e?，?AQB故所以此时则单增，Q为上顶点时，? max233? 解答二（极限法）： ?两点时，、BQ当趋近于A?AQB?为直径的圆的圆AB点所在的椭圆弧趋近于以Q（此时 2?AQB?间运动时、BQ弧，在A相当于直径所对的圆周角）；

8、当f?AQB（Q在以AB为直径 2?AQBf直径所对的圆周角=90），由椭圆的对称性可猜测当的圆内部，Q为短轴端点时?AQB?。 max?22?，使由于：椭圆上存在Q?AQB?AQB?。，那么 Q为短轴端点时 max33 ?6a2 取临界情况，即Q为短轴端点时0e?e?3?AQB?）当椭圆趋于饱满，（；此时 3b3e?1）不满足；当椭圆趋于线段（时，时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90，? 6?AQB，?1e ，满足。故。? max3?当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。 点评： ?两点时，BA、在用极限法讨论：这道题可以增加对于圆周角的理解，“当Q趋近于?AQB?” 2

9、?AQB”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，“时能会颠覆而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：?在与第三定义发生联系tanx， tanx的大小比较角度的大小。单增便于利用? 2? 四、 总结归纳 1. 上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。 2. 对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度例题2 对称的式子的最值，如：2-2变式极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如： 3.中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续

10、）， 所以只需考虑边界值。 变式做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如： 4.2-2。 5. 常以正切值刻画角度大小。 6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。 7. . 8. . 五、 方法链接 “圆周角找最大角”“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。针对上文提到的 与?MPN1,4N?1M,2：例题3取X轴上移动，当，点 和P在中，在平面直角坐标系XOY给定两点最大值时，点P的横坐标为 . 均值）：解答一（正切+?1,4?1M,2N3:， 已知：、3,0P?xly? x轴交于与MN042?=?MPN,0Pt ，

11、令，则：?kk NPMPt11?t?=03?t? 时， 当k?k6t2?3?ft? 时，当 NPMPl=tan的倾斜角较大， MP27?k1?ktNPMP2t?62x22?fx?t?3f00tan?），（令则 =1?tan= 1622t?7x?6x?16166?x2x?6 xx?1t?x?4，此时，? max4k?k2t?63p?t? 时， 当MPNPl?=tan=的倾斜角较大， NP21?k?kt?7NPMP2t?62x221? 0?t3x?f=?=?tan=，则 1622716xx?6t?7166?x?2x?6 xx?ftan0） （1?7t?x4?，此时?tan max7?tan，0，?

12、，?tan01?0 由于上单增，在，且?t?1? ，此时 max4解答二（圆周角定理）： 本题中的取极值时的P点的几何意义为：过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明： 轴切于x证明：以与P 点的圆满足所求最大角为例：23由于?xl：y?3?x：ly? 、是过MN上两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在MN轴无交点；当半径稍大一点时，圆x较小时，圆与r开始增大：当半径0随着圆心横坐标从轴有两交点x轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x与PP 、。43此时：根据圆周角定理：N?MPp?MQN=?MPN?MPN轴相切时，可知：圆与x234?MPN? 。max R较小的情况（圆与x轴相离） R较

13、大的情况（圆与x轴相交于PP） 、43?轴切于x的圆与所以：过M、NMPN?PP点时，分别有、 43max?MPNN?MP只需比较，哪一个更大。与 12?,0Px,xy，半径为 ，则切点令与x轴相切的圆的圆心为y 22?2y?y?2?x?1?2圆满足： （消去y） 1or?70?x?76?x?x?22?2?4?yy?x?1?时，比较可知：当x=1MPN? max点评： 常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图

14、可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。 CBGsinAG?：变式3-1 . 为ABC的重心，且 ，则 的最大值为 若G ：解答一（余弦定理+均值）1?x?xx?x? CGAB?3?0,baAG,00,0B，则由 令，b?a,?C?1?yy?y?y? CBGA?3? 222222 由点间的距离公式：b?4a?AB?aBC?abb4AC ，?222222222ba4?b4a?ba?ABBC?AC?由余弦定理： =C?cos ?BC?AC22222b?244a?ba?2222b?ba24?a = ?22222222b

15、ba?4a?4a42?4ab?b?a?b5? 222222由于：b?4ab?ba?a4a?b? 22433?Csin?0?sin?cosC?C max555解法二（圆周角定理）： ?,3cosG3sinsin1,0B1,0CA,cos? ，令，则 ?y1,0CB,A1,0?x22满足：，题目转化为：Csin9?xy ，求的最大值。?3?C0,时，目测可知0,3C?ABC 来证明。，下面以max?0,3BCA1,0?1,0 O：作圆，过CBACp?AQB?ACB O于QC若不在点。由圆周角定理：证得点，令AC交圆34?此时由余弦定理?cosCC=sin maxmin55 点评：3例题有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题可以说这道题与?，0 了。其实余弦函数在单调，也可用来度量角的大小。不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式值得思点的坐标；解法二C考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了点的坐标。两种方式都完全的展现C联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画 了题目中的关系。 22yx?：对椭圆用均值）：（例题422过椭圆1fb?1fa1?x?y、PA的两条切线引圆O：上一点P 22ab . N、，则