完全平方公式(基础)知识讲解

1、完全平方公式（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法一一完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.即 a2 + 2ab tb2 =(a +b,a2 -2ab tb2 =(a - b 2 2 2 2形如a +2ab +b , a 2ab +b的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）（2）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； 完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这

2、两数之积的 2倍.右边是两数的和（或差）的平方 .完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.套用公式时要注意字母 a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以 是单项式或多项式.因式分解之公式法知识要点】【高清课堂400108 I 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到） 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2 ）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止.【典型例题】 类型一、公式法一一完全平

3、方公式V1、下列各式是完全平方式的是（A. X2 -X+14完全平方式是二次三项式，B. 1 中 X2)D. X2 +2xT【思路点拨】【答案】A；是这两数的平方和加（或减）这两数之积的【解析】x2【总结升华】形如 a2 +2ab +b2，-2ab +b2的式子叫做完全平方式.举一反三：【变式】（2015春？临清市期末）若A.- 1B. 7x2+2 （m- 3） x+16是完全平方式，则 m的值是（C. 7 或-1D. 5 或 12221199114x+49 ； ( 2)9x-12x+4 ； (3)a+a+N ; (4)16ab-2a1 .【答案与解析】2 2 2 2解：(1) x +14x+

4、49=x +2 -x *7+7 =(x +7).2 2 2 2(2) 9x -12x +4 =(3x) -22+2 =(3x-2).(3) a2 +&+! =a2 +2 ”a 丄 +42 12 丿J2I 2丿(4)丄 a2b2-ab+1 =16 2f11f 1?-ab 丨 -2 ”ab ”1+12 = -ab-1 I 14丿4114【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项 对应.举一反三：【变式】分解因式：(1) 9(a+b)2 12(a+b)+4 ；(2) a2+2a(b+c)+ (b+c)2 ；(3) 10a -a2 -25 ；(4) (x + y)2

5、+4(x + y)(x y)+4(x y)2.【答案】解：(1) 9(a+b)2-12(a+b)+4 =3(a+b)2-2 ”3(a+b)”2+22= 3(a +b)-22 =(3a +3b 2)2.a2 + 2a(b +c) + (b +c)2 =a +(b + c)2 =(a + b + c)2.lOa-a2 -25 = -(a2 -10a+25) = -(a-5)2 .(4)2 2(x + y) +4(x + y)(x-y)+4(x-y)= (x+y)2+2L(x + y)D2(x-y)+2(x-y)2= (x + y)+2(x y)2 =(3x-y)2.3、分解因式:223(1) +

6、+ 丫4 ；( 2) 16a48a2b2 +b4 ； (3) (x2 +3x)2(xT)2.16 2【答案与解析】2232x y xy4 2/X xy2、2,x+ y =y (+ y) = y(+ y).16216 2416a4 -8a2b2 +b4 =(4a2 -b2)2 =(2a+b)(2a-b)2 =(2a + b)2(2a-b)2.2 2 2 2 2(x + 3x) -(x1) =(x +3x+ x1)(x + 3xx + 1)2 2 2 2 =(x + 4x-1)(x +2x+ 1) = (x + 4x-1)(x +1).【总结升华】 分解因式的一般步骤：一 “提”、二“套”、三“查

7、”，即首先有公因式的提公 因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解.举一反三：【高清课堂400108因式分解之公式法 例41【变式】分解因式：4(x +a)2 +12(x +a)(x+b) +9(x +b)2 .4(x + y)2 -4(x2 -y2) +(x y)2.一x2 -4y2 +4xy ；(4)4x3y +4x2y2 +xy3 ；2 2 2(X -2x ) +2(x -2x )+1 ；【答案】2 2解：(1)原式=2(x+a) +2 (x+a) ”3(x+ b) +3(x+b)=2( X +a) + 3(x +b)2 = (5x +2a + 3b)2.原式=

8、2(x + y)2-2 2(y) x - y)+(x - y)2=2(x中y) -(X-y)2 =(x+3y)2 .原式=-(x2+4y2-4xy )=-(X-2y2(4)原式=xy(4x2+4xy + y2 )=xy(2x + y )224原式=(x -2x+1 ) =(x-1 )类型二、配方法4、（2015春？江都市期末）已知：x+y=3 , xy= - 8,求:/八22（1） X +y2 2(2) (x - 1) (y - 1).【思路点拨】(1)原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值; 利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值.【答案与解析】解：(1 ) x+y=3, 原式=(2 ) x+y=3,(2)原式2 2原式=xy -xy= - 8,2(x+y)- 2xy=9+16=25 ;xy= - 8,2 2(x +y ) +1=64 - 25+1=40.【总结升华】 要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变