艺术生高考数学专题讲义：考点33 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、 2考点三十三艺考生高考数学专题讲义空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理1平面的概念数学中的平面是一个不加定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、海平面都给我们平面的形 象几何里所说的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，平面是无限延展的，没有厚度， 也没有大小、轻重之分2空间中的四个公理及其推论公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有与一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，

2、那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行3等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类 平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：过空间任意一点 p 分别引两条异面直线 a，b 的平行线 l ，l (al ，bl )，这两条1 2 1 2相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线 a，b 所成的角范围： 0， .5空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直相交aa1 个线与平行a0 个平面在平面a 无数个高中数学艺考生高考数学专题讲义内平

3、平行0 个面与平相交l无数个面典例剖析题型一 平面的基本性质及应用例 1 在下列命题中，不是公理的是_12平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 解析 由立体几何基本知识知，项为公理 2，c 项为公理 1，项为公理 3, 项不是公理 变式训练 下列结论正确的是_1 经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面2 经过两条相交直线，可以确定一个平面3 经过两条平行直线，可以确定一个平面4 经过空间任意三点可以确定一个

4、平面答案 3 个解析 当三点在一条直线上时不能确定平面，故不正确，正确解题要点 三点不一定确定一个平面当三点共线时，可确定无数个平面题型二 空间直线的位置关系例 2 正方体 ac 中，e、f 分别是线段 bc、cd 的中点，则直线 a b 与直线 ef 的位置关1 1 1系是_答案 相交解析 如图所示，直线 a b 与直线外一点 e 确定的平面为 a bcd ，ef 平面 a bcd ，且1 1 1 1 1两直线不平行，故两直线相交.高中数学艺考生高考数学专题讲义变式训练 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，g、h、m、n 分别为 de、 be、ef、ec 的中点，在这个正四面体中

5、，gh 与 ef 平行； bd 与 mn 为异面直线；gh 与 mn 成 60角； de 与 mn 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案 解析 还原成正四面体知 gh 与 ef 为异面直线，bd 与 mn 为异面直线，gh 与 mn 成 60 角，demn.解题要点 1.空间两条直线的位置关系有三种：平行，相交和异面，要正确理解异面直线“不 同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2. 对于较复杂几何体的线面关系判定问题，应注意借助图形，考察各点、线在空间中的相对 位置3. 正四面体的特性：对棱都异面且互相垂直，记住这个特性有助于快速解题题型三 异面直线判定问题例 3

6、如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 ab，cd，ef，gh 在原正方体 中互为异面直线的对数为_高中数学艺考生高考数学专题讲义答案 3解析 ab，cd，ef 和 gh 在原正方体中如图所示，显然 ab 与 cd，ef 与 gh，ab 与 gh 都是异面直线，而 ab 与 ef 相交，cd 与 gh 相交，cd 与 ef 平行故互为异面的直线有 且只有三对变式训练 若直线 l 不平行于平面 ，且 l ，则_1234 内的所有直线与 l 异面 内不存在与 l 平行的直线 内存在唯一的直线与 l 平行 内的直线与 l 都相交答案 解析 依题意，直线 la(如图) 内的直线若经过点 a，则

7、与直线 l 相交；若不经过点 a，则与直线 l 是异面直线，故选.解题要点 判定异面直线有以下异面直线判定定理:平面内一点与平面外一点的连线,与此平 面内不经过该点的直线是异面直线.另外判定两条直线异面,还可依据：1 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；2 既不平行也不相交的两条直线是异面直线。题型四 异面直线所成角的求解例 4 已知正方体 abcda b c d 中，e、f 分别为 bb 、cc 的中点，那么异面直线 ae1 1 1 1 1 1与 d f 所成角的余弦值为_1答案35解析 如图，连接 df，高中数学22 2112艺考生高考数学专题讲义因为 df 与 ae 平行，

8、所以dfd 即为异面直线 ae 与 d f 所成角的平面角，设正方体的棱1 1( 5)( 5)2 3长为 2，则 fd fd 5，由余弦定理得 cosdfd .2( 5) 5变式训练 直三棱柱 abca b c 中，若bac90，abacaa ，则异面直线 ba 与1 1 1 1 1ac 所成的角等于_1答案 60解析 如图，可补成一个正方体，ac bd .ba 与 ac 所成角的大小为a bd .1 1 1 1 1 1又易知bd 为正三角形，a bd 60.1 1 1 1即 ba 与 ac 成 60的角1 1解题要点 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化 为

9、共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关， 往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解当堂练习1下列四个结论：(1) 两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行(2) 两条直线没有公共点，则这两条直线平行(3) 两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行(4) 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为_答案0解析 对(1)，两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能; 对(2)，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面;高中数学艺考生高考数学专题讲义对(3)，两条直线都和第三条

10、直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能;对(4)，一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内. 2以下命题正确的是_1 两个平面可以只有一个交点2 一条直线与一个平面最多有一个公共点3 两个平面有一个公共点，它们可能相交 两个平面有三个公共点，它们一定重合答案 解析 对于，两个平面有一个交点就有过这个点的公共直线，故错对于，直线在平面内时，可以有无数个公共点对于，当三个公共点在同一直线上时，两平面相交，故错3. 正方体 abcda b c d 中，e，f 分别是线段 c d，bc 的中点，则直线 a b 与直线 ef1 1 1 1 1 1的位置关系是_答案 相交解

11、析 直线 a b 与直线外一点 e 确定的平面为 a bcd ，ef 平面 a bcd ，且两直线不平1 1 1 1 1行，故两直线相交4若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是_答案 平行、异面或相交解析 当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现.5三个平面两两相交，则交线条数为_答案 1 或 3课后作业一、 填空题1四个命题：(1) 空间三条直线两两平行，则三条直线可确定三个平面；(2) 空间三点可确定一个平面；(3) 空间一点和一条直线可确定一个平面；(4) a 与 b 两点到直线 l 距离相等，则直线 l 和 ab 确定一个平面其中正确命题的个数

12、为_答案 0 个解析 (1)若三条直线在同一个平面内，则确定一个平面，故错误；高中数学3艺考生高考数学专题讲义(2) 若三个点在同一条直线上则不能确定一个平面，故错误；(3) 空间上一点若在直线上，则不能确定一个平面，故错误；(4) 若过 a、b 两点的直线与直线 l 异面正方体的棱与底面的对角线异面 a、b 两点为两顶点)， 不能确定一个平面2给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于 100cm ；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20 个平面重合在一起比一个平面厚 20 倍，其中正确的 有_答案 0解析 根据平面的概念知，四个命题都不正确3对于空间

13、中的两条直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 _条件答案 充分不必要解析 两条直线为异面直线这两条直线没有公共点，反之，当两条直线没有公共点时， 未必是异面直线，“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分不必要 条件4已知异面直线 a，b 分别在平面 ， 内，且 c，那么直线 c 一定_(填序号) 与 a，b 都相交2 只能与 a，b 中的一条相交3 至少与 a，b 中的一条相交4 与 a，b 都平行答案 解析 若 c 与 a，b 都不相交，则 c 与 a，b 都平行，则 ab 与 a，b 异面相矛盾5若 l ，l ，l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确

14、的是_(填序号)1 2 3l l ，l l l l1 2 2 3 1 3l l ，l l l l1 2 2 3 1 3l l l l ，l ，l 共面1 2 3 1 2 3l ，l ，l 共点l ，l ，l 共面1 2 3 1 2 3答案 解析 当 l l ，l l 时，l 与 l 也可能相交或异面，故不正确；l l ，l l l l ， 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3故正确；当 l l l 时，l ，l ，l 未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故不正确；l ，l ，1 2 3 1 2 3 1 2l 共点时，l ，l ，l 未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故不正确3 1

15、 2 36设 p 表示一个点，a，b 表示两条直线， 表示两个平面，给出下列四个命题，其中 正确的命题是_(填序号)pa，pa； abp，ba；高中数学艺考生高考数学专题讲义ab，a，pb，pb； b，p，ppb. 答案 解析 当 ap 时，pa，p，但 a，错；ap 时，错； 如图，ab，pb，pa.由直线 a 与点 p 确定唯一平面 .又 ab，由 a 与 b 确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 p， 与 重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确7若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线_答案 平行或异面解析 两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相

16、交8一个正方体的展开图如图所示，a、b、c、d 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 _(填序号)abcdab 与 cd 相交 abcdab 与 cd 所成的角为 60答案 解析 如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、 上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项、不正确正确选项为图 (b)中，deab，cde 为 ab 与 cd 所成的角，cde 为等边三角形，cde609如图，在正方体 abcda b c d 中，m、n 分别为棱 c d 、c c 的中点，有以下四个1 1 1 1 1 1 1结论：直线 am 与 cc 是相交直线； 直线 am

17、与 bn 是平行直线；1直线 bn 与 mb 是异面直线； 直线 am 与 dd 是异面直线1 1高中数学2222222 22艺考生高考数学专题讲义其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)答案 解析 直线 am 与 cc 是异面直线，直线 am 与 bn 也是异面直线，故错误110如图，在正方体abcda b c d 中，m、n 分别是棱 cd、cc 的中点，则异面直线 a m1 1 1 1 1 1与 dn 所成的角的大小是_答案 90解析 如图所示，取 cn 的中点 k，连接 mk，则 mk 为cdn 的中位线，所以 mkdn.所以a mk 为异面直线 a m 与 dn 所成

18、的角(或其补角)连接 a c ，am.设正方体棱长为 1 1 1 14，则 a k (4 2)131 1 41 ，mk dn 42 222 5，a m 41426，故 a m mk a k ，即a mk90.1 1 111如图所示，abcda b c d 是长方体，aa a，bab b a c 30，则 ab 与 a c1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所成的角为_，aa 与 b c 所成的角为_1 1答案 30 45解析 aba b ，b a c 是 ab 与 a c 所成的角，ab 与 a c 所成的角为 30.1 1 1 1 1 1 1 1 1aa bb ，bb c 是 aa 与 b c 所成的角，1 1 1 1 1由已知条件可以得出 bb a，ab a c 2a，ab 3a，1 1 1 1b c bca.四边形 bb c c 是正方形，bb c45.1 1 1 1 1高中数学艺考生高考数学专题讲义二、解答题12 直三棱柱 abca b c 中，若bac90，abacaa ，求异面直线 ba 与 ac1