信号与系统课件郑君里版第一章[共85页]

1、第一章 信号和系统,1.1 绪论,一、信号的概念 消息(message)：常常把来自外界的各种报道统称 为消息。 信息(information)：通常把消息中有意义的内容称 为信息。 信号(signal)：信号是反映信息的各种物理量，是 系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。 信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。信号是信息的载体，通过信号传递信息,二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体,自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等,1.

2、2 信号的描述和分类,一、信号的描述 1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。 2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用,二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性,连续时间信号：在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为模拟信号。 离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。

3、实际中也常称为数字信号,2. 连续信号和离散信号,通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。 f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0， k=0 通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值,3. 周期信号和非周期信号,周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号。 (在较长时间内重复变化) 连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)， 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 非周期信号：不具有周期性的信号称为非周

4、期信号,例1.2.1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数,1） sin2t 是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t 是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号

5、， 其周期为T1和T2的最小公倍数2,2） cos2t 和sint的周期分别为T1= s， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。 结论： 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列,4能量信号与功率信号,信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f (t)在欧姆的电阻上的瞬时功率为| f (t)|，在时间区间所消耗的总能量和平均功率分别定义为： 能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零。 功率信号：平均功率为有限值而信号总能量为无限大,特点： 信号 f (t)可以是一个既非功

6、率信号，又非能量信号，如单位斜坡信号。但一个信号不可能同时既是功率信号，又是能量信号。 周期信号都是功率信号；非周期信号可能是能量信号 t, f (t)=0, 也可能是功率信号 t, f (t)0,5一维信号与多维信号 信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。 6因果信号 若当 t 0 时 f (t) 0的信号,称为因果信号。 而若t 0 ，t 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。 注意非因果信号指的是在时间零点之前有非零值,1.2 信号的基本运算,一、信号的、运算 两信号f1() 和f2 ()的相 、指同一时刻两信号之值对应相加

7、减乘。如,二、信号的时间变换运算,1. 平移 将f (t) f (t + t0) ， f (k) f (t + k0)称为对信号f ()的平移或移位。若t0 (或k0) 0，则将f ()右移；否则左移,f (t-t0)将 f (t) 延迟 时间 t0 ；即将 f (t) 的波形向右移动 t0,f (t+t0)将 f (t) 超前 时间 t0 ；即将 f (t) 的波形向左移动 t0,2. 反转 将f (t) f ( t) ， f (k) f ( k) 称为对信号f ()的反转或反折。从图形上看是将f ()以纵坐标为轴反转180o。如,3. 尺度变换（横坐标展缩,将f (t) f (a t) ，

8、 称为对信号f (t)的尺度变换。若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若0 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a,压缩,2）0a 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a,扩展,对于离散信号，由于f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换,例1.3.1已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(2-t)的波形 解：平移与反转相结合，注意：是对t 的变换,法一：先平移f (t) f (t +2) 再反转f (t +2) f ( t +2) 法二：先反转f (t) f ( t)

9、再平移f ( t) f ( t +2,例1.3.2 （1）已知信号f(t)的波形如图所示，试画出f(-2t-4)的波形 解：平移、反转、尺度变换相结合，三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t 进行,法一：也可以先平移、再压缩、最后反转,法二：也可以先压缩、再平移、最后反转,2）若已知f ( 4 2t) ，画出f (t) 。 解,三、信号的微分和积分 1、微分：信号f(t)的微分运算指f(t)对t取导数，即 2、积分：信号f(t)的积分运算指f(t)在（-，t）区间内的定积分，表达式为,结论： （1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用； （2）信号经过积分运算后，

10、使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响,1.4 阶跃信号和冲激信号 一、典型的连续时间信号,信号将随时间而增长,信号将随时间而衰减,信号不随时间而变化，为直流信号,对时间的微、积分仍是指数,对时间的微、积分仍是同频率正弦,正弦信号是周期信号，其周期T与角频率w 和频率f满足下列关系式,2）正弦信号,实部、虚部都为正（余）弦信号，指数因子实部表征实部与虚部的正、余弦信号的振幅随时间变化的情况，表示信号随角频率变化的情况,3)复指数信号,Sa(t)具有以下性质,4)抽样信号,高斯函数,钟形信号在随机信号分析中占有重要地位,二、单位阶跃函数 1、定义,u(

11、t)= 0 ， （t0,采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数,2、阶跃函数的性质： （1）可以方便地表示某些信号 eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2,2）用阶跃函数表示信号的作用区间,3）积分,三、单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。 1、定义,面积为1,2、冲激函数与阶跃函数关系,加权特性,抽样特性,3、性质,单位冲激函数为偶函数,2、(t) 的尺度变换,这里 a 和 t0为常数，且a0,3、 冲激函数的导数(t) （也称冲激偶,1）定义： 称单位二次冲激函数或冲激偶,2）冲激偶的性质,冲激偶的抽样特性,冲

12、激偶的加权特性,冲激偶(t)是 t 的奇函数,四、序列(k)和 u(k) （1）单位(样值)序列(k)的定义,取样性质,2）单位阶跃序列u(k)的定义,3）u(k)与(k)的关系 (k) = u(k) u(k 1) u(k) = (k)+ (k 1),u,u,五、信号的分解 信号从不同角度分解： 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量 利用分形理论描述信号,1、直流分量与交流分量,其中fD为直流分量即信号的平均值,直流分量fD与交流分量fA(t,2、偶分量与奇分量,1）一种分解为矩形窄脉冲分量,3、脉冲分量,2）另一分解为阶跃信号分量之叠加,4.实部分量

13、与虚部分量,对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和,其实部为,其复数信号的模为,其虚部为,5、正交函数分量,用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分量就是相互正交的,1.5 系统的性质及分类,一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。 二、系统的分类及性质 1. 连续系统与离散系统 输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。 输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。 连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述,2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻

14、的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。 含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。 3. 线性系统与非线性系统 能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件。 不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统,4. 时不变系统与时变系统 满足时不变性质的系统称为时不变系统。 时不变性质: 若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间， 即若T0，f(t) = yf(t)， T0，f(t - td) = yf(t - td,5、 因果系统与非因果系统 激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为

15、因果系统 即对因果系统，当t t0 ，f(t) = 0时，有t t0 ，yf(t) = 0。 如：下列系统均为因果系统：yf(t) = 3f(t 1) 而下列系统为非因果系统： (1) yf(t) = 2f(t + 1)， 因为，令t=1时，有yf(1) = 2f(2) (2) yf(t) = f(2t)，因为，若f(t) = 0， t t0 ，有yf(t) = f(2t)=0, t 0.5 t0 。 也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励如e(t+1)，那么系统就是因果的,6. 稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输

16、入有界输出稳定，简称稳定。 即若f(.)，其yf(.) 则称系统是稳定的,三、线性时不变系统（LTI,Linear Time-Invariant) （1）LTI连续系统的微分特性和积分特性 微分特性： 若f (t) yf(t) ， 则f (t) y f (t) 积分特性： 若f (t) yf(t) ， 则,2）线性性质的判别 a) 线性性质包括两方面：齐次性和可加性。 T af () = a T f ()则称该系统是齐次的。 T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 则称该系统是可加的。 若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即Ta f1() + bf2() = a

17、T f1() + bT f2(,b)判别条件: 动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状态x(0)有关。初始状态也称“内部激励”。 完全响应可写为: y () = T f () , x(0) 零状态响应为: yf() = T f () , 0 零输入响应为: yx() = T 0，x(0,判别条件: 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： 可分解性： y () = yf() + yx() = T f () , 0+ T 0，x(0) 零状态线性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T

18、 f2 () , 0 或Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0,零输入线性： T0,ax(0)= aT 0,x(0) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0) 或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0,例1.5.1判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） 解： （1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t

19、) = 3 x(0) + 1 显然， y (t) yf(t) yx(t) 不满足可分解性，故为非线性,2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性； 由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yf(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统,3,满足可分解性,满足零状态线性,满足零状态线性,所以，该系统为线性系统,例1.5.2判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） yf (t) = f ( t) 解： (

20、1)令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然T0，f(k kd) = yf (k kd) 故该系统是时不变的,2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而y f (t td)= (t td) f (t td) 显然T0，f(t td) y f (t td) 故该系统为时变系统。 (3) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td

21、) 而y f (t td) = f ( t td)，显然 T0，f(t td) y f (t td)故该系统为时变系统。 直观判断方法：若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统,例1.5.3 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0)。已知，当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，全响应y1(t) = + cos(t)，t0；当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应y2(t) = 2 +3 cos(t)，t0；求输入f3(t) = +2f1(t-1)时，系统的零状态响应。 解：设当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应

22、分别为y1x(t)、y1f(t)。 当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t,由题中条件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = + cos(t)，t0 （1） y2(t)= y2x(t) + y2f(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （2） 根据线性系统的齐次性 y2x(t) = 2y1x(t)， y2f(t) =3y1f(t,代入式（2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （3） 式(3) 2式(1)，得 y1f(t) = 4 + cos(t)

23、，t0 由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1f(t)=0； 因此y1f(t)可改写成 y1f(t) = 4 + cos(t)u(t) (4,根据LTI系统的微分特性 = 3(t) + 4 sin(t)u(t) 根据LTI系统的时不变特性 f1(t1) y1f(t 1) = 4 + cos(t1)u(t1) 由线性性质，得：当输入f3(t) = +2f1(t1)时， y3f(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4 sin(t)u(t)+ 24 + cos(t1)u(t1,1.6 系统的描述 描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态

24、系统的数学模型是差分方程。 一、连续系统 1. 解析描述建立数学模型 补充： KVL可描述为：对于任一网络中的任一回路，在任一时刻，沿该回路的所有电压降的代数和恒等于零。u =0,对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式 对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到,图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由 KVL和 VAR列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程,2. 系统的框图描述 上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。 将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上

25、述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。 积分器,加法器： 数乘器,例1.6.1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。 解：将方程写为y”(t) = f(t) ay(t) by(t,例1.6.2：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。 解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出y(t) = 4x(t) + x(t)，它满足原方程,例1.6.3：已知框图，写出系统的微分方程。 解：设辅助变量x(t)如图 x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t) 根据前面，逆过程，得 y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t,二、离散系统 1. 解析描述建立差分方程 例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/元，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个